MATEMATIKSEL MODELLEME

1. MATEMATIKSEL MODELLEME

2. Ger�ek hayattaki sistemin basit bir seklidir. Model, sistemin �zellikleri temel alinarak olusturulur. Modelleme Nedir?

3. Bir model temsil ettigi sisteme benzer olmasina karsin ger�ek sistemden �ok daha basittir. Bir model ger�ek sisteme m�mk�n oldugunca yakin olmali ve onun �ogu �zelligini tasimalidir. Modelleme Nedir?

4. Modeller, Matematiksel veya Fiziksel olarak siniflandirilabilirler. Model T�rleri

5. Matematiksel Modelleme Nedir? Ger�ek hayat problemlerinin matematiksel terimlerle ��z�m�n� bulmayi temsil eden bir y�ntemdir. Matematiksel modelleme ile ger�ek sistemin davranisi incelenebilir ya da sistemden istenen sonu�larin alinabilmesi i�in gereken kosullar belirlenebilir.

6. Matematiksel model, genellikle bir s�recin ya da sistemin davranisini tanimlayan denklemlerden olusur. Fiziksel, kimyasal ve biyolojik s�re�lerin yani sira sosyolojik ve ekonomik s�re�ler de matematiksel modeller araciligiyla incelenebilir. Matematiksel Modelleme Nedir?

7. Hayatin her alanindaki problemlerin iliskilerini �ok daha kolay g�rebilmemizi, onlari kesfedip aralarindaki iliskileri, matematik terimleriyle ifade edebilmemizi, siniflandirabilmemizi, genelleyebilmemizi ve sonu� �ikarabilmemizi kolaylastiran dinamik bir y�ntemdir. Matematiksel Modelleme Nedir?

8. Genel olarak bir matematiksel model asagidaki gibi ifade edilir: Matematiksel Modelleme Nedir?

10. Statik/ Dinamik Matematiksel Modeller Statik modeller, basit dogrusal ifadeler ile kismen dogrusal olmayan ifadeler ve cebirsel ifadelerin karisimindan olusurken; dinamik matematiksel modeller, diferansiyel denklemler veya fark denklemleriyle tanimlanirlar. S�rekli Zamanli/ Kesikli Zamanli Matematiksel ModellerS�rekli zamanli dinamik modeller diferansiyel denklemlerle tanimlanirken, kesikli zamanli dinamik modeller fark denklemleriyle tanimlanirlar. Matematiksel Model �esitleri

11. Dogrusal/Dogrusal Olmayan Matematiksel Modeller Dogrusal modeller, girdileri dogrusal ��z�mler olan diferansiyel veya fark denklemleriyle tanimlanirlar. Dogrusal olmayan matematiksel modelleri tanimlayan denklemler ise bir veya daha fazla dogrusal olmayan terimlerden olusurlar. Toplu/Dagitilmis Parametreler Toplu parametreli adi diferansiyel denklemlerle tanimlanirken, dagitilmis parametreli sistemler ise kismi t�revli diferansiyel denklemlerle ifade edilirler. Matematiksel Model �esitleri

12. Zamana G�re Degisen/Degismeyen Matematiksel Modeller Zamana g�re degisen modeller, katsayilari zamana bagli olan diferansiyel veya fark denklemleriyle tanimlanirlar. Zamana g�re degismeyen matematiksel modeller ise katsayilari zamana bagli olmayan sabit olan diferansiyel veya fark denklemlerinden olusurlar. Deterministik/Stokastik Matematiksel Modeller Deterministik modeller belirli (kesin) parametre veya girdilere sahip iken stokastik modeller bir veya daha fazla girdi veya parametresi olasilik �zelligine sahiptir. Matematiksel Model �esitleri

13. Analitik ��z�m:Diferansiyel ve integral hesaplari ile kosullu en iyi ��z�m�n�n bulunmasidir. Algoritma ��z�m�: Yinelemeli olarak uygulanan algoritmalar her adimda optimuma daha yakin bir ��z�me dogru ilerler. Matematiksel Modelleme ve ��z�m Teknikleri

14. Sim�lasyon ��z�m�: Problem, analitik olarak veya algoritmalarla ��z�lemiyorsa kullanilir. Sistemin davranis sekli bilgisayar ortaminda taklit edilir. Sezgisel ��z�m: Problem optimum ��z�m� bulunamayacak kadar karmasiksa, sezgisel y�ntemler sezgiye veya bazi deneysel kayitlara dayanarak yeterli bir sonu� verir. Matematiksel Modelleme ve ��z�m Teknikleri

15. Problemin TanimlanmasiModel olusturulurken yapilmasi gereken birinci is problemin tanimlanmasidir. Problemin form�llendirilmesi ve problem ��z�m� i�in ileri s�r�len y�ntem, bilim ve programlama g�sterilerek yapilir. Problemin AnaliziModellemenin basindan sonuna kadar, problemin tamami ile analiz edilmesi gerekmektedir. Sistem parametreleri ve degiskenleri tanimlanir ve belirlenir vs. Matematiksel Modelin Kavramsallastirilmasi

16. Istenen Veri ve Bilgilerin BelirlenmesiBu asamada, matematiksel bir modelde suni verilerin olusturulmasi i�in saha ve laboratuar deneylerine ihtiya� duyar. Veri ve Bilgi Toplama Hipotezleri Kabul Etme ve Yaklasimlar YapmaProblem hakkinda hipotezler ve varsayimlar yapilarak ilerlenir. Matematiksel Modelin Kavramsallastirilmasi

17. Bir Model Mantiginin KurulmasiModel mantiginin kurulmasinda �� temel eleman vardir: Ger�ek d�nya Problem Problemin ��z�m� i�in kullanilacak ara�lar Parametrelerin ve Degiskenlerin Tanimlanmasi Matematiksel modeli tam olarak veya fonksiyonel formda belirtmeden �nce sistem parametrelerini, yardimci parametreleri ve giris �ikis degiskenlerini tanimlamamiz gerekir. Matematiksel Modelin Kavramsallastirilmasi

18. Etkinlik Islemlerinin BelirlenmesiSistem hakkindaki sorularimiza anlamli cevaplar bulabilmemiz i�in d�zenli bir etkinlik �l��mleri k�mesinin se�ilmesi gerekir. Ama�, t�m parametrelerin ve degiskenlerin bir fonksiyonu olacak sekilde sistem etkinligini belirtecek matematiksel bir fonksiyonun t�retilmesidir. Matematiksel Modelin Kavramsallastirilmasi

19. Mantiksal Akim Semasinin GelistirilmesiModel fonksiyonlarini mantiksal alt fonksiyonlarina b�leriz. Her bir alt modelde fonksiyonel is programlarina b�l�nerek model daha saf hale getirilmeye �alisilir. Matematiksel Esitliklerin Tam Olarak T�retilmesiBu asamada matematiksel esitlikler tamamlanmaya �alisilir. Model Ge�erliliginin Kontrol�Modelin ger�ek hayat �l��mleriyle yakinligi kontrol edilir. Model kavrami uygulanabilir mi, matematiksel esitlikler dogru olarak uygulanabilir mi gibi sorular sorulmalidir. Modelin Hayata Ge�irilmesi

20. �izge, u�lar ve bu u�lari birbirine baglayan kenarlardan olusan bir t�r ag yapisidir. �izge Kurami

21. 1736 da Isvi�reli matematik�i Leonhard Euler "K�nigsberg k�pr�leri problemi� olarak bilinen yedi k�pr�den her birini yalniz bir kere ge�mek kaydiyla y�r�menin m�mk�n olmadigini ispat eder. Bu problem �izge kuraminin�(graf teorisi) temelini olusturur. K�nisberg K�pr�leri

22. K�nisberg K�pr�leri

23. ��z�m i�in d�s�nce : Bir d�g�m eger baslangi� ya da bitis d�g�m� degilse o d�g�me gelindiginde dolasmanin tamamlanabilmesi i�in o d�g�mden ayrilinmasi gerekecektir. Bu nedenle bu d�g�mlerin derecesi �ift olacaktir. Tek dereceli bir d�g�me ikinci kere gelindiginde �ikis olmayacaktir. Dolayisiyla bu d�g�m dolasmanin baslangi� ya da bitis d�g�m� olarak se�ilmelidir. Bu sebeplerden tek dereceli d�g�m sayisi ikiden fazla ise gezinti tamamlanamayacaktir. K�nisberg K�pr�leri

24. Gezintinin sonunda baslangi� noktasina d�n�lebilmesi i�in b�t�n d�g�mler �ift dereceli olmalidir. B�ylece, baslangi� ve bitis d�g�m� ayni olan ve her bir elemani sadece ve en az bir kez i�eren turlara "Euler turu" ve Euler turu i�eren �izgelere de "Euler �izgesi" denilmistir. K�nisberg K�pr�leri

25. Her gezintide 1 k�pr�n�n a�ikta kaldigi g�r�lmektedir. K�nisberg K�pr�leri

26. Amacimiz her kuyudan her eve birer su kanali �ekmek fakat hi�bir su kanali birbirinin �st�nden ge�meyecek ve sonu�ta 9 adet su kanali olacak. 3 Ev 3 Kuyu Problemi

27. �esitli bilgisayar programlari ile test edilmis ve bir sonucunun olmadigi g�r�lm�st�r. Topolojik olarak da imkansiz oldugu kanitlanmistir. 3 Ev 3 Kuyu Problemi

28. Havaalani Sekilleri birbirinden farkli olan havaalani terminallerinin hangisinin kullanilmasinin uygun olacaginin belirlenmesinde matematiksel modelleme kullanilir. Matematiksel Modelleme �rnekleri

29. Merdiven Baslangi�ta ayagi duvardan 3 metre uzaklikta olan merdiven altindaki hali �ekilince ayaginin duvardan saniyede 1 metre sabit hizla uzaklastigi g�r�l�r. Matematiksel Modelleme �rnekleri

30. Temizlik Problemi Model fiyat, toplam oda sayisi, her kattaki oda sayisi, yatak vb. nesneleri i�erir. Bu model otelin idare edilmesinde yardimci olmaktadir. Matematiksel Modelleme �rnekleri

31. Tabiat ve Matematik G�zleme alinacak olan bir bitkinin b�y�me olayini modelleyip, gerekli verileri kullanarak bir grafik �izip sonra bu egrinin denklemini bulalim. Bitkinin maksimum yas ve boy tahminlerini yapalim. Degisik bitki t�rleri i�in yaprak y�zey alanlarinin saptanmasinda kullanilacak bir matematiksel modelleme olacaktir. Matematiksel Modelleme �rnekleri

32. Se�im Problemi D�nya �lkelerinin se�im metotlari ve bunlarin ge�erliligi incelenirse en �ok tercih edilen iki se�im metodunu ele alarak bunlari modeller yardimiyla karsilastirilabilinir. Bu se�im metotlarini kullanarak s�per ligde ilk �� takimin siralamalarinin belirlenmesinde bu modelleme kullanilabilir. Matematiksel Modelleme �rnekleri

33. G�kdelenler Bir binanin y�ksekligi bir felaket aninda ka�isi zorlastirir. Binanin X dakika i�inde bosaltilabilmesi i�in bir matematiksel model kurgulanirsa bu model ile binanin y�ksekligi, maksimum kapasite ve kullanilabilecek bosaltma metotlarinin t�rleri s�ylenilebilir. Matematiksel Modelleme �rnekleri

34. R�zgar ve Fiskiye Fiskiyelerin su akisi, yakindaki bir binanin tepesindeki hiz�l�ere bagli bir mekanizma tarafindan kontrol edilmektedir. Bu kontrol�n amaci bir r�zgar aninda fiskiye suyunun etrafa yayilmayacak sekilde dengelenmesidir. R�zg�r hizli estik�e suyun hacim ve y�ksekligi azaltilip, havuz alaninin disina daha az su akmasi saglanmaya �alisilmaktadir. Hiz�l�erden alinan veri kullanilarak, r�zg�rin hizi degistik�e fiskiyeden �ikan suyun akisini ayarlayan bir algoritma planlanmasi matematiksel modelleme kullanilarak yapilabilmektedir. Matematiksel Modelleme �rnekleri

35. Resim Galerisi G�venlik Sistemi Tablolarin yerlesimi, kameralarin izleme a�ilari ve ziyaret�ilerin rahat gezebilmeleri i�in olusturulacak modelleme. Matematiksel Modelleme �rnekleri

36. Matematiksel tip disiplini kanser, kalp krizi, AIDS gibi hastaliklarin teshis ve tedavisinde kullanilmaktadir. Beyin t�m�r� vakasinda kullanilmak �zere 2000 yilinda gelistirilen bir diferansiyel denklemden olusan matematiksel model tedavide basari saglamistir. Kullanilan model ile t�m�r�n hangi y�ne dogru yayilacagi ortaya konulmus ve b�ylece, radyoterapi ve cerrahi operasyonlar daha basarili planlanmasi saglanmistir. TIP Alaninda Matematiksel Modelleme

37. Optimal hastane yeri se�imi, hekim/hemsire n�betlerinin �izelgelenmesi, optimal personel atama, optimal fiyatlandirma, hasta kuyruklarinin analizi, ameliyathane hizmetlerinin optimizasyonu. Ambulans sisteminin daha etkin �alismasi i�in matematiksel form�ller gelistirilmis. B�ylece �l�mlerin azaltilmasi hedeflenmis. TIP Alaninda Matematiksel Modelleme

38. �zellikle et islemede olusabilecek olasi sicak ve soguk noktalarin �ng�r�lmesi ve kontrol� a�isindan da matematiksel modelleme olduk�a �nemli fayda saglamaktadir. Islem s�resince �r�n�n yapisinda meydana gelen kabuk olusumu, protein denaturasyonu, su salinimi, isitici y�zeye yapisma vb. gibi bir�ok degisim genellikle ihmal edilmektedir. Gidalarin Islenmesinde Matematiksel Modelleme

39. Tren gecikmeleri ile y�kleme/bosaltma ve bakim/onarim operasyon s�relerini ayarlamak i�in kullanilir. Bu ama�la TCDD�de vagonlarin manevra alanlarindaki hareketlerinin planlanmasina destek olacak, bir sistem gelistirilmistir. Manevra alanlarinin yapisi g�z �n�ne alinarak vagonlarin bu alanda manevra sayisini en aza indirgeyecek sekilde konumlandirilmasi saglanmistir. Istasyonlarda Matematiksel Modelleme

40. T�rk�enin az ara� ile �ok is yapmasinin sirri matematikte yatar. Ingilizcedeki "sick", "ill" ve "patient" kelimelerinin T�rk�e karsiligi "hasta" olarak g�sterilir. Ancak, aradaki farklar T�rk�ede baska sekilde vurgulanir: b�brek hastasi olmak, internet hastasi olmak vb. T�rk�ede Matematik Modelleme

41. Matematiksel olarak d�s�n�rsek 3 + 5 , 12 + 5 , 38 + 5 islemlerinde sayilarin hepsini 5 ile toplamamiza ragmen sonu�lar farkli �ikar. Bu da "hastasi olmak" ifadesinin hepsinde ge�mesine ragmen hepsinin farkli olmasina benzer. T�rk�ede Matematik Modelleme

42. Problemin Olusturulmasi ve Analizi M�sterilerin %30� u Yazi-Tura , %25� i Zar ve %45� i ise Kart Oyunu oynamaktadir. M�sterilerin %90� inin kullandigi bir restoranda %60 k���k harcama (ortalama 100TL), %30 orta harcama (ortalama 300TL), %10 ise b�y�k harcama (ortalama 500TL) yapildigi bilinmektedir. Bir Kumarhanenin Aylik Kazancinin Hesaplanmasi Problemi

43. M�sterilerin %90�i kendi ara�larini, %10�u ise kumarhaneye ait �zel ara�lari kullanmaktadir. Kumarhane, ara�larin park ve g�venlik masrafi olarak ara� basina g�nde 10 TL harcamakta olup, m�sterilerine sundugu �zel tasima hizmeti i�in ise kisi basina 50 TL almaktadir. Bir Kumarhanenin Aylik Kazancinin Hesaplanmasi Problemi

44. Kumarhanenin elektrik, su, dogalgaz vb. giderleri i�in her ay sabit ve ortalama 2000TL oldugu varsayilmaktadir. Personel maas ve giderleri ise aylik ortalama 30.000 TL�dir. Ayrica bu kumarhane mafyaya 20.000 TL hara� vermektedir. Bir Kumarhanenin Aylik Kazancinin Hesaplanmasi Problemi

45. 1. Oyun Zar: �ift zar atiliyor. Iki zarda ayni gelirse giris �cretinin 5 kati alinir, aksi halde giris �creti kasada kalir. 2. Oyun, Yazi-Tura: Madeni para �� defa �st �ste atilir. Hepsinde ayni y�z� bulursa giris �cretinin 3 katini alinir, aksi halde giris �creti kasada kalir. 3. Oyun, Kart: Iskambil destesinden rastgele olarak 5 kart se�ilir. Bunlarin ��� kasaya ve ikisi oyuncuya a�ilir. Oyuncunun k�gitlari toplami, kasaninkilerden b�y�k ise giris �cretinin 5 katini alinir, aksi halde giris �creti kasada kalir. (vale, kiz ve papaz 10 puan, as 11 puan ve diger k�gitlar da kendi sayi degerleri ile es puandadir). Bir Kumarhanenin Aylik Kazancinin Hesaplanmasi Problemi

46. Degiskenlerin Tanimlanmasi X1: Bir g�nde kumarhaneye gelen m�steri sayisi X2: 1. Oyuna giris �creti X3: 2. Oyuna giris �creti X4: 3. Oyuna giris �creti Bir Kumarhanenin Aylik Kazancinin Hesaplanmasi Problemi

47. 1. oyunda yapilan 10.000.000 tekrarlik deney sonucunda zarin her bir y�z�n�n ortaya �ikma olasiliginin esit ve yaklasik olarak 1/6 oldugu saptanmistir. 2. oyunda para atmaya iliskin yapilan 1.000.000 tekrarlik deney sonucunda paranin her bir y�z�n�n ortaya �ikma olasiliginin esit ve yaklasik olarak 1/2 oldugu saptanmistir. 3. oyunda kart �ekmeye iliskin yapilan 1.000.000 tekrarlik deney sonucunda her bir kartin ortaya �ikma olasiliginin esit ve yaklasik olarak 1/52 oldugu saptanmistir. Bir Kumarhanenin Aylik Kazancinin Hesaplanmasi Problemi

48. Modelin Kurulmasi Beklenen Kazan� = [Oyuncunun Kaybetme Olasiligi].[Oyun Giris �creti] � [Oyuncunun Kazanma Olasiligi].[Oyuncuya �denecek Para] Bir Kumarhanenin Aylik Kazancinin Hesaplanmasi Problemi

49. Yazi-Tura oyunu i�in kumarhanenin beklenen kazanci: E1 = {7/8}.X2 � {1/8}.X2.3 Zar oyunu i�in kumarhanenin beklenen kazanci: E2 = {30/36}.X3 � {6/36}.X3.5� Kart oyunu i�in kumarhanenin beklenen kazanci: E3 = {0,82}.X4 � {0,18}.X4.5 Restoranin beklenen kazanci : E4 = [X1][0,90] {(0,60)(100) + (0,30)(300) + (0,10)(500)} + [X1] [0,10] {(1,00)(0)} M�sterilerin kumarhaneye ulasimindan dogan beklenen kazan�: E5 = [X1][0,10](50) � [X1][0,90](10) Bir Kumarhanenin Aylik Kazancinin Hesaplanmasi Problemi

50. 1. oyunun aylik beklenen kazanci: E1 = [X1][0,30].[{7/8}.X2 � {1/8}.X2.3] 2. oyunun aylik beklenen kazanci: E2 = [X1][0,25].[{30/36}.X3 � {6/36}.X3.5] 3. oyunun aylik beklenen kazanci: E3 = [X1][0,45].[{0,82}.X4 � {0,18}.X4.5] Bir Kumarhanenin Aylik Kazancinin Hesaplanmasi Problemi

51. Kumarhanenin aylik beklenen kazanci: Z/30 = {(Aylik beklenen ortalama kazan�) � (Aylik beklenen ortalama gider)} Bir Kumarhanenin Aylik Kazancinin Hesaplanmasi Problemi

52. Z /30 = { [X1] [ [0,30].[{7/8}.X2 � {1/8}.X2.3] + 1. Oyundan beklenen g�nl�k kazan� [0,25].[{30/36}.X3 � {6/36}.X3.5] + 2. Oyundan beklenen g�nl�k kazan� [0,45].[{0,82}.X4 � {0,18}.X4.5] + 3. Oyundan beklenen g�nl�k kazan� � [0,90] {(0,60)(100) + (0,30)(300) + Restoranin beklenen g�nl�k kazanci (0,10)(500)} + [X1] [0,10] {(1,00)(0)} + � [0.10](50) � G�nl�k beklenen �zel tasima geliri [0.90](10) G�nl�k beklenen ara� park ve g�venlik gideri ] } � { 2000 / 30 + G�nl�k ortalama elektrik,su,dogalgaz vb. giderler 30000/30 + G�nl�k ortalama personel gider ve �demeleri 20000/30 G�nl�k ortalama mafya haraci } � Bir Kumarhanenin Aylik Kazancinin Hesaplanmasi Problemi

53. TESEKK�RLER