Progresii

1. Progresiilearitmetice Progresii

2. Un sir de numere (A1 ,A2 ,… ,An ; n>=1) in care fiecaretermenincepand cu al doilea ,se obtine din cel precedent prinadaugareaunuinumar constant “ r ” ,numitratie ,se numesteprogresiearitmetica. An+1=A n + r Numerele a1, a2, a3,...,an, se numesctermeniiprogresieiaritmetice.

3. Din definiţie, rezultă căȋntr-o progresiearitmeticădiferenţa dintreoricetermenşipredecesorulsăuesteegală cu acelaşinumăr r. Pentru a puneȋn evidenţă, căşirula1, a2, a3,...,an, este o progresiearitmetică, se foloseştenotaţia ÷ a1, a2, a3,...,an. O progresiearitmeticăestebinedeterminată, dacă se cunoscprimultermen a1şiraţia r. Se spunecănumerele a1, a2, a3,...,ansuntȋnprogresiearitmeticădacăelesunttermeniiconsecutiviaiuneiprogresiiaritmetice.

4. 1) Dacă a1= 0, r = 1, se obţineprogresia: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , … , n , … adicăşirulnumerelornaturale. 2) Dacă a1 = 2, r = 2, se obţineprogresia: 2 , 4 , 6 , … , 2n , … adicăşirulnumerelornaturale pare. 3) Dacă a1 = 1, r = 2, se obţineprogresia: 1 , 3 , 5 , … ,2n + 1, … adicăşirulnumerelornaturaleimpare. 4) Dacă a1 = -2 şi r = - 4, rezultăprogresiaaritmetică : -2 , -6 , -10 , -14 , … 5) Dacă a1 = - 2 şi r = 3, obţinemprogresiaaritmetică : -2 , 1 , 4 , 7 , … Exemple:

5. ExercitiuSă se determine primii patru termeni, ai unei progresii aritmetice(an), dacă: a) a1 = - 1, r = • Rezolvare : a) a2 = a1 + r = - 1 + = ; • a3 = a2 + r =+ = 2 ; • a4 = a3 + r = 2 + = . • b) a1 = ; a2 = 2 = . • Rezolvare: Determinăm raţia : r = a2 – a1 = - = 2. Din formula de recurenţă, caredefineşteprogresiaaritmetică : ak = ak-1 + r , k ≥ 2 , pentru k = 3, respectiv 4, se obţine : a3 = a2 + r = + 2 = ; a4 = a3 + r = + 2 = .

6. Progresiilegeometrice

7. Definitie: O functiedefinitapemultimea IN* a numerelornaturalenenule cu valoriintr- o multime E se numeste sir de elemente ale multimiiE.

8. Definitie: Un sir de numere al carui prim termenestenenul, iarfiecaretermen al sau, incepand cu al doilea, se obtine din cel precedent prininmultirea cu un acelasinumarnenul. Exemplu: un sir de numere b1, b2, b3, …, bn, …(b1¹0) Este o progresiegeometricadaca, pentruorice k³1, avem b k+1 = bk×q, unde q¹0 este un numar constant pentrusirul dat. Intr-o progresiegeometricacatuldintreoricetermensipredecesorulsauesteegal cu acelasinumarq. Numarulq se numesteratiaprogresieigeometrice. Progresiageometrica (bn) estecompletdeterminatadaca se cunoscprimultermen b1siratiaq. Numerele b1, b2, b3, …, bnsunt in progresiegeometricadacaelesunttermenii consecutive aiuneiprogresiigeometrice

9. Oricetermen al uneiprogresiigeometrice cu termini pozitivi b1, b2, …, b n-1, bn, b n+1, …, incepand cu al doilea, este media geometrica a termenilorvecinilui. Pentruorice n ³ 2, bn =√ b n-1 b n+1 Reciproca: Daca un sir de numere cu termenipozitivi are proprietatea ca fiecaretermen al sau, incepand cu al doilea, este media geometrica a termenilorvecinilui, atunciacest sir este o progresiegeometrica. Formula termenului general al uneiprogresiigeometrice Fie b1primultermen al progresiigeometricesiqratiasa. Deducem: b2 = b1×q, b3 = b2 ·q = (b1·q)· q = b1·q2, b4 = b3 · q = (b1 · q2) · q = b1 · q3s.a.m.d. Termenulgeneral al uneiprogresiigeometriceestedat de formula: bn= b1 · q n-1 Formula sumelorprimilor n termini aiuneiprogresiigeometrice Fie (bn) o progresiegeometrica de ratie q si fie Snsumaprimilor n termini aisai: Sn = b1 + b2 + b3 + …+ b n-1 + bn Numerele b1 , b2 , b3 ,…, b n-1 , bnsunt in progresiegeometrica. Ca sipentrunumere in progresiearitmetica, pentrunumerele b1 , b2 , b3 ,…, b n-1 , bn, care sunt in progresiegeometrica, are loc o relatieanaloaga: bkbn-k+1 = b1bn Produsuloricarordouanumereegaldepartate de numerele extreme esteegal cu produsulnumerelor extreme.