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Operations Research

Operations Research. Vorlesung/Übung im SS 2008 Professor Dr. Egbert Kahle Veranstaltungsbeginn ab 7.4. : 16.15 Uhr Klausur: wird noch bekannt gegeben. Inhalt 1. Einführung (Begriff und Inhalt von OR) 2. Lineare Programmierung -Simplex Algorithmus 3. Sonderfälle 4. Postoptimale Rechnungen

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Presentation Transcript

  1. Operations Research Vorlesung/Übung im SS 2008 Professor Dr. Egbert Kahle Veranstaltungsbeginn ab 7.4. : 16.15 Uhr Klausur: wird noch bekannt gegeben

  2. Inhalt 1. Einführung (Begriff und Inhalt von OR) 2. Lineare Programmierung -Simplex Algorithmus 3. Sonderfälle 4. Postoptimale Rechnungen 5. Mehrzielprobleme 6. Dualität 7. Netzplantechnik 8. Tourenplanung

  3. 1. Einführung Begriff und Inhalt von Operations Research Der Begriff wurde im 2. Weltkrieg in den USA für die Analyse von Wirkungen militärischer Operationen geprägt und dann auf wirtschaft- liche Probleme übertragen. In UK oft als Operational Research und in Deutschland auch als Unternehmensforschung, Optimalplanung oder Optimierungsrechnung bezeichnet.

  4. Definition: Anwendung mathematischer Methoden zur Vorbereitung optimaler Entscheidungen Voraussetzung: Schaffung eines formalen Modells, das die Einflußgrößen der Wirkungen sachgerecht abbildet. Ökonomisches Prinzip: Gegebenes Ziel - minimaler Mitteleinsatz Gegebener Mitteleinsatz - Maximale Zielerr.

  5. Daraus folgen Anforderungen für die Formu- lierung mathematischer Modelle reale Entscheidungs- mathematisches situation Entsch.modell reale Entscheidung mathematische Modellösung

  6. Fehlerquellen - Abbildungsfehler - Modellorientiertheit ( Unterdrückung von Problemeigenschaften oder -variablen, die nicht ins Modell passen) - Fehlerhafte Algorithmenanwendung - Abweichungen bei der Rückinterpretation Modellorientierung vs. Problemorientierung

  7. Problemtypen von OR - Kombinatorische Probleme = Reihenfolgeprobleme = Transportprobleme = Optimierung von Produktionsprogrammen - Lagerhaltungsprobleme - Ersatzprobleme - Wartezeitprobleme - Konkurrenzprobleme

  8. Verfahren des OR - Statische Programmierung = Lineare Programmierung = Nicht-lineare Programmierung = Ganzzahlige Programmierung - Dynamische Programmierung - Entscheidungsbaumverfahren - Netzplantechnik - Warteschlangentheorie - Spieltheorie - Simulation

  9. 2. Lineare Programmierung - Simplex Algo- rithmus Algorithmus System von Rechenregeln, die - eindeutig formuliert und tatsächlich aus= führbar sind - nach endlich vielen Schritten zum Ergebnis führen - für eine ganzen Klasse von Entscheidungs= aufgaben geeignet sind - nach Anwendung eine Lösung garantieren oder die Unmöglichkeit der Lösung er= weisen

  10. 2.1 Grundmodell des Simplex-Algorithmus Charakteristika: - Linearität von Zielfunktionen und Neben- bedingungen - Statische Betrachtung - Deterministische Daten - Stetige Größen, d.h. keine Ganzzahligkeits- erfordernisse, auch nicht teilweise

  11. 2.2. Praktisches Beispiel Die Studenten der Vorlesung Operations Re- search (Sie) überlegen, wie sie einen möglichst optimalen Lernerfolg innerhalb des Teils “Line- are Optimierung” erhalten. Sie haben die Mög- lichkeit, Ihr Wissen aus Vorlesungen oder aus Büchern zu beziehen. Auf Grund der Erfahrun- gen “leidgeprüfter” Vorgänger wissen Sie, daß das Erfolgsverhältnis von Vorlesungsbesuch und Literaturarbeit 7 : 5 beträgt. Angeboten werden zu diesem Thema 6 Bücher in der Bibliothek.

  12. Sie planen für dieses Semester höchstens 42 Arbeitstage (à 2,5 Stunden) ein, wobei ein Vorlesungstermin incl. Vor- und Nachbereitung 6 Tage und die Beschäftigung mit einem Buch 1 Tag in Anspruch nimmt. Wenn Sie davon aus- gehen, daß Sie während eines Semesters höch- stens 12 neue Freunde gewinnen können, so können Sie während einer Vorlesung jeweils 2 kennenlernen, während die Beschäftigung mit einem Fachbuch dazu führen kann, daß Sie 3 Freunde verlieren.

  13. Für wichtige geschäftliche Anrufe planen Sie maximal 12 Telefonate ein, wobei Sie schätzen, daß Sie während einer Vorlesung 2 Anrufe ver- passen (Handyverbot), beim Lesen eines Buches zu Hause aber drei Anrufe entgegennehmen können. Was ist zu tun ?

  14. Aufstellen des Problems in Ungleichungsform 6 xV + 1xB + xT = 42 2xV - 3xB + xF = 12 -2xV + 3xB + xH = 12 xB + xBS = 6 7 xV + 5 xB ---> Max! -2 xv + 3xB ---> Max! (und analog für die Freunde

  15. Umwandlung der Ungleichungen in Gleichungen

  16. Graphische Lösung x2 x1

  17. Ein weiteres Beispiel Die kurzfristige Produktionsprogrammplanung geht von gegebenen variablen Kosten kvj für jedes Produkt j aus. Der Preis am Markt pj ist gegeben ; bei diesem Preis kann eine Absatzhöchstmenge x^j verkauft werden. So weit keine Produktionsbeschränkungen vorliegen, wird alles produziert, was einen positiven Deckungsbeitrag dbj bringt. dbj = pj - kvj > 0 !

  18. Bei der Überprüfung der Bedingung, ob die Produkte einen positiven Deckungsbeitrag bringen, ist die marktliche Verbundenheit zu beachten; Tasse und Untertasse, die als ein Gedeck verkauft werden, sind in diesem Sinn nur ein Produkt ! Für den Betrieb als Ganzes muß noch gelten, daß er keinen Verlust macht (langfristig). G = (pj - kvj) * xj - Kf >= 0 !

  19. Bei Vorliegen einer Kapazitätsbeschränkung wären die Produkte der Höhe des Deckungs- beitrags nach zu ordnen und es würde zuerst das Produkt mit dem höchsten, dann das mit dem zweithöchsten Deckungsbeitrag usw. gefertigt, bis die Kapazität erschöpft ist. Eine solche Vorgehensweise würde aber keine optimale Nutzung der knappen Kapazität bewirken: Der Deckungsbeitrag pro Einheit der knappen Kapazität, der relative Deckungs- beitrag, muß als Auswahlkriterium gelten.

  20. Wenn mit vij der Faktorverbrauch des Faktors i für die Produktion des Produkts j bezeich- net wird und von dem Faktor i nur die Menge Vi zur Verfügung steht, muß gelten: vij * xj <= Vi D.h. man kann nicht mehr verbrauchen als da ist. Der relative Deckungsbeitrag dbrel ist: dbreli, j = (pj - kvj) : vij

  21. Der relative Deckungsbeitrag wurde von Schmalenbach (1930) als optimale Geltungszahl bezeichnet. Beispiel: Produkt 1 Produkt 2 Produkt 3 Preis 160 100 80 kvj 60 50 40 Absatz - 40 90 300 höchstmenge Verbrauch 8 2 1 Bestand 480

  22. Nach den Deckungsbeiträgen ergäbe sich eine Produktion von 40 P1 und 80 P2, dann wäre der Faktorbestand verbraucht. Die Summe der Deckungsbeiträge ist 8000. Nach den relativen Deckungsbeiträgen sieht es so aus: Produkt 1 Produkt 2 Produkt 3 dbrel 12,5 25 40 Menge - 90 300 Verbrauch- 180 300 DB - 4500 12000

  23. Der Deckungsbeitrag steigt auf 16500 an Wenn nun ein zweiter Engpaßfaktor auftritt, mit einem Bestand von 350 und Verbrauchs- werten v21 = 5, v22= 2 und v23 = 4, dann ist eine andere Reihenfolge optimal: Produkt 1 Produkt 2 Produkt 3 dbrel 20 25 10 Menge 34 90 - Verbrauch 170 180 - DB 3400 4500 DBgesamt = 7900

  24. Allgemeiner Ansatz für LP G =  (pj - kvj) * xj - Kf --> Max !  vij * xj </= Vi xj </= Xj xj >/= 0

  25. Ansatz für das Beispiel (160 - 60) x1+(100- 50)x2 + (80 - 40) x3 -> Max! 8 x1 + 2 x2 + x3 </= 480 5 x1 + 2 x2 + 4x3 </= 350 x1 </= 40 x2 </= 90 x3 </= 300

  26. 8 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 480 5 x1 + 2 x2 + 4 x3 + x5 = 350 x1 +x6 = 40 x2 + x7 = 90 x3 + x8 = 300 100x1+ 50 x2 + 40 x3 ----> Max!

  27. x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y4 8 2 1 1 0 0 0 0 480 y5 5 2 4 0 1 0 0 0 350 y6 1 0 0 0 0 1 0 0 40 y7 0 1 0 0 0 0 1 0 90 y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300 Z -100 -50 -40 0 0 0 0 0 0 (ggf. - KF)

  28. x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y4 0 2 1 1 0 - 8 0 0 160 y5 0 2 4 0 1 - 5 0 0 150 x1 1 0 0 0 0 1 0 0 40 y7 0 1 0 0 0 0 1 0 90 y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300 Z 0 -50 -40 0 0 100 0 0 4000

  29. x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y4 0 0 -3 1 -1 -3 0 0 10 x2 0 1 2 0 1/2 -5/2 0 0 75 x1 1 0 0 0 0 1 0 0 40 y7 0 0 -2 0 -1/2 5/2 1 0 15 y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300 Z 0 0 60 0 25 -25 0 0 7750

  30. x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y4 0 0 -27/5 1 -8/5 0 6/5 0 28 x2 0 1 0 0 0 0 1 0 90 x1 1 0 4/5 0 1/5 0 -2/5 0 34 y6 0 0 -4/5 0 -1/5 1 2/5 0 6 y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300 Z 0 0 40 0 20 0 10 0 7900

  31. Verschiedene Auswahlregeln für die Pivot-Spalte SUA - Steepest Unit Ascent Richtet sich nach dem Zielfunktionszuwachs pro Einheit z. B. Deckungsbeitrag pro Stück -Standardverfahren GC - Greatest Change Sucht den nächsten Eckpunkt mit der größten Verschiebung der Zielfunktion Vor allem sinnvoll bei mehreren nach SUA gleich- wertigen Spalten oder kleinen SUA- Unterschieden

  32. Anwendung von GC auf das zweite Beispiel x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y4 8 0 1 1 0 0 -2 0 300 y5 5 0 4 0 1 0 -2 0 170 y6 1 0 0 0 0 1 0 0 40 x2 0 1 0 0 0 0 1 0 90 y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300 Z -100 0 -40 0 0 0 50 0 4500 Neue Pivot-Spalte x1 mit DB 3400; bei x3 :1700

  33. x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y4 0 0 -27/5 1 -8/5 0 6/5 0 28 x1 1 0 4/5 0 1/5 0 -2/5 0 34 y6 0 0 -4/5 0 -1/5 1 2/5 0 6 x2 0 1 0 0 0 0 1 0 90 y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300 Z 0 0 40 0 20 0 10 0 7900 Das Lösungstableau entspricht dem bei SUA, jedoch sind die Zeilen anders angeordnet.

  34. Weitergehende Schritte: - Probe nach jedem Schritt möglich, am Ende wichtig - Interpretation der Ergebnisse = Lösungswerte in der b - Spalte (RHS) = Lösungswerte in der Z - Zeile (Schatten- preise) Wichtig: Der Unterschied in der Interpretation von Schattenpreisen der Basisvariablen und der Schlupfvariablen

  35. Ein weiteres Beispiel (modifiziertes Bsp. Paschka-Skript, Aufgabe 2) Vier Produkte A,B,C und D werden zu folgenden Preisen in folgenden Mengen verkauft: A 200 zu 80; B 50 zu 120; C 100 zu 70; D 200 zu 30. Die variablen Kosten sind kA = 60, kB = 20, kC = 20 und kD = 25. Der Rohstoffverbrauch beträgt bei Stoff 1 v1A =2, v1B = 4, v1C = 6 und v1D = 1; es sind 1000 V1 da. Bei Stoff 2 gilt : v2A = 3, v2B = 6, v2C = 1, v2D = 1 und 550 vorhanden. Fixkosten betragen 200.

  36. xA xB xC xD y1 y2 y3 y4 y5 y6 * b y1 2 4 6 1 1 0 0 0 0 0 1000 y2 3 6 1 1 0 1 0 0 0 0 550 y3 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 200 y4 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 50 y5 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 100 y6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 200 Z -20 -100 -50 -5 0 0 0 0 0 0 -200

  37. Auswahl: SUA -- xB/y4 GC -- xC/y5 gleichwertig Optimale Lösung nach drei Schritten: xA = 50, xB = 50, xC = 100 Methodenwahl unerheblich.

  38. 2.4. Probleme mit unzulässiger Ausgangs- lösung Typischerweise handelt es sich hier um Probleme, die gleichzeitig kleiner-gleich und größer-gleich Bedingungen oder auch Gleich-Bedingungen enthalten. Beispiel: Es werden Stühle für 2 GE und Hocker für 1 GE hergestellt. Ein Hocker benö- tigt 4 h und ein Stuhl 2 h. 20 h sind verfügbar. Zwei Hocker müssen mindestens gefertigt werden.

  39. Ansatz: 2 x1 + 4 x2 </= 20 x2 >/= 2 2 x1 + x2 ---> Max! Der einfachste Weg ist die Multiplikation der größer-gleich Bedingung mit -1; dann ist sie eine kleiner-gleich-Bedingung.

  40. x1 x2 x3 x4 b y1 2 4 1 0 20 y2 0 -1 0 1 -2 Z -2 -1 0 0 0 Hier wird die Auswahlregel verändert. Zuerst werden die negativen Elemente der b-Spalte berücksichtigt und auf diese SUA oder GC angewendet. In Betracht kommen nur Spalten mit negativen Koeffizienten. (y2/x2)

  41. 1. Iteration x1 x2 x3 x4 b y1 2 0 1 4 12 x2 0 1 0 -1 2 Z -2 0 0 -1 2 Diese Lösung ist zulässig, aber nicht optimal. SUA oder GC führt hier zu keinem Unterschied. Pivot-Element: y1/x1

  42. 2. Iteration x1 x2 x3 x4 b x1 1 0 1/2 2 6 x2 0 1 0 -1 2 Z 0 0 1 3 14 Optimale Lösung. Es werden 6 Stühle und zwei Hocker gefertigt. Eine Erhöhung der Kapazität um eine Einheit erhöht den Umsatz um 1 GE. Eine Verringerung der Mindestmenge Hocker um 1 würde den Umsatz um 3 GE erhöhen.

  43. Vorgehensweise bei mehreren größer-gleich Bedingungen. Bei Vorliegen mehrerer größer-gleich-Bedin- gungen in einem Maximierungsproblem gibt es zwei mögliche Vorgehensweisen: Will man alle effizienten Punkte des Lösungs- raums bestimmen, dann werden die größer- gleich Bedingungen nach dem üblichen Aus- wahlkriterium bestimmt, d.h. Min ( bj/vij). Will man hingegen auf kürzestem Weg in den Raum zulässiger Lösungen wird Max (bj/vij) gewählt.

  44. Beispiel (ohne Textvorgabe) x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y1 8 2 1 1 0 0 0 0 480 y2 1 0 0 0 1 0 0 0 40 y3 -1 0 0 0 0 1 0 0 -20 y4 -1 0 -1 0 0 0 1 0 -30 y5 0 1 1 0 0 0 0 1 50 Z -100 -80 -50 0 0 0 0 0 0

  45. Iteration x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y1 y2 y3 y4 y5 Z

  46. Für die 1. Iteration kommen jetzt in Frage: y3 oder y4; als Spalten mit entsprechenden negativen Koeffizienten liegen x1 und x3 vor. x1 hat den größeren Zielzuwachs (SUA), aber auch GC. Die beiden Vorgehensweisen verglichen: Min (bj(vij) führt zu Pivot-Element y3/x1 Max (bj/vij) zu y4/x1

  47. Iteration 1a x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y1 0 2 1 1 0 8 0 0 320 y2 0 0 0 0 1 1 0 0 20 x1 1 0 0 0 0 -1 0 0 20 y4 0 0 -1 0 0 -1 1 0 -10 y5 0 1 1 0 0 0 0 1 50 Z 0 -80 -50 0 0 -100 0 0 2000 Lösung noch nicht zulässig. Weiter mit y4/x6

  48. Iteration 2a x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y1 0 2 -7 1 0 0 8 0 240 y2 0 0 -1 0 1 0 1 0 10 x1 1 0 1 0 0 0 1 0 30 x3 0 0 1 0 0 1 -1 0 10 y5 0 1 1 0 0 0 -1 1 50 Z 0 -80 50 0 0 0 -100 0 3000 Zulässig, aber nicht optimal. Wie 1b. SUA führt zu y2/x7; GC zu y5/x2.

  49. Iteration 1b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b y1 0 2 -7 1 0 0 8 0 240 y2 0 0 -1 0 1 0 1 0 10 y3 0 0 1 0 0 1 -1 0 10 x1 1 0 1 0 0 0 -1 0 30 y5 0 1 1 0 0 0 0 1 50 Z 0 -80 50 0 0 0 -100 0 3000 Zulässig, aber nicht optimal; SUA führt zu y2/x7 GC zu y5/x2; hier wird GC verfolgt.

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