ESPONENZIALI E LOGARITMI

1. Dal grafico di... al grafico di.... proprietà Esponenziali e Logaritmi logaritmi disequazioni equazioni ESPONENZIALI E LOGARITMI Grafico canonico Paola Suria Arnaldi

2. Proprietà delle potenze Paola Suria Arnaldi

3. Grafico della funzione esponenzialecon a >1 • Leggiamo le proprietà sul grafico • Domf R • Imf R+ • Fz. monotona crescente • Fz. Iniettiva • Fz. Non suriettiva • Fz. Non biiettiva Paola Suria Arnaldi

4. Grafico della funzione esponenzialea x (con 0<a<1) • Leggiamo le proprietà sul grafico • Domf R • Imf R+ • Fz. monotona decrescente • Fz. Iniettiva • Fz. Non suriettiva • Fz. Non biiettiva Paola Suria Arnaldi

5. 2x = 4  2x = 22  x = 2 • 2x = 8  2x = 23  x = 3 • 2x = 5  2x = 2?  x = ???  x = log2 5 • ax = b ↔ x = logab (con a >0 e b >0) • 2x = 4 ↔ x = log24 = 2 • 2x = 6 ↔ x = log26 • log28 = x ↔ 2x = 8 • log510= x ↔ 5x = 10 Per defi. Dall’esponenziale ai logaritmi Paola Suria Arnaldi

6. Proprietà dei logaritmi • Teoremi dei logaritmi • loga (m*n) = loga m + logan con a>0, m, n >0 • loga (m/n) = loga m - logan con a>0, m, n >0 • loga (mn) = n* loga m con a>0 m >0 • loga m = (logbm) / (logba) con a, b, m > 0 • Convenzioni • log10a = Log a • logea= ln a, con e = 2,71828182818... • Ricorda • Ln o = non esiste!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! • loga 1 = 0 , qualsiasi a • loga a = 1 , qualsiasi a • loga a2 = 2 , qualsiasi a Paola Suria Arnaldi

7. Grafici logaritmici canonici • Leggiamo le proprietà sul grafico • Domf R+ • Imf R • Fz. monotona crescente • Fz. Iniettiva • Fz. Suriettiva (Imf ≡ R) • Fz. biiettiva Paola Suria Arnaldi

8. Grafici logaritmici canonici • Leggiamo le proprietà sul grafico • Domf R+ • Imf R • Fz. monotona decrescente • Fz. Iniettiva (criterio rette orizzontali, oppure monotonia) • Fz. Suriettiva (Imf ≡ R) • Fz. biiettiva Paola Suria Arnaldi

9. Equazioni esponenziali • x 2 = 4  equazione di II° (la base della potenza è incognita, l’esponente è un numero) • 2 x = 4  equazione esponenziale (la base della potenza è un numero, l’esponente è incognito) • Partiamo dall’analisi di alcuni esempi e poi.... generalizziamo • a x = k nessuna soluzione (qualunque a e con k appartenente ad R -) • a x = k ↔ x = logak (qualunque a e con k appartenente ad R+) • af(x) = ag(x)↔ f(x) = g(x) • af(x) = bf(x) ↔ f(x) = 0 • p a2x + q ax + k = 0 ↔ ax = t ; p t2 +q t + k = 0;.... t = .....; x = loga..... Paola Suria Arnaldi

10. Disequazioni • af(x) > k, k є R - U{0} ↔ qualsiasi x є R • af(x) < k, k є R - U{0}↔ nessuna soluzione • af(x) > k, a > 1, k є R + ↔ f(x) > loga k..... • af(x) < k, a > 1, k є R + ↔ f(x) < loga k..... • af(x) > k, 0<a<1, k є R +↔ f(x) < loga k..... • af(x) < k, a > 1, k є R + ↔ f(x) > loga k..... Paola Suria Arnaldi

11. Equazioni logaritmiche • logaf(x)=k, con k єR ↔ • logaf(x)=0 ↔ f(x) = 1 • logaf(x)=1 ↔ f(x) = a • logaf(x)=logag(x) ↔ • K*logaf(x)+ h*logag(x)=p*logar(x); logaf(x)k+ logag(x)h=logar(x)p; logaf(x)*g(x)=logar(x)p;....... con le condizioni di esistenza Paola Suria Arnaldi

12. Disequazioni logaritmiche Paola Suria Arnaldi

13. -√2 -1 1 √2 APPLICHIAMO I CONCETTI ALLO STUDIO DI FUNZIONE • Domf: x2 – 1 > 0 ↔ |x| > 1 oppure x < -1 V x > 1; oppure (- ∞, -1) U (1, +∞); • Zeri della funzione: f(x) = 0 ↔ ln (x2 – 1) = 0; (x2 – 1) = 1; x2 = 2; |x|=±√2; • Segno della funzione: f(x) > 0 ↔ ln (x2 – 1) > 0; (x2 – 1) > 1; x2 > 2; |x|>√2 ovvero x<- √2 V x > √2 ; • f(x) < 0 ↔ dove esiste, ma non è positiva!!! cioè altrove Paola Suria Arnaldi

14. 1 2 APPLICHIAMO I CONCETTI ALLO STUDIO DI FUNZIONE Domf : R oppure (-∞, +∞) Zeri: f(x) = 0 ↔ ex (x2 – 3x + 2); (legge annullamento prodotto) ex = 0 V x2 –3x +2=0 → poiché ex = 0 non ha soluzione, le soluzioni sono x = 1 e x = 2; Segno di funzione: è un prodotto di due fattori, il primo dei quali è sempre positivo → il segno della funzione dipende dalla parentesi f(x) > 0 ↔(x2 – 3x + 2)>0; disequazione di II grado x<1 V x > 2 f(x) < 0 ↔ (x2 – 3x + 2) <0 1 < x < 2 Paola Suria Arnaldi