Download
1 / 14
190 likes | 429 Views
Realizat Prof. FLORESCU NICOLAE G.S.I.A. FETE ŞTI. PROGRESII. ÎNTREBĂRI DE CONŢINUT. Ce sunt progresiile aritmetică şi geometrică ? Cum se definesc progresiile cu ajutorul recurenţelor ? Care este formula pentru termenul general al unei progresii ? Cum caracterizăm progresiile ?
E N D
Realizat Prof. FLORESCU NICOLAE G.S.I.A. FETEŞTI PROGRESII
ÎNTREBĂRI DE CONŢINUT • Ce sunt progresiile aritmetică şi geometrică? • Cum se definesc progresiile cu ajutorul recurenţelor? • Care este formula pentru termenul general al unei progresii? • Cum caracterizăm progresiile? • Care este condiţia ca 3 numere să fie elemente consecutive ale unei progresii? • Care este formula pentru suma primilor „n” termeni ai unei progresii? • Cum stabilim dacă un şir căruia i se dă Sn este, sau nu, o progresie?
Ce sunt progresiile aritmetică şi geometrică? • Ce sunt progresiile aritmetică şi geometrică? • Progresia aritmetică • Progresia geometrică Definiţie: Un şir de numere reale nenule bn pentru care fiecare termen începând cu al doilea se obţine din termenul precedent prin înmulţirea cu un număr nenul q numit raţie se numeşte progresie geometrică Definiţie: Un şir de numere reale an pentru care fiecare termen începând cu al doilea se obţine din termenul precedent prin adăugarea unui număr r numit raţie se numeşte progresie aritmetică Notaţie: Pentru a pune în evidenţă căşirulan, este o progresie aritmetică, se foloseşte notaţia ÷ a1, a2, a3, … ,an, … Notaţie: Pentru a pune în evidenţă căşirulbn, este o progresie geometrică, se foloseşte notaţia ÷÷ a1, a2, a3, … ,an, …
Cum se definesc progresiile cu ajutorul recurenţelor? • Cum se definesc progresiile cu ajutorul recurenţelor? • Progresia aritmetică • Progresia geometrică Definiţie: Şirul bn , n≥1 este o progresie geometrică dacă şi numai dacă există q număr real nenul astfel încât bn+1= bn.qoricare ar fin≥1, b1≠0 Definiţie: Şirul an , n≥1 este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă există r număr real astfel încât an+1=an+r oricare ar fin≥1 . Observaţie: Recurenţa de mai sus nu determină în mod unic şirul, garantează doar faptul că şirul este o progresie aritmetică. Progresia aritmetică este determinată de primul termen şi raţie. Observaţie: Recurenţa de mai sus nu determină în mod unic şirul, garantează doar faptul că şirul este o progresie geometrică. Progresia geometrică este determinată de primul termen şi raţie.
Care este formula pentru termenul general al progresiei? • Progresia aritmetică • Progresia geometrică Teoremă: Termenul general al progresiei aritmetice an , n≥1 de raţie r este:an=a1+(n-1)·r oricare ar fin≥2 . Teoremă: Termenul general al progresiei geometrice bn , n≥1 de raţie q , q ≠ 0 este:bn= b1·qn-1oricare ar fin≥2 .
Cum caracterizăm progresiile? • Cum caracterizăm progresiile? • Progresia aritmetică • Progresia geometrică Definiţie echivalentă: Şirul bn , n≥1 de numere nenule este o progresie geometrică dacă şi numai dacă raportul bn+1/ bneste constant oricare ar fin≥1 . Definiţie echivalentă: Şirul an , n≥1 este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă diferenţa an+1- aneste constantăoricare ar fin≥1 . Caracterizare: Şirul bn , n≥1 de numere nenuleeste o progresie geometrică dacă şi numai dacă (bn)2=bn+1· bn-1oricare ar fin≥2 Caracterizare: Şirul an , n≥1 este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă an=(an+1+ an-1) / 2oricare ar fin≥2 . Observaţie: Şirul bn , n≥1 de numere nenulestrict pozitiveeste o progresie geometrică dacă şi numai dacă oricare ar fin≥2 .
Care este condiţia ca 3 numere să fie • elemente consecutive ale unei progresii? • Progresia aritmetică • Progresia geometrică Condiţie: Condiţia ca numerele nenule a,b şi c să fie termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este: b2 = ac Condiţie: Condiţia ca numerele a,b şi c să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice este: 2b = a+c
Care este formula pentru suma primilor • n termeni ai unei progresii? • Progresia aritmetică • Progresia geometrică Teoremă: Dacă pentru progresia geometrică (bn) n≥1 de raţie q,se notează cuSn suma primilor n termeni, adică: Sn=b1+b2+b3+…+bn atunci: Sn=nb1 pentru q=1 şi Sn=b1(qn-1)/ (q-1), pentru q≠1 Teoremă: Dacă pentru progresia aritmetică (an) n≥1 se notează cuSn suma primilor n termeni, adică: Sn=a1+a2+a3+…+an atunci Sn=(a1+an)· n / 2
Cum stabilim dacă un şir căruia i se dă Sn este, sau nu, o progresie? • Progresia aritmetică • Progresia geometrică Pasul 1: Calculăm Sn-1 Pasul 1: Calculăm Sn-1 Pasul 2: Calculăm diferenţa Sn - Sn-1 şi vom obţine formula termenului general an Pasul 2: Calculăm diferenţa Sn - Sn-1 şi vom obţine formula termenului general bn Pasul 3: Calculăm diferenţa an - an-1 şi dacă diferenţa este constantă (nu depinde de n) atunci vom avea o progresie aritmetică, în caz contrar, nu va fi o progresie aritmetică Pasul 3: Calculăm raportul bn/ bn-1 şi dacă raportul este constant (nu depinde de n) atunci vom avea o progresie geometrică, în caz contrar, nu va fi o progresie geometrică.
F Â S R I T Ş F Â S R I T Ş
