PROGRESII MATEMATICE

1. PROGRESII MATEMATICE

2. PROGRESIIARITMETICE

3. PROGRESII ARITMETICE Def.Un şir (an )n1 în care fiecare termen, începând cu al doilea, se obţine din precedentul prin adunare cu un număr fix (r numitraţie) se numeşte progresie aritmetică . a1 ,a2 , ... , an-1 , an , an+1 , ... an = a n-1 + r, n  2 r = an- an-1 , n  2 . Ex.: 2, 6, 10, a4 ,a5 ,... r = a3 –a2 = 10 – 6 = 4; a4 = a3+ r = 10 + 4 = 14; a5 = a4 + r = 14 + 4 = 18 . .

4. TEOREMĂ Fie (an)n 1 un şir de numere reale. Atunci are loc echivalenţa:  a1, a2, ... , an-1, an , an+1 , ...   Exerciţiu Fie numerele reale x - 1, 2x , x+7 în progresie aritmetică. Să se determine x . Rezolvare:  x – 1, 2x, x + 7 

5. Formula termenului general Teoremă: Într-o progresie aritmetică (an )n  1 cu raţia r, termenul general este dat de formula: Exerciţiu Să se determine primii doi termeni ai progresiei aritmetice (an )n  1ştiind că a10= 131 şi r = 12.

6. Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice Sn = a1 +a2 + ... + an , n  1 Cu , formulasumei devine:

7. Obs. Orice progresie este bine determinată dacă se cunosc primul termen şi raţia. Exerciţii 1)Într-o progresie aritmetică se cunosc a1 = 9şi r = -3 . Să se determine suma primilor 7 termeni. 2) Într-o progresie aritmetică se cunosc a47 = 74şi a74 = =47. Să se determine primul termen şi raţia. 3) Să se determine termenul general şi raţia unei progresii aritmetice dacă suma primilor n termeni este:

8. PROGRESIIGEOMETRICE

9. Definiţie Se numeşte progresie geometrică, un şir de numere reale : ,cu b1≠ 0, în care , fiecare termen începând cu al doilea, se obţine din precedentul, prin înmulţirea cu acelaşi număr q≠0. Numărul q se numeşte raţia progresiei . • Observaţii : 1) Şirul : este progresie geometrică, dacă: bn = bn-1 . q , n ≥ 2, b1≠ 0, q≠0. 2) Numerele : b1 , b2 , b3 , ………, bn ,…….se numesctermenii progresiei geometrice.

10. Comentarii: 1)Din definiţie, rezultă că, într-o progresie geometrică, raportul a doi termeni consecutivi : bn-1 , bn , este constant : = constant, n ≥2 . 2) Pentru a pune în evidenţă, că şirul : b1 , b2 , b3 , ………, bn ,……., este o progresiegeometrică, se foloseşte notaţia : b1 , b2 , b3 , ………, bn ,…….. 3) O progresie geometrică : b1 , b2 , b3 , ………, bn ,…….. este bine determinată, dacă se cunosc : primul termen : b1≠0şi raţia : q ≠ 0 ; b2 = b1. q , b3 = b2 .q = b1 . q2 ,………… . 4) Numerele : b1 , b2 , b3, ……, bn - 1, bn , sunt în progresie geometrică, dacă sunt termenii consecutivi ai unei progresii geometrice, adică , dacă : = =……….. = .

11. Exemple: 1) Dacă : b1 = 1 , q = , se obţine progresia geometrică : 1, , ,……, ,…….. 2) Dacă : b1 = , q = , se obţine progresia geometrică: , , ,..…. , , ……. 3) Dacă : b1 = 1 , q = 2 => 1 , 2 , 4 , 8 , ….., 2n-1 , ….. 4) Dacă : b1 = 2 , q = - 2 => 2 , - 22 , 23 , ………., ( - 1 )n+1. 2n ,…

12. PROPRIETĂŢILEPROGRESIEIGEOMETRICE G1( Monotonia) Fie o progresie geometrică de raţie q . Daca:  b1 > 0 şi q > 1, atunci şirul este şir strict crescător : b1 < b2 < b3 <…….< bn < bn+1 < ….. b1 > 0 şi q є ( 0 , 1 ) , atunci şirul este şir strict descrescător : b1 > b2 > b3 >…….> bn > bn+1 > …..  b1 < 0 şi q > 1, atunci şirul este şir strict descrescător;  b1 < 0 şi q є ( 0 , 1 ) , atunci şirul este şir strict crescător .

13. G2 Formulatermenuluigeneral Dacă şirul este o progresie geometrică de raţie q , atuncitermenul general, are forma : bn = b1 . qn-1 , n ≥ 1 .

14. G3Caracterizarea progresiei geometrice Şirul , cu termeni nenuli, este progresie geometrică pentru <=> orice termen al său, incepând cu al doilea, avem : =  , n ≥ 2

15. G4 Dacă numerele: b1, b2 , b3 , ……., bn-1 , bn , sunt în progresie geometrică,atunci: b1 bn = b2 bn-1 = ……= bk bn-k+1 , k = .

16. G5Sumaprimilor ntermeni Dacă este o progresie geometrică, de raţie q, cu  Sn = b1 + b2 + …………+ bn , atunci  Sn =