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ESPAD III * TC 20

ESPAD III * TC 20. APLICACIONES Teorema de Pitágoras. l. CUADRADO Diagonal de un cuadrado Recta que une dos vértices opuestos. Por el Teorema de Pitágoras: d=d’ = √( l 2 + l 2 ) = √2. l 2 = l.√2

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  1. ESPAD III * TC 20 APLICACIONES Teorema de Pitágoras

  2. l • CUADRADO • Diagonal de un cuadrado • Recta que une dos vértices opuestos. • Por el Teorema de Pitágoras: • d=d’ = √( l2 + l2 ) = √2.l2 = l.√2 • Las diagonales son rectas que se cortan en su punto medio y son perpendiculares. Las dos son iguales en medida. • Ejemplo: • Hallar la diagonal del cuadrado de lado l= 5 cm • d=d’ = √( l2 + l2 ) = √2.l2 = l.√2 • d=√( 52 + 52 ) = √(25+25)= • = √2.25 = 5.√2 cm d d’ l l l d = l.√2

  3. RECTÁNGULO • Diagonal: Recta que une dos vértices opuestos. • Por el Teorema de Pitágoras: • d=d’ = √( b2 + h2 ) • Las diagonales se cortan en su punto medio. Son iguales. • Ejemplo: • Hallar la diagonal del rectángulo de 8 cm de base y de 6 cm de altura. • d=d’ = √( b2 + h2 ) • d=√( 82 + 62 ) = • = √( 64 + 36) = √100 = 10 cm b d’ d h h b d = √( b2 + h2 )

  4. ROMBO • Las diagonales son rectas que unen vértices opuestos. • Las dos diagonales son distintas y perpendiculares. • En el triángulo rectángulo resaltado, en rojo, por el Teorema de Pitágoras: • l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ] • Ejemplo: • Hallar el lado del rombo cuyas diagonales miden 10 cm y 24 • l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ] = • = √ [ (24/2)2 + (10/2)2 ] = • = √ (122 + 52) = √ 169 = 13 cm l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ] l l d D l l

  5. TRAPECIO ISÓSCELES Es aquel en que los dos lados no paralelos son IGUALES. P = B + b + 2.l A = [ (B+b)/2 ].h EJEMPLO_1 En un trapecio isósceles las bases miden 13 y 5 cm y la altura mide 3 cm. Hallar el lado oblicuo, el perímetro y el área. Por Pitágoras: Cateto mayor = altura= 3 cm Cateto menor = (B – b) / 2 = (13-5)/2 = 4 cm Hipotenusa = lado oblicuo = l Luego l = √(h2 + [(B–b)/2]2) = √ (32 + 42) = = √ (9 + 16) = √25 cm = 5 cm P = 13+5+2.5 = 13+5+10 = 28 cm A = [(13+5)/2].3 = (18/2).3 = 9.3 = 27 cm2 b l l h B Por el Teorema de Pitágoras: l = √ { h2 + [ ( B – b ) / 2 )2 ] } l = hipotenusa. h = un cateto. (B-b)/2 = el otro cateto.

  6. EJEMPLO_2 En un trapecio isósceles las bases miden 11 y 5 cm y el área vale 48 cm2. Hallar la altura, los lados oblicuos y dibujarlo. b=5 l l h h B = 11 Sabemos que: A = [(B+b) / 2].h Luego 48 = [(11+5)/2].h  48 =(16/2).h  48 = 8.h  h = 6 cm Además a ambos lados se forma un triángulo rectángulo: Cateto mayor = altura , cateto menor = (B – b) / 2 , hipotenusa = lado l Luego l = √ (h2 + [(B – b)/2]2) = √ (62 + [(11 – 5)/2]2) = √ (36 + 9) = √45 cm

  7. TRAPECIO RECTÁNGULO Es aquel en que uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases. PERÍMETRO: P = B + b + l + h AREA: A = [ ( B + b ) / 2 ].h En el triángulo rectángulo que se resalta, por el Teorema de Pitágoras: l = √ { h2 + [ ( B – b )2 ] } l = hipotenusa. h = un cateto. (B - b) = el otro cateto. b l h h B

  8. Ejemplo_1 Hallar el lado oblicuo del trapecio rectángulo cuyas bases miden 12 cm y 16 cm y cuya altura mide 5 cm Por el Teorema de Pitágoras: l = √ { h2 + [ ( B – b )2 ] } Sustituyendo los valores conocidos: l = √ { 52 + [ ( 16 – 12 )2 ] } = = √ (52 + 42) = √ (25 + 16) = = 6,40 cm Ejemplo_2 Hallar la altura del trapecio rectángulo cuyas bases miden 22 cm y 16 cm y cuyo lado oblicuo mide 10 cm Por el Teorema de Pitágoras: l = √ { h2 + [ ( B – b )2 ] } Sustituyendo los valores conocidos: 10 = √ ( h2 + 62 ) ; 100 = h2 + 36 ; 64 = h2 h = 8 cm b h l h B

  9. EXÁGONO • Es un polígono regular de SEIS lados. • Se compone de 6 triángulos equiláteros. • Todos sus ángulos miden 60º • La altura de cada uno de los seis triángulos se llama Apotema. • La apotema se puede deducir por el Teorema de Pitágoras, pues: • l= hipotenusa. • l/2= un cateto. • apo= otro cateto. • Teniendo: • l2 = (l/2)2 + apo2 • apo2 = l2 - (l/2)2 • De donde: • apo = l. √3 / 2 l l l l apo l P = 6.l A = P.apo / 2 l apo l / 2

  10. Ejemplo_1 • Hallar la apotema de un hexágono regular cuyo lado mide 6 cm • Como en un hexágono se cumple que l2 = (l/2)2 + apo2 • Sustituyendo los valores conocidos: • 62 = 32 + apo2 • Despejando: apo2 = 62 - 32 apo2 = 36 – 9 = 27  apo = √27 = 5,20 • Ejemplo_2 • Hallar el lado del hexágono regular cuya apotema mide 4 cm. • Como en un hexágono se cumple que l2 = (l/2)2 + apo2 • Sustituyendo los valores conocidos: • l2 = (l2 / 4) + 42 • Operando: 4.l2 = l2 + 64  3.l2 = 64  l = √(64/3) = 4,6188 cm

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