TYTUT21

1. TYTUT21 TUME II / Tilastollinen osuus Tunnusluvut Seppo Räsänen Savonia-amk Terveysala Kuopio Kevät 2008

2. Tunnusluvut… • Sijaintiluvut (kuvaavat tilastoaineiston keskimääräistä sijaintia) • Moodi (tyyppiarvo) • Mediaani • Fraktiilit • Keskiarvo • Hajontaluvut (kuvaavat havaintojen keskinäistä sijaintia) • Vaihteluväli • Kvartaaliväli • Keskihajonta (=standardipoikkeama) • Varianssi • Variaatiokerroin • Muita tunnuslukuja • Vinous • Huipukkuus • Keskiarvon luottamusväli • Keskivirhe • Jne.. • Tunnuslukujen valinta riippuu aineistosta, tarvittavasta tulkinnasta ja tutkijan kokemuksesta

3. Tunnusluvut… • Mitta-asteikolle soveliaat keskiluvut

4. Tunnusluvut… • Mitta-asteikolle soveliaat hajontaluvut

5. Tunnusluvut… • Moodi • Voidaan laskea nominaaliasteikolliselle (laatueroasteikollinen, luokiteltu) muuttujalle, esim. eduskuntamme puolueista moodin muodostaa SDP (eniten edustajia) • Moodi = tyypillinen arvo = arvo, joka esiintyy useimmin (tyyppiarvo) • Muuttuja voi olla useampi moodinen (esim. bimodaalinen) • Moodi saadaan selville frekvenssijakaumasta • Esim. Laske muuttujan x arvoista moodi. 2, 13, 14, 13, 2, 5, 34, 13, 44, 8, 22, 89,4 Useimmin esiintyy luku 13 eli Mo = 13

6. Tunnusluvut… • Mediaani • Mediaani lasketaan muuttujan suuruusjärjestykseen määritetystä listasta • Mediaani on järjestetyn listan keskimmäinen alkio, jos on parillinen määrä tietoa, niin kyseeseen tulee kahden keskimmäisen arvon keskiarvo  mediaanin pienempien ja suurempien arvojen lukumäärä on sama. • Mediaanin laskentaan tarvitaan vähintään järjestysasteikollinen muuttuja • Esim. Laske muuttujan x arvoista mediaani. Järjestä luvut ensi suuruusjärjestykseen 2, 13, 14, 13, 2, 5, 34, 13, 44, 8, 22, 89,4  2, 2, 4, 5, 8, 13, 13, 13, 14, 22, 34, 44, 89 Keskimmäinen luku on 13 eli Md = 13

7. Tunnusluvut… • Keskiarvo • Lasketaan vain välimatka- ja suhdeasteikon luvuille x = (x1 + x2 + x3 + … + xn) / n = ∑ (xi / n) • Jos erotellaan otoksesta ja perusjoukosta lasketut keskiarvot, niin x ja n viittaavat otokseen sekä μ ja N viittaavat perusjoukkoon • Keskiarvo lasketaan havainnoista, vaikka muuttuja olisikin lopullisessa julkaisussa luokiteltu • Keskiarvo on ”herkkä” poikkeaville luvuille, poikkeava arvo ”vetää” keskiarvoa puoleensa, esim. opiskelijoiden ikä olisi tyypillisesti välillä 20..24, mutta yksi opiskelija olisi 57-vuotias  keskiarvo on kasvaa tyypillistä arvoa isommaksi • Otoksen keskiarvoon tulee suhtautua varauksella, sillä otoksen valinta (sattuma) vaikuttaa keskiarvoon • Keskiarvo voidaan laskea Likert-luokitukselle, jos muuttujan arvot ovat jakautuneet normaalisti (tiedot ovat Gausin käyrällä, tarkastellaan vinouman (skewness) arvioinnin yhteydessä) • Painotetun keskiarvon laskenta on joskus tarpeellinen. Painotus tehdään jonkin asian suhteen, esim. naisten osuus koko valtakunnassa, kun tiedetään kunnittain asukasluvut ja naisten osuudet. Painotus tapahtuu asukasluvulla. • Esim. Laske muuttujan x arvoista keskiarvo. 2, 13, 14, 13, 2, 5, 34, 13, 44, 8, 22, 89,4 X = 263 / 13 ≈ 20

8. Tunnusluvut… • Fraktiilit • Puolet (50%) havainnoista on pienempiä kuin mediaani, vastaavasti suurempia • Vastaavasti voidaan määrittää p% fraktiili • Esim. • Q1 = Alakvartiili, arvo, jota pienempiä on 25% muuttujan arvoista • Q2 = Mediaani, arvo, jota pienempiä on 50% muuttujan arvoista • Q3 = Yläkvartiili, arvo, jota pienempiä on 75% muuttujan arvoista • Esim. Laske muuttujan x arvoista alakvartiili. Järjestä luvut ensi suuruusjärjestykseen 2, 13, 14, 13, 2, 5, 34, 13, 44, 8, 22, 89,4  2, 2, 4, 5, 8, 13, 13, 13, 14, 22, 34, 44, 89 Q1 = 5 boxplot-kuvio

9. Tunnusluvut… • Vaihteluväli • Vaihteluväli ulottuu pienimmästä arvosta suurimpaan arvoon • Vaihteluvälin pituus on havaintoaineiston yhden muuttujan suurimman ja pienimmän arvon erotus • Havaintoaineiston arvot ovat vaihteluvälin sisällä, päätepisteet mukaan luettuna • Esim. EU-komissaarien iän vaihteluväli on (40v,66v) ja vaihteluvälin pituus on 26v • Vaihteluväli on siis helppo määrittää, mutta se ei ole välttämättä riittävä ainoana tunnuslukuna • Kvartiiliväli • Kvartiiliväli ulottuu alakvartiilista (Q1) yläkvartiiliin (Q3) • Ei ole yhtä herkkä poikkeaville arvoille kuin vaihteluväli • Kvartiiliväli voidaan ilmoittaa vasta lajitelluista arvoista • Kvartiiliväliin kuuluu 50% luvuista, neljännes jää sen alapuolelle ja neljännes jää yläpuolelle • Vastaavasti voidaan muodostaa väli, jonka ala- ja yläpuolelle jää vaikkapa 10% havaintoaineista (esim. lasten pituuden ja painon seuranta, ajatus on lähellä viitearvon laskentaa) • Kvartiilipoikkeama Q on puolet kvartiilivälin pituudesta Q=(Q3-Q1)/2

10. Tunnusluvut… • Keskihajonta (”yksimielisyyden mitta”) • Vaihteluväli ja kvartiiliväli mittaa vain osaa havainnoista • Keskihajonta huomioi kaikki havaintoaineiston havaintoarvot • Keskihajonta = standardipoikkeama (standarddeviation, SD) • Keskihajonnan voi laskea vain välimatka- tai suhdeasteikon muuttujille • Otokselle keskihajonnan tunnus on s ja koko populaatiolle σ (sigma) • Koko populaatiolle (tai jos n>30) voidaan käyttää jakajana n-1 tilalla N (ei vaikuta tulokseen enää paljoakaan) • Homogeenisille arvoille keskihajonta on pieni ja vastaavasti heterogeeniselle aineistolle suuri • Keskihajonta kannattaa ilmoittaa raportissa keskiarvon yhteydessä • Hyvinkin erilaisilla jakaumilla voi olla likimain samat keskiarvo ja keskihajonta. • Tulkintoja tehtäessä on aina varmistettava myös jakauman muoto.

11. Tunnusluvut… • Keskihajonta • Viitearvo lasketaan yleisesti kaavalla X ± 1,96*SD

12. Tunnusluvut… • Keskihajonta kaksi erilaista normaalijakaumaa pieni keskihajonta suuri keskihajonta 99,7% 99,7% 95,5% 95,5% 68,3% 68,3% -3s -2s -1s 1s 2s 3s -3s 3s x x -2s 2s Mo Md Mo Md -1s 1s

13. Tunnusluvut… • Varianssi ja variaatiokerroin • Keskihajonnan neliö on varianssi (”kaavasta otetaan pois neliöjuuri”) eli varianssi on s2 • Varianssi ei kuvaa niin hyvin hajontaa, sillä potenssiin korotuksen ansiosta vastaus ei ole enää samassa yksikössä • Jos esimerkiksi varianssi on 5 yksikköä ja havaintoarvojen suuruusluokka on 100 tai 10 000, niin varianssi on suhteellisesti isompi ensimmäiseen suuruusluokkaan nähden • Variaatiokerroin suhteuttaa varianssin havaintoarvojen suuruusluokkaan • Otokselle V=s/ ja populaatiolla V=σ/μ (sigma/myy) • Varitaatiokertoimen arvo on prosenttiluku eli kuinka paljon keskihajonta on keskiarvosta

14. Tunnusluvut… • Vinous (skewness) • Keskihajonta mittaa muuttujan arvojen hajaantumista keskiarvon ympärille, mutta se ei huomioi hajaantumisen suuntaa  ”arvoja en enemmän keskiarvon tietyllä puolella, eikä tasaisesti molemmilla puolilla keskiarvoa” • Vinous kuvaa, miten tasaisesti arvot sijoittuvat keskiarvon molemmin puolin • Vinouden etumerkki kertoo suunnan ja itseisarvo kertoo suuruuden • Jos luvut ovat keskiarvon molemmin puolin tasaisesti, niin vinous on nolla • Positiivinen vinous kertoo, että jotkut arvot ovat poikkeuksellisen isoja • Negatiivinen vinous kertoo, että jotkut arvot ovat poikkeuksellisen pieniä • Jos |vinous|<0,2 ja jakauma ei ole useampi moodinen, niin jakauma voidaan olettaa normaalisti jakautuneeksi (muitakin menetelmiä jakauman normaalisuuden testaamiseen on olemassa) Positiivinen vinous Negatiivinen vinous

15. Tunnusluvut… • Huipukkuus (kurtosis) • Huipukkuus kuvaa myöskin jakauman muotoa • Normaalijakauman huipukkuus on nolla • Huipukkuus kertoo jakauman terävyyden • Positiivinen huipukkuus kuvaa terävähuippuisesta jakaumasta ja negatiivinen kuvaa jakauman laakeudesta tai monihuippuisuudesta A, positiivinen huipukkuus B, normaali jakauma C, negatiivinen huipukkuus

16. Tunnusluvut… • Vinous ja huipukkuus

17. Tunnusluvut… • Keskiarvon luottamusväli • Tunnuslukujen ilmoittamisen yhteydessä kuvataan, miten luotettavia kyseiset luvut ovat • Jos otoksesta lasketun keskiarvon perusteella ennustetaan (estimoidaan) perusjoukon keskiarvoa, ilmoitetaan keskiarvon luottamusväli • Luottamusväli kertoo millä välillä todellinen perusjoukon tunnusluvun arvo on tietyllä todennäköisyydellä • Luottamustaso kuvaa, mikä on tutkimuksen luotettavuus (riski kuvaa, millä todennäköisyydellä tulos tulee sattumasta) • Luottamustaso on yleensä 95% (0,05 on riskin osuus) • Esim. keskiarvo on 95%:n varmuudella välillä (175,9 cm, 178,8 cm) • z=virheeseen liittyvä normaalijakauman arvo (esim. 1,96), s=keskihajonta, n=otos

18. Tunnusluvut… • Standartoidut muuttujat • Standardoidun muuttujan arvo ilmoittaa jokaiselle havainnolle sen, kuinka paljon ja mihin suuntaan havainto poikkeaa kaikkien havaintojen kaskiarvosta. • Poikkeaman suuruus suhteutetaan keskihajontaan eli standardoidun muuttujan etumerkki ilmoittaa, kummalla puolella keskiarvoa havainto sijaitsee. • miinusmerkki tarkoittaa sitä, että havainto on keskiarvotulosta pienempi • plusmerkki taas sitä, että havainto on keskiarvotulosta suurempi. • itse lukuarvo kertoo sen, kuinka monen keskihajonnan (mitan) päässä keskiarvosta havainto sijaitsee. • Standardoidun muuttujan käyttö antaa mm. mahdollisuuden verrata kahden eri mittaustuloksen poikkemaa keskiarvotuloksesta myös siinä tapauksessa, että on mitattu eri asioita ja on käytetty eri mitta-asteikkoa. (esim. vertailu, onko potilaan verenpaine vai sokeriarvo otokseen nähden huonompi) • Standardoidun muuttujan keskiarvo = 0 ja keskihajonta = 1 kaikissa tapauksissa. • SPSS:llästandartoidut muuttujat lasketaan seuraavasti: • Analyze / DescriptiveStatistics / Descriptives • valitse muuttujat (muuttujat, joita vertailet) Variables-listaan • laita rasti kohtaan ”Savestandardizedvalues as variables” •  nyt on uudet muuttujat, jotka kuvaavat standartoituja arvoja • Esim. jonkun muuttujan suhteen tiedetään keskiarvo, keskihajonta ja havaintoyksikön z, niin voidaan laskea ko. havaintoyksikön arvo. Z on kerroin eli kaava on xi=z*s+

19. Tunnusluvut… • Harjoitus 1 • Määritä palkkojen 1850 €, 1950 €, 2250 €, 1450 €, 1500 €, 1800 €, 1600 €, 2100 €, 1900 €, 1850 €, 2500 €, 1700 €, 2000 €, 2200 €, 1650 €, ja 2450 € moodi, mediaani keskiarvo. • Koearvosanat ilmoitetaan asteikolla A,B,C,D,E (E on ylin, A on alin). Määritä seuraavien arvosanojen moodi ja mediaani: A,B,A,C,D,E,D,A,B,C,D,A,C,D,E,B,A,E,D,C,A,D,C,B,B,C,B,C,A,B,C,E,B

20. Tunnusluvut… • Harjoitus 2 Päättele puuttuvat kohdat. Kyseessä on arvosanojen Jakautuminen hoitotyö-kurssilla. Arvosanat ovat 1…5 Testaa saamasi tulokset SPSS-ohjelmalla.

21. Tunnusluvut… • Harjoitus 3 • Laske ratsastukoulu-aineistolle jollekin jatkuvalle muuttujalle ja jollekin diskreetille muuttujalla • Vaihteluvälit • Keskiluvut (huomaa ero jatkuvan ja diskreetin muuttujan suhteen) • Fraktiilit • Hajontaluvut • Tarkastele Likert-asteikollisten muuttujien normaalijakaumaisuutta eli voiko ko. muuttujalle laskea esim. keskiarvoa (vinous, huipukkuus, diagrammin laatu) • Laske muuttujille keskihajonnat • Oletetaan, että kyseessä on otos, mikä on jonkin muuttujan keskiarvon luottamusväli • Mitä edellä kuvattujen tunnuslukujen valossa voisi päätellä? • Laske vaikkapa kilpailu-muuttujalle tunnuslukuja seuraavilla SPSS-ohjelman valikkotoiminnoille ja huomioi tulosten erot • Annalyze / Descriptive Statistics / Frequencies  painikkeen “Statistics” alta valitaan sopivat tunnusluvut • Analyze / Descriptive Statistics / Descriptives  painikkeen “Options” alta valitaan sopivat tunnusluvut • Analyze / Descriptive Statistics / Explore  painikkeen “Statistics” alta valitaan sopivat tunnusluvut (tällä valinnalla tulee suoraan kaikki tärkeät tunnusluvut) • Standartoidut muuttujat ”kilpailu” ja ”hevosen koulutus”  mitä voi tulkita yksittäisille havaintoyksiköille