Sequencing and Scheduling Lecture Planning, Scheduling and Timetabling in Transportation

1. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering Sequencing and Scheduling Lecture Planning, Scheduling and Timetabling in Transportation Supervisor: Dr. Salmasi Presented By: Mehdi Najafi December 2007

2. فهرست مطالب قسمت اول. مقدمه قسمت دوم. زمانبندي کشتي ها قسمت سوم. مسيريابي و زمانبندي هواپيماها قسمت چهارم. جدول زمانبندي قطارها قسمت پنجم. کارمن سيستم قسمت ششم. مقايسه مدلهاي بررسي شده Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

3. قسمت اول: مقدمه مسائل برنامه ريزي و زمانبندي در صنعت حمل و نقل بسيار متعدد مي باشد. علت تنوع اين مسائل: • وجود انواع مدهاي حمل و نقل نظير مدهاي حمل و نقل درياي، هوايي و ريلي • تفاوت خصوصيات مدهاي مختلف نظير • کشتي و بنادر • هواپيماها و فرودگاه ها • قطارها و ايستگاه هاي راه آهن از نظر هزينه، تنوع و افق زماني مورد بررسي. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

4. قسمت دوم: زمانبندي تانکرها • بطور کلي شرکت هايي کشتيرانی که با حمل تانکرها سروکار دارند قادر به حمل کالاها از دو طريق زير مي باشند. الف. از طريق کشتي هايي که متعلق به خود شرکت مي باشند. ب. از طريق برخي از کشتي هاي که بصورت اجاره اي مي باشند. • حال هدف نحوه حمل کالاها از اين دو طريق بطوريکه مجموع هزينه هاي حمل و نقل کمينه گردد.که اين هزينه ها عبارتند از: • هزينه های عملياتي مربوط به کشتي هاي متعلق به شرکت • هزينه مربوط به ارسال از طريق کشتي هاي اجاره اي • هزينه هاي سوخت • هزينه اجاره بندر؛ اين هزينه براي بنادر مختلف متفاوت بوده و در يک بندر نيز به وزن کشتي حامل بستگي دارد. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

5. مشخصات مساله • هزينه هاي عملياتي و هزينه هاي اجاره اي متفاوت مي باشند. • کشتي ها داراي حجم، سرعت، مصرف سوخت، مکان و زمان آماده حرکت متفاوت مي باشند. • بنادر براي استقرار کشتي ها داراي محدوديت هايي نظير وزن کشتي، طول کشتي و ساير مشخصات فيزيکي کشتي مي باشند. • برخي از قوانين دولتي نيز براي حمل و نقل کشتي ها وجود دارد. بطور مثال در کشور نيجريه کشتي براي حرکت بايد حداقل 90 درصد از حجم ان پر شده باشد. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

6. کالاهايي که حمل مي شوند نيز داراي مشخصات خاص خود مي باشند که اين مشخصات عبارتند از: • تعداد • بنادر مبدا و مقصد • محدوديت هاي زماني در زمان بارگيري و تخليه • محدوديت هاي زماني در زمان تحويل گرفتن و تحويل دادن بار. • يک برنامه زمانبندي براي کشتي دربرگيرنده اطلاعاتي زير مي باشد • مسير کشتي • بنادري که کشتي در افق زماني مورد بررسي به آن مراجعه مي کند. • زماني که کشتي وارد هر بندر مي شود. • زماني که بارها بارگيري و تخليه مي شوند. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

7. پارامترهاي مدل n: تعداد کالاهايي که بايد حمل شوند. T: تعداد کشتي هايي که متعلق به شرکت مي باشند p: تعداد بنادر موجود Si: کليه برنامه زمانبندي موجود براي کشتي i ام. برنامه زمانبندي l ام از Siبصورت زير نمايش داده مي شود. اگر کالاي j ام تحت برنامه زمانبندي l ام توسط کشتي i ام حمل شود در غير اينصورت Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

8. : مجموع هزينه هاي عملياتي کشتي i ام تحت برنامه زمانبندي l ام. : هزينه اي که بايد جهت حمل کالاي i ام توسط کشتي اجاره اي پرداخته شود. : سود حاصل شده از کشتي i ام اگر برنامه زمانبندي l ام را انتخاب نمايد که بصورت زير محاسبه مي شود. • متغير مدل اگر کشتي i ام برنامه l ام را انتخاب نمايد در غير اينصورت Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

9. با توجه به پارامترها و متغيرهاي تعريف شده مدل مساله بصورت زير مي باشد. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

10. تشريح مدل: تابع هدف: ماکزيمم کردن سود حاصل شده از حمل و نقل کالاها محدوديت اول: تضمين مي کند که هر کالا حداکثر به يک کشتي اختصاص داده شود. محدوديت دوم: تضمين مي کند هر کشتي حداکثر به يک برنامه زمانبندي اختصاص داده شود. محدويت سوم: بيان کننده متغيرهاي مدل مي باشد. • توجه: قبل از حل مدل بايد مجموعه برنامه هاي امکانپذير براي کشتي i ام استخراج گردد. فرض مي شود که اين برنامه ها از طريق يک الگوريتم هيوريستيک مربوطه به آساني امکانپذير است. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

11. حل مدل زمانبندي کشتي ها • مدل مذکور در واقع يک مدل دسته بندي مجموعه ها بوده و روش حل بکار گرفته شده براي حل آن روش شاخه و حد تحت يکي از دو رويکرد زير مي باشد. رويکرد اول: شاخه زني روي متغيرهاي مدل رويکرد دوم: شاخه زني روي کشتي ها • حل مدل تحت رويکرد اول: • حل مساله آزاد شده جهت بدست آوردن يک حد بالا (مساله دسته بندي مجموعه ها در حالت پيوسته) • سياست انتخاب گره: آخرين گره اي که ايجاد شده و در آن شاخه زني صورت نگرفته است. • سياست انتخاب متغير: متغيري که در مساله آزاد شده مقداري نزديکتر به عدد 0/5 را دارد. • سياست شاخه زني: متغير انتخاب شده مقدار صفر يا يک را اتخاذ کند. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

12. حل مدل تحت رويکرد دوم: • حل مساله آزاد شده جهت بدست آوردن يک حد بالا (مساله دسته بندي مجموعه ها در حالت پيوسته) • سياست انتخاب گره: آخرين گره اي که ايجاد شده و در آن شاخه زني صورت نگرفته است. • سياست انتخاب کشتي: استفاده از يکي از رويکردهاي زير براي انتخاب از بين کشتي هاي انتخاب نشده • کشتي که بيشترين تعداد کالا را حمل کند • کشتي که سود بيشتري را حاصل سازد. • کشتي که متغيرهاي مربوط به آن داراي بيشتري مقدار کسري در مساله آزاد شده باشند. • سياست شاخه زني: به تعداد سياست هاي موجود براي آن کشتي عمل شاخه زني صورت مي گيرد که هر يک بيانگر انتخاب آن سياست مي باشد. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

13. مثال فرض کنيد شرکتي داراي سه عدد کشتي بوده و مي خواهد تعداد 12 کالا را با استفاده از اين کشتي ها و يا از طريق اجاره حمل نمايد. چنانچه برنامه زمانبندي موجود براي هر کشتي برابر 5 و مطابق زير باشد نحوه تخصيص کالاها به چه صورت پذيرد تا کل سود حاصل ماکزيمم گردد. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

14. هزينه مورد نياز براي حمل کالاها از طريق کشتي هاي اجاره اي • هزينه هاي عملياتي مربوط به کشتي ها تحت برنامه زمانبندي مختلف • با توجه به اطلاعات داده شده ميزان سود حاصل از حمل کالاها در برنامه هاي زمانبندي مختلف بصورت زير مي باشد Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

15. بنابراين مدل برنامه ريزي عدد صحيح مساله بصورت زير مي باشد. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

16. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

17. نتايج بدست آمده از حل مدل • حل مدل در حالت پيوسته نتايج زير را حاصل مي سازد. • حال با استفاده از روش شاخه و حد جواب نهايي بصورت زير بدست مي آيد. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

18. الگوريتم شاخه و حد Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

19. قسمت سوم. مسيريابي و زمانبندي هواپيما ها • يکي از مسائل مهمي که بسياري از شرکت هاي هواپيمايي با آن مواجه هستند مساله زمانبندي روزانه انواع مختلف هواپيماها مي باشد. • مساله زمانبندي هواپيماها شامل تعيين يک توالي از پروازها است که هر يک بايد در يک زمان دقيق صورت پذيرد بطوريکه اين پروازها از يک فرودگاه خاص اغاز و به همان فرودگاه ختم گردد. • بطورکلي اين مساله از دو قسمت زير تشکيل شده است. قسمت اول: تعيين توالي يا مسير پروازها (يک مساله مسيريابي) قسمت دوم: تعيين زمان دقيق پروازها (يک مساله زمانبندي) Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

20. دلايل اهميت مساله زمانبندي در ناوگان هوايي • درآمد کلي خطوط هواپيمايي با داشتن تابع تقاضا هر پرواز قابل تخمين مي باشد. • زمانبندي ناوگان کليه هزينه هاي متحمل شده توسط خطوط هواپيمايي نظير هزينه هاي سوخت يا حقوق خدمه هواپيما را تعيين مي کند. • تعريف مساله • فرض کنيد که شرکت هواپيمايي داراي چند نوع هواپيما مي باشد که اين هواپيماها بايد يک مجموعه از پروازها را در روز پوشش دهند. بطوريکه هر يک از اين پروازها داراي زمان پرواز خاص خود بوده ولی ميزان هزينه يا درآمد آن به نوع هواپيماي اختصاص داده شده به آن بستگي داشته باشد. حال هدف نحوه زمانبندي اين ناوگان به گونه اي است که سودحاصل شده از اين پروازها ماکزيمم گردد. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

21. مشخصات کلي مساله که بايد در زمانبندي مورد توجه قرار گيرد. • تعداد هواپيماي موجود از هر نوع • محدوديت هاي مربوط به زمان پرواز نوع خاص هواپيما و يا فرودگاه مقصد آن • اتصال هاي مورد نياز بين پروازها • محدوديتهاي موجود در سرويس هاي روزانه در هر فرودگاه • مجموعه پروازها بايد متعادل باشد (در هر فرودگاه تعداد پروازها يا فرودها براي هر نوع خاص هواپيما بايد با هم برابر باشد) • تعداد هواپيما از هر نوع در ابتدا و انتهاي روز بايد با هم برابر باشد. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

22. پارامترهاي مساله L: مجموعه پروازها که بايد در هر روز انجام پذيرد. T: تعداد انواع هواپيماها mi: تعداد هواپيماي موجود از نوع i (تعداد کل هواپيماها ) Li: مجموعه پروازهايي که توسط هواپيماي نوع i قابل انجام است. Si: مجموعه برنامه زمانبندي موجود براي هواپيماي نوع i ام (برنامه زماني صفر (تهي) به معني عدم استفاده از هواپيما مي باشد). : سود حاصل از تخصيص هواپيماي نوع i به پرواز j. : سود حاصل از تخصيص برنامه زمانبندي l به هواپيماي نوع i ؛ به عبارتي اگر زمانبندي l ام پرواز j ام را پوشش دهد در غيراينصورت Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

23. : سود حاصل از تخصيص برنامه زمانبندي تهي به هواپيماي نوع i که مي تواند مقداري مثبت يا منفي داشته باشد. P: مجموعه فرودگاه هاي موجود pi: مجموعه اي از فرودگاه ها که هواپيماي نوع i امکان فرود در آن را دارد. • متغيرهاي مدل اگر مبدا برنامه l ام هواپيماي نوع i فرودگاه p باشد درغيراينصورت اگر مقصد برنامه l ام هواپيماي نوع i فرودگاه p باشد درغيراينصورت اگر برنامه l ام به هواپيماي نوع i اختصاص يابد :تعداد هواپيماي نوع i که مورد استفاده قرار نگرفته است. درغيراينصورت Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

24. مدلسازي مساله: با توجه به پارامترها و متغيرهاي تعريف شده مدل مساله بصورت زير مي باشد. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

25. تشريح مدل: تابع هدف: حداکثر کردن سود حاصل از پروازها محدوديت اول: تضمين مي کند که هر پرواز دقيقا يک بار پوشش داده شود. محدوديت دوم: تضمين مي کند که به کليه هواپيماها برنامه اختصاص داده شود. محدوديت سوم: تضمين مي کند که تعداد هواپيماهاي موجود از هر نوع در ابتدا و انتهاي هر روز با هم برابر باشد. محدوديت چهارم: بيان کننده متغيرهاي مدل مي باشد. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

26. مشخصات مربوط به مدل • مدل مذکور درواقع مساله افراز مجموعه ها با تعدادي محدوديت اضافه مي باشد. • الگوريتم بکارگرفته شده براي حل اين مدل حال خاصي از روش شاخه و حد است که به آن شاخه و ارزش گفته مي شود. • جهت بدست آوردن يک حد بالا براي مساله از رويکرد توليد ستون استفاده مي شود. • علت استفاده از رويکرد توليد ستون عدم ضرورت استفاده از کليه برنامه زمانبندي موجود در مساله آزاد شده مي باشد. در اين رويکرد مساله اصلي به يک مساله اصلي محدود و يک زير مساله تبديل مي کند. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

27. رويکرد حل مساله با استفاده از توليد ستون گام اول: تشکيل مساله اصلي محدود شده با استفاده از تعدادي از برنامه هاي زمانبندي موجود و حل آن در حالت آزاد شده. گام دوم: محاسبه متغير دوگان مربوط به مساله که در واقع هزينه يا ارزش مربوط به منابع نظير پروازها، هواپيماها و فرودگاه ها مي باشند. گام سوم: استفاده از متغيرهاي دوگان بدست آمده جهت محاسبه سود بالقوه ساير برنامه زمانبندي کانديد. (اين فرايند مانند بدست آوردن بزرگترين مسير در گراف مربوطه است که توسط برنامه ريزي پويا قابل بدست آوردن است). گام چهارم: چنانچه جواب بدست آمده فعلي بهينه نباشد تعدادي از برنامههاي زمانبندي (ستون ها) با توجه به سود بالقوه به مساله اصلي محدود شده اضافه مي گردند. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

28. مدلسازي زير مساله • بطورکلي زيرمساله مربوط به هر نوع از هواپيماها با استفاده از يک گراف قابل نمايش مي باشد. • اين گراف داراي پنج نوع گره و پنج نوع يال مي باشد که عبارتند از: انواع گره ها • يک گره مبدا. • يک گره مقصد. • تعدادي گره جهت نمايش فرودگاه مبدا. • تعدادي گره جهت نمايش فرودگاه مقصد. • تعدادي گره جهت نمايش پروازها. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

29. انواع يالها • يال مبدا: از گره مبدا به گره هاي نمايانگر فرودگاه مبدا متصل مي باشد. • يال مقصد: از گره مقصد به گره هاي نمايانگر فرودگاه مقصد متصل مي باشد. • يال مربوط به مبدا برنامه زمانبندي: يالهايي که از گره هاي نمايانگر فرودگاه مبدا به گره هاي نمايانگر پرواز هستند متصل مي باشند. • يال مربوط به مقصد برنامه زمانبندي: يالهايي که از گره هاي نمايانگر پرواز به گره هاي نمايانگر فرودگاه مقصد متصل مي باشند. • يال مربوط به نوبت پرواز: يالهايي که برقرار کننده اتصال بين پروازها مي باشد. • توجه يال مربوط به پرواز بين دو گره پروازي وجود دارد که آن دو پرواز با توجه به زمان پروازها و زمان بين آنها توسط يک هواپيما امکانپذير باشد. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

30. گراف مربوط به زير مساله Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

31. از انجاييکه هدف زير مساله يافتن جواب موجه با بيشترين سود حاشيه اي مي باشد، بنابراين جهت شدني شدن جواب ها بايد محدوديت هاي زماني مساله برقرار باشد. به عبارت ديگر براي هر يال مربوط به پرواز بايد بطوريکه: eij: زودترين زمان پرواز j ام توسط هواپيماي نوع i lij: ديرترين زمان پرواز j ام توسط هواپيماي نوع i به عبارتي پرواز j توسط هواپيماي نوع i بايد در بازه [lij، eij] صورت پذيرد. : زمان لازم براي پرواز j ام توسط هواپيماي نوع i : حداقل زمان توقف هواپيماي نوع i بين پرواز j و k. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

32. با توجه به گراف تعريف شده براي زير مساله، هر مسير از مبدا به مقصد يک برنامه زمانبندي موجه مي باشد که سود حاشيه اي آن برابر است با بطوريکه: : ميزان سود حاصل از پرواز j ام توسط هواپيماي نوع i. : هزينه مربوط به پرواز j ام. : هزينه مربوط به اضافه کردن يک عدد هواپيماي نوع i. : هزينه اضافي ناشي از عدم تعادل هواپيماي نوع i در فرودگاه j. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

33. با توجه به تعاريف صورت گرفته، ميزان هزينه هر يال بصورت جدول زير مي باشد. • بنابراين با درنظر گرفتن سود به عنوان فاصله، الگوريتم بزرگترين مسير قادر به يافتن بيشترين سود بالقوه در شبکه مربوطه مي باشد. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

34. چنانچه بزرگترين سود بالقوه داراي مقداري مثبت باشد اين برنامه زمانبندي بايد به مساله اصلي محدود اضافه گردد در غير اينصورت جواب بدست آمده قبلي در زير مساله اصلي محدود شده بهينه بوده و نيازي به ايجاد ستون جديد (برنامه زمانبندي جديد) در مساله اصلي محدود شده نمي باشد. • مثال فرض کنيد يک شرکت هواپيمايي داراي دو نوع هواپيماي سنگين و سبک و از هر يک به تعداد دو عدد مي باشد (2= T، 2=mi). تعداد 12 پرواز بين 4 فرودگاه با استفاده از اين هواپيماها بايد انجام گيرد. که اين فرودگاه ها عبارتند از: (SFO) San Francisco: 1= p (LAX) Los Angeles: 2= p (NYC) New York : 3= p (SEA) Seattle : 4= p Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

35. شهرهاي مبدا و مقصد هر يک از پروازها مطابق جدول زير مي باشد. • علاوه براين هر يک از اين پروازها توسط هر يک از هواپيماها امکانپذير مي باشد. پروازهاي صبح بايد بعد از ساعت 5 صبح بلند و قبل از 1 بعد از ظهر فرود بيايند و پروازهاي بعد از ظهر بايد بعد از ساعت 1 بعد از ظهر بلند و قبل از 5 صبح فردا فرود بيايند. • ميزان سود هر يک از پروازها بصورت زير مي باشد. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

36. مجموعه برنامه زمانبندي موجود براي دو نوع هواپيما بصورت زير مي باشد. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

37. ميزان سود حاصله از هر برنامه زمانبندي براي هر نوع هواپيما • حل حالت آزاد شده مساله اصلي محدود شده نتايج زير را حاصل مي سازد: • حال استفاده از روش شاخه و حد براي بدست آوردن جواب هاي عدد صحيح نتايج زير حاصل خواهد کرد. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

38. الگوريتم شاخه و حد براي بدست آوردن نتايج عدد صحيح Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

39. متغيرهاي دوگان مربوط به مساله اصلي محدود شده بصورت زير مي باشد. • بنابراين سودهاي بالقوه مربوط به برنامه هاي زمانبندي موجود براي هواپيماهاي نوع يک و دو بصورت زير مي باشد. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

40. برنامه هاي زمانبندي موجود براي هواپيماهاي نوع يک و دو • بنابراين زمانبندي شماره 11، 14 و 15 مربوط به هواپيماي نوع 1 و زمانبندي شماره 10، 13 و 14 مربوط به هواپيماي نوع 2 به مساله اصلي محدود شده اضافه خواهد شد. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

41. حل حالت آزاد شده مساله اصلي محدود شده در حالت جديد نتايج زير را حاصل خواهد نمود. • حال استفاده از روش شاخه و حد براي بدست آوردن جواب هاي عدد صحيح نتايج زير حاصل خواهد کرد. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

42. الگوريتم شاخه و حد براي بدست آوردن نتايج عدد صحيح Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

43. بعنوان نمونه نتايج بدست آمده براي هواپيماي نوع 1 Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

44. قسمت چهارم: جدول زماني قطارها • فرض کنيد که در يک شبکه ريلي، يک ريل اصلي متصل کننده دو ايستگاه اصلي و چند ايستگاه فرعي مي باشد بطوريکه هر يک از قطارها لزوما در اين ايستگاه هاي فرعي توقف ندارند. • قطارها قادر يه سبقت گرفتن از يکديگر جز در ايستگاه ها نمي باشند. • هر يک از قطارها داراي يک جدول زماني ايده آل مي باشند که بر اساس تجزيه و تحليل رفتار و ترجيحات مسافران بدست آمده است. • زمان توقف در هر ايستگاه، زمان خروج و يا حتي زمان سفر مربوط به هر قطار قابل تغيير مي باشد ولي انحراف هر يک از آنها از برنامه ايده ال داراي هزينه مي باشد. • هزينه مربوط به انحراف از برنامه اصلي بصورت تابع محدب شکسته خطي مي باشد. • هدف يافتن برنامه زماني براي قطارها بطوريکه هزينه هاي مربوطه حداقل گردد. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

45. پارامترها و متغيرهاي مدل q: طول دوره زماني براي برنامه ريزي L: مجموعه اتصالها (ريل هاي) بين ايستگاه ها (اتصال j ام در واقع متصل کننده ايستگاه 1-j و j مي باشد). T: مجموعه قطارهايي که براي حرکت در بين ايستگاه ها کانديد مي باشند. Tj: مجموعه قطارهايي که از اتصال j عبور مي کنند. yij: زماني که قطار i ام وارد ريل (اتصال) j مي شود (قطار از ايستگاه 1-j خارج مي شود). zij: زماني که قطار i ام از ريل (اتصال) j خارج مي شود (قطار وارد ايستگاه j مي شود). : هزينه تحميل شده به دليل انحراف از زمان ورود ايده آل : زمان سفر قطار نوع i روي ريل (اتصال) j Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

46. : ميزان توقف قطار i روي اتصال (ريل) j ام. : هزينه تحميل شده به دليل انحراف از زمان خروج ايده آل قطار i روي ريل j. : هزينه تحميل شده به دليل انحراف از زمان سفر ايده آل قطار i روي ريل j. : هزينه تحميل شده به دليل انحراف از زمان توقف ايده آل قطار i در ايستگاهj : حداقل زمان لازم براي عبور قطار i ام از ريل j ام. : حداقل زمان لازم براي توقف قطار i ام در ايستگاه j ام. : حداقل فاصله زماني بين زمان خروج قطار h ام و قطار i ام از ايستگاه j اگر قطار h دقيقا قبل از قطار i خارج گردد. : حداقل فاصله زماني بين زمان ورود قطار h ام و قطار i ام به ايستگاه j اگر قطار h دقيقا قبل از قطار i وارد گردد. : قطار مجازي که اولين قطار وارد شونده به هر ايستگاه مي باشد. : قطار مجازي که آخرين قطار وارد شونده به هر ايستگاه مي باشد. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

47. مدلسازي مساله با توجه به پارامتر و متغيرهاي تعريف شده مدل مربوطه بصورت زير مي باشد. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

48. تشريح مدل تابع هدف: کمينه کردن هزينه هاي مربوط به انحراف از برنامه ايده آل محدوديت اول: تضمين مي کند زمان ورود قطار i به ريلj پس از زودترين زمان ممکن باشد. محدوديت دوم: تضمين مي کند زمان ورود قطار i به ريل j قبل از ديرترين زمان ممکن باشد. محدوديت سوم: تضمين مي کند زمان خروج قطار i از ريلj پس از زودترين زمان ممکن باشد محدوديت چهارم: تضمين مي کند زمان خروج قطار i از ريل j قبل از ديرترين زمان ممکن باشد. محدويت پنجم: تضمين مي کند که ميزان سفر در ريلj از حداقل زمان مورد نياز بيشتر باشد. محدوديت ششم: تضمين مي کند که ميزان توقف در ايستگاه j از حداقل زمان مورد نياز بيشتر باشد. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

49. محدوديت هفتم: تضمين مي کند که فاصله زماني بين زمان خروج دو قطار متوالي h ام و i ام از ايستگاه j از حداقل ممکن بيشتر باشد. محدوديت هشتم: تضمين مي کند که فاصله زماني بين زمان ورود دو قطار متوالي h ام و i ام به ايستگاه j از حداقل ممکن بيشتر باشد. محدوديت نهم: تضمين مي کند که براي هر قطار تنها يک قطار پيشين وجود دارد. • توجه • از آنجاييکه مدل ارائه شده جهت برنامه ريزي روي خطوط اصلي مورد استفاده قرار مي گيرد و برنامه زمانبندي ديگر خطوط شبکه بر اساس اين برنامه زمانبندي مي باشد ازاينرو حل اين مدل بايد به سرعت صورت پذيرد به همين جهت يک الگوريتم هيوريستيک براي ان ارائه شده است. Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering

50. گام هاي الگوريتم هيوريستيک گام اول: مقداردهي اوليه • دو قطار مجازي و که به ترتيب اولين و آخرين قطار در خطوط اصلي هستند را به مجموعه قطارهاي برنامه ريزي شده (T0) اضافه مي کنيم. گام دوم: انتخاب يکي از قطارهاي برنامه ريزي نشده • از بين قطارهايي که برنامه ريزي نشده اند يکي را بر حسب قانون ارجحيت انتخاب مي کنيم. • قوانين ارجحيت: قانون اول: انتخاب قطارها بر اساس زمان حرکت آنها از مبدا قانون دوم: انتخاب قطارها بر اساس اهميت آنها (سرعت، نوع يا متوسط درآمد) قانون سوم: انتخاب قطارها بر اساس حداقل انعطاف پذيري در زمان ورود و خروج آنها قانون چهارم: تلفيق سه قانون قبلي Sharif University of Technology Department of Industrial Engineering