MATEMATIKSEL ISPATLAR Nedir bunlar ve onlara neden ihtiya larimiz var

1. MATEMATIKSEL ISPATLARNedir bunlar ve onlara neden ihtiya�larimiz var?

2.

3.

4. Ispata gerek duymamizin bir�ok nedeni vardir. Ama esas nedeni, bazi seylerin dogrulugundan emin olmamiz gerektigidir. Matematik, keyfi olarak se�ilmis aksiyomlardan, teoremler t�rettigimiz bir oyun degildir. Aksiyomlari kullanarak teoremleri, bu teoremleri kullanarak yeni teoremleri t�retiriz. Bunu yaparken de sezgilerimizi kullaniriz. Sezgilerimiz bize neyin �nemli oldugunu, bir sonraki adimin ne olabilecegini gibi seyleri s�yler. Yani; ispatlari sezgisel olarak dogru olduguna inandigimiz ifadenin ger�ekten dogru oldugunu tasdik etmek i�in kullaniriz.

5.

7.

8.

9.

10.

11. � Eger n ve m birer �ift sayi ise o zaman m+n de bir �ift sayidir.� Burada; P=� n ve m birer �ift sayidir.� Q=�m+n bir �ift sayidir.� olarak alinirsa teoremin P?Q bi�iminde oldugu g�r�l�r. Burada P �nermesini de P1=� n bir �ift sayidir.� P2=�m bir �ift sayidir.� olarak ifade edersek teoremi bi�imine getirmis oluruz.

12.

13. Ispat (i): Kabul edelim ki n ve m nin her ikisi de �ift olsun. O zaman �yle k ve j tamsayilari vardir ki n=2k ve m=2j dir. O zaman n+m=2k+2j=2(k+j) olur. k ve j tamsayi oldugundan k+j de tamsayidir. B�ylece n+m de �ifttir. (ii), (iii) de benzer sekilde ispatlanir.

14.

15.

16. Ispat yaparken �zerinde durulmasi gereken baska bir nokta da neyi ispat edip neyi etmeyecegimize karar vermemizidir. �rnegin sayilar teorisi kitabinda iki �ift sayinin toplaminin �ift oldugunun ispatini yapmak gereksizdir.

17. Ispat y�ntemlerini �� baslik altinda toplayacagiz. Bunlar; dogrudan ispat, olmayana ergi yoluyla ispat ve �eliski y�ntemiyle ispattir.

18. Matematik hizli yapilan bir aktivite degildir. Bu y�zden bir ispati hizli bir sekilde yapmayi beklememelisiniz. Ispati son haline getirmeden �nce bir �n �alisma yapmaliyiz. Bu �n �alisma sirasinda kullanacagimiz y�ntemi belirlemek ve detaylari g�zden ge�irmek �nemlidir. Peki, hangi ispat y�ntemini kullanacagimiza nasil karar verecegiz?

19. Tabi� ki de bir ispat yaparken her y�ntem bizi istedigimiz sonuca g�t�rmez. Eger bir y�ntem basarisiz olursa bir digerini deneyin. Her matematik�i dogru ispat y�ntemini bulana kadar bir�ok yaklasim denemek zorundadir. Yani dogru y�ntemi deneme yanilma metoduyla bulacagiz. Ancak pek �ok ispati incelemek ve �alismakla deneme yanilma s�recini kisaltabiliriz.

20. Bu konuda ne kadar �ok tecr�be edinirsek, dogru y�ntemi se�mek i�in sezgilerimiz o kadar �ok gelisir. Sezgilerimiz de ne kadar g��l�yse, o kadar �abuk dogru y�nteme karar veririz.

21.

22. �rnegin, daha �nce bahsettigimiz � Eger n ve m birer �ift sayi ise o zaman m+n de bir �ift sayidir.� Teoreminin ispatini bu y�ntemle yaptik. Ilk �nce P �nermesinin (n ve m birer �ift sayidir) dogru oldugunu kabul ettik sonra da �ift tam sayi tanimini kullanarak, Q �nermesine (m+n bir �ift sayidir) ulastik

23. Kisacasi dogrudan ispat yaparken, ispat; bi�iminde olur.

24.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33. Olmayana ergi y�nteminde P?Q �nermesinin degili olan �Q ?� P �nermesinin P?Q �nermesine mantiksal olarak denk oldugu g�z �n�ne alinir. P?Q �nermesini dogrudan ispat y�ntemiyle ispatlamak yerine �Q ?� P �nermesini ispatlamak yeterli olacaktir. Yani, P?Q �nermesinin dogrulugunu ispatlamak i�in �Q �nermesinin dogru kabul edilip sonra adim adim �P �nermesine ulasmaya �alisacagiz.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45. Tanim: x bir reel sayi olsun. Eger m? 0 i�in x=n/m olacak sekilde n ve m tamsayilari varsa x e bir rasyonel sayi denir. Eger x rasyonel bir sayi degilse ona irrasyonel sayi deriz.

46.

47.

48.

49. �eliski yoluyla ispatimiz x in denklemini saglayan bir reel sayi ancak irrasyonel olmamasi ile baslayacak .(Yani rasyonel olusuyla.)

50.

51. Benzer sekilde m in de �ift olduguna karar veririz.Bundan dolayi m ve n nin her ikisinin de �ift olduguna karar vermis oluruz. Bu bir �eliskidir. Herhangi iki �ift sayinin bir ortak b�leni vardir ve 2 dir. Ancak kabul�m�z n ve m nin 1 ve �1 den baska ortak b�leni olmadigi idi . B�ylece x rasyonel degildir.

52.

53.

54.

55.

56.

57. B�t�n asal sayilarin toplulugu oldugu i�in bu asal sayilardan birisi Q nun �arpani olmak zorundadir. Kabul edelim ki olacak sekilde bir asal sayisi vardir ki Q nun �arpanidir. O zaman olacak sekilde bir R tamsayisi vardir. Bu durumda, dir.

58. Buradan da, olur. O halde 1 i b�ler. Ancak 1 i yalnizca 1 ve -1 tamsayilari b�ler. da bir asal sayi oldugundan 1 e ya da -1 e esit olamaz. Dolayisiyla Q bilesik sayi olamaz. Q asal sayidir. Bu da bizim bastaki kabul�m�zle �elistiginden sonsuz sayida asal sayi vardir.

65. �n �alisma kisminda yaptigimiz gibi her zaman A ve B �nermelerini a�ik�a belirtmeye gerek yoktur. Yukaridaki ispatta t�m durumlari karsilayan yalnizca iki durum vardi. Ancak bu sayi daha da fazla olabilir. �rnegin, �Her n pozitif tamsayisi i�in sayisi 5 ile b�l�nemez.� �nermesini ispatlayacak olsaydik o zaman bes farkli durum inceleyecektik: Durum 1: n=5k olsun. Durum 2: n=5k+1 olsun. Durum 3: n=5k+2 olsun. Durum 4: n=5k+3 olsun. Durum 5: n=5k+4 olsun. Her farkli durum i�in dogrudan ispat y�ntemini kullanarak yi hesaplayip 5 ile b�l�nemedigini g�sterecektik.

66. formundaki ifadeleri inceledik. Simdi de formundaki ifadeleri inceleyecegiz. bi�imindeki bir teoremi ispatlarken iki farkli yol kullanabiliriz. Bu y�ntemleri daha �nceden g�rd�g�m�z mantiksal denklikleri kullanarak elde ederiz.

67.