MATEMATİKSEL PROGRAMLAMA

1. MATEMATİKSEL PROGRAMLAMA DOĞRUSAL PROGRAMLAMA GRAFİK ÇÖZÜM YÖNTEMİ

2. Temel Kavramlar • Çözüm: Bir doğrusal programlama probleminin kısıtlayıcı fonksiyonlarının hepsini birden sağlayan karar değişkenlerinin (x1, x2, ..., xn) oluşturduğu kümeye çözüm denir. • Uygun çözüm: Negatif olmama koşulunu sağlayan çözüme uygun çözüm denir. • En iyi çözüm: Amaç fonksiyonuna en iyi değeri (en küçük veya en büyük) sağlayan uygun çözüme en iyi çözüm denir.

3. Grafik Çözüm Yönteminin Aşamaları • Bir doğrusal programlama probleminin grafik çözümünde aşağıdaki adımlar izlenir: 1. Değişkenlerin koordinat sisteminin yatay ve dikeyeksenlerine yerleştirilmesi, 2. Kısıtlayıcı fonksiyonların grafiğinin çizilmesi, 3. Uygun çözüm bölgesinin belirlenmesi, 4. En iyi çözümün araştırılması.

4. Örnek 1

5. Örnek 1-devam

6. Örnek 1-devam

7. Örnek 3

8. Örnek 3-devam

9. Örnek 3-devam

10. Örnek 4 Aşağıdaki doğrusal programlama problemini grafik yöntemiyle çözünüz Zenk = 3x1 + 5x2 3x1 + x2³ 9 x1 + 2x2³ 8 x1 + 5x2³ 10 x1, x2³ 0

11. Örnek 4-devam Doğruların çizilmesiyle ilgili aritmetik işlemler aşağıda topluca gösterilmiştir. • 3x1 + x2 = 9 eşitliğinde x1 = 0 için x2 = 9, x2 = 0 için x1 = 3, • x1 + 2x2 = 8 eşitliğinde x1 = 0 için x2 = 4, x2 = 0 için x1 = 8, • x1 + 5x2 = 10 eşitliğinde x1 = 0 için x2 = 2, x2 = 0 için x1 = 10 • ZA = Z(0, 9) = 3(0) + 5(9) = 45 • Zenk =ZB = Z(2, 3) = 3(2) + 5(3) = 21* • ZC = Z(20/3, 2/3) = 3(20/3) + 5(2/3) = 23.3 • ZD = Z(10, 0) = 3(10) + 5(0) = 30

12. Örnek 5 • Aşağıdaki doğrusal programlama problemini grafik yöntemiyle çözünüz. Zenk = 2x1 + 3x2 3x1 + 2x2³ 6 x1 - 2x2£ 4 x1£ 5 x2£ 3 x1, x2³ 0

13. Örnek 5-devam • Uç noktaların koordinatlarının ayrı ayrı hesaplanıp amaç fonksiyonunda yerine konulmasıyla ulaşılan değerler de (aşağıda topluca verilmiştir) E noktasının en iyi çözümü sağlayan nokta olduğunu göstermektedir. • ZA = Z(0, 3) = 2(0) + 3(3) = 9 • ZB = Z(5, 3) = 2(5) + 3(3) = 19 • ZC = Z(5, 0,5) = 2(5) + 3(0.5) = 11.5 • ZD = Z(4, 0) = 2(4) + 3(0) = 8 • ZE = Z(2, 0) = 2(2) + 3(0) = 4

14. Grafik Çözümde Karşılaşılan Özel Durumlar • Eşitsizliklerin Tutarsız Olması • Sınırsız Çözüm • Uygun Çözüm Bölgesinin Bir nokta Olması • Alternatif Eniyi Çözümün Bulunması

15. 1. Eşitsizliklerin Tutarsız Olması • Aşağıdaki doğrusal programlama problemini grafik yöntemiyle çözünüz. Zenb = 6x1 + 3x2 x1 + 2x2£ 2 2x1 + x2³ 6 x1, x2³ 0

16. 1. Eşitsizliklerin Tutarsız Olması-devam • Aşağıdaki doğrusal programlama problemini grafik yöntemiyle çözünüz. Zenb = 6x1 + 3x2 x1 + 2x2£ 2 4x1 + 3x2³ 12 x1, x2³ 0

17. 2. Sınırsız Çözüm • Aşağıdaki doğrusal programlama problemini grafik yöntemiyle çözünüz. Zenb = 2x1 + x2 -2x1 + x2£ 4 x1 - x2£ 1 x1, x2³ 0

18. 3. Uygun Çözüm Bölgesinin Bir Nokta Olması Aşağıdaki doğrusal programlama problemini grafik yöntemiyle çözünüz. Zenb = 6x1 + 3x2 x1 + x2£ 6 3x1 + 5x2³ 24 x2 = 3 x1, x2³ 0 Üç doğrunun kesiştiği noktanın koordinatlarının belirlenmesi amacıyla bunlardan rasgele seçilen ikisi, 3x1 + 5x2 = 24 ve x2 = 3 olsun. Bu iki denklemin çözümünden x1 = 3, x2 = 3 elde edilir. Buradan amaç fonksiyonunun en büyük değeri,Z’de x1 = 3, x2 = 3 yerleştirilmesiyle, Zenb = 6(3) + 3(3) = 27olarak hesaplanır.

19. 4. Alternatif Eniyi Çözümün Bulunması Aşağıdaki doğrusal programlama problemini grafik yöntemiyle çözünüz. Zenb = 8x1 + 8x2 2x1 + 3x2³ 12 3x1 + 2x2³ 12 x1 + x2£ 6 x1, x2³ 0 Problemin uygun çözüm bölgesi ABC üçgen alanıdır. Amaç fonksiyonunun ABC üçgeninin uç noktalarındaki değerleri aşağıda verilmiştir. ZA = Z(0, 6) = 8(0) + 8(6) = 48 ZB = Z(6, 0) = 8(6) + 8(0) = 48 ZC = Z(12/5, 12/5) = 8(12/5) + 8(12/5) = 192/5 Amaç fonksiyonu en büyük değerine A(0, 6) ve B(6, 0) noktalarında ulaşmıştır. Dolayısıyla A ve B noktalarındaki çözümler birbirlerine alternatif olan en iyi çözümlerdir.

20. Ödev Aşağıdaki DP problemini grafik çözüm yöntemi ile çözünüz. Zenb = 3x1 + 6x2 x1 + x2 4 x1 + x2 1 x1 - x2 -1 x1, x2³ 0