Operations Research

Operations Research Hoorcollege week 4Deel 1 o.a. Poisson-verdeling en Negatief-exponentiële verdeling R.B.J. PijlgromsInstituut Informatica en ElektrotechniekHogeschool van Amsterdam

Discrete kansverdelingen • discrete uniforme verdeling (N-aselector) • Bernoulli-verdeling • binomiale verdeling • meetkundige of geometrische verdeling • logaritmische verdeling (Benford-verdeling) • Poisson-verdeling

Verdelingen en typische voorbeelden • N-aselector (zuivere munt, dobbelsteen) • Bernoulli-experiment of alternatief (Bernoulli-trial): 2 uitkomsten; 2 kansen. • binomiale verdeling: geeft de kans op k successen in een rij van n Bernoulli-trials.Er geldt: 0 < k< n • geometrische verdeling of meetkunige verdeling: geeft de kans op succes na pas n Bernoulli-trials, (n=1,2,3,...)

N-aselector Samenvatting van het voorafgaande Bernoulli-experiment binomiale verdeling … … meetkundige ofgeometrischeverdeling

discrete uniforme verdeling (N-aselector) • Stochast X; uitkomstenverzameling:{1, 2, 3, ..., N} • P(X=x) = 1/N; E(X) = m =(N+1)/2; s2 = (N2 - 1)/12 • Bernoulli-verdeling • Stochast I; uitkomstenverzameling: {0, 1} • P(I=0) = q = 1- p; P(I=1) = p; E(I)= m= p; s2 = pq • binomiale verdeling: Bin(n,p) • Stochast B; uitkomstenverz.: k = {0, 1, 2, ..., n} • P(B=k)= (n boven k)pkqn-k; E(B) = m= n p; s2 = n pq • meetkundige of geometrische verd.: Geom(p) • Stochast N; uitkomstenverz.: n = {1, 2, 3, ...} • P(N=n)= pqn-1; E(N) = m= 1/p; s2 = q/p2

Het verjaardagprobleem • Hoe groot is de kans pm dat in een gezelschap van m personen, er tenminste twee op dezelfde dag jarig zijn? • Complementaire kans Hoe groot is de kans dat er geen van de m op dezelfde jarig zijn, of: hoe groot is de kans dat ze alle m op verschillende dagen jarig zijn? 1- pm • Samen zijn deze kansen gelijk aan één!

De Poisson-verdeling

Poisson-verdeling • Genoemd naar één van de pioniers op het gebied van de theorie van de kansrekeningSiméon Dénis Poisson (1781-1840) • Definitie: • Beschouw U={0, 1, 2, 3, ... oneindig }; laat m een vast getal >0 zijn. De onderstaande waarden voor p(n) zijn de kansen van de Poissonverdeling met parameter m

Poisson-verdeling • p(0)= e-m = exp(-m) • p(1)= e-m (m/1!) = exp(-m).m1/1!= m.exp(-m) • p(2)=exp(-m). m2 /2! • p(3)=exp(-m). m3 /3! • p(4)=exp(-m). m4 /4! • ...

Poisson-verdeling • Wat is de betekenis van de parameter m in verband met de grootheid die Poisson(m)-verdeeld is, in samenhang dus met de stochast of kansvariabele ? • We bekijken eerst wat voorbeelden van Poisson-verdeelde kansvariabelen.

Poisson-verdeling (vervolg) • Voorbeelden • het aantal moleculen van de soort X in een bepaald volumedeel van met X verontreinigde vloeistof. • het aantal vaste deeltjes in een vast gekozen volumedeel van de atmosfeer. • het aantal registraties in een Geiger-Muller-teller (radio activiteit) gedurende een vast gekozen tijdsinterval. • het aantal windhozen in Nederland dat vergezeld gaat met aanzienlijke schade per tijdvak van bijvoorbeeld 20 jaar.

Poisson-verdeling (vervolg) • Voorbeelden (vervolg) • het aantal zetfouten per pagina van een boek. • het aantal klanten per tijdseenheid aan een loket. • het aantal weeffouten per oppervlakte-eenheid van een rol textiel. • het aantal schepen dat per uur de Rotterdamse haven binnenvaart. • het aantal passerende auto's per minuut op een bepaald punt van een autosnelweg. • het aantal universeelmeters dat per maand defect raakt op een bepaald practicum.

Poisson-verdeling (vervolg) • Globaal: De Poisson-verdeling is een model voor het optreden van ‘zeldzame’ verschijnselen. • Toelichting op het begrip ‘zelden’. Als het bijvoorbeeld gaat om verschijnselen in de tijd, dan wordt met ‘zelden’ bedoeld: • de tijdsduur van het verschijnsel is klein t.o.v. de tijdsduur tussen twee opeenvolgende verschijnselen.

Poisson-verdeling (vervolg) • Toelichting op het begrip ‘zelden’. Als het bijvoorbeeld gaat om exemplaren in een volume, dan wordt met ‘zelden’ bedoeld: • dat het exemplaar zelf een klein volume inneemt ten opzichte van het gemiddelde volume dat aan elk exemplaar ter beschikking staat. Het aantal exemplaren behoeft beslist niet klein te zijn.

Poisson-verdeling (vervolg) • De parameter is gelijk aan het gemiddelde aantal exemplaren per eenheid van volume of tijd. • Gemiddeld over een zeer groot volume of gemiddeld over een zeer lange tijdsperiode.

Klassiek voorbeeld (Bortkiewicz, 1898) • Uit 200 jaarverslagen van 10 Pruisische cavaleriekorpsen over een periode van 20 jaar volgen de onderstaande aantallen ongelukken per jaar met dodelijke afloop tengevolge van de trap van een paard. k aantal rel.freq. theorie #trappen0 109 0.545 0.544 01 65 0.325 0.331 652 22 0.110 0.101 443 3 0.015 0.021 94 1 +0.005 +0.003 + 4 + 200 1 1 122gemiddeld aantal trappen per jaar = 122/200=0.61

Klassiek voorbeeld (Bortkiewicz, 1898) p(k) l=0.61 k=0, 1, 2, 3, 4,... p(k)=exp(-0.61).(0.61)k k! k

Het verjaardagsprobleem • P(1 of meer) = 1 - P(0) • P(1 of meer) = 1 - Bin((1/2)*m*(m-1);1/365) • P(1 of meer) = 1 - Poisson(0;(1/2)*m*(m-1)) • Bin(n; p) • Poisson(m)

Binomiaal vergeleken met Poissonbenadering De benadering werkt als n groot is en p klein. n*p = m De kansen op k successen zijn praktisch gelijk.

De logarithische-verdeling of wet van Benford

De logaritmische verdeling of de wet van Benford • De wet van Benford:In veel getallenverzamelingen (die random zijn ontstaan) bezitten de eerste cijfers van de getallen een aflopende verdeling die begint met ongeveer 30% voor het cijfer 1, ca. 18% voor het cijfer 2, en zo verder tot ongeveer 5% voor het cijfer 9. Frank Benford (1883 - 1948)

Wat is een getallenverzamelingdie ‘random’ is ontstaan ? Hoe groot zijn die kansen voor het optreden van de eerste cijfers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9 dan wel precies? NB: Het gaat om het eerste cijfer (van links naar rechts gaande) dat ongelijk is aan nul; d.w.z. het meest significante cijfer. twee vragen dringen zich op

verzameling van fundamentele natuurconstanten getallen in kranteartikelen oppervlakten van meren en rivieren lengten van telefoongesprekken helderheidsverdelingen van sterren tegoeden op bankrekeningen grootten in bytes van printbestanden de logaritmische verdeling de antwoorden

De logaritmische verdeling • In het tientallige stelsel is de uitkomstenverzameling: {1,2,3,4,5,6,7,8,9} • Kansen zijn: • Opgave: Toon zelf aan dat de som van deze negen kansen gelijk is aan 1.

Geteld cijfer 1 42.2 % cijfer 2 16.5 % cijfer 3 9.1 % cijfer 4 5.5 % cijfer 5 7.3 % cijfer 6 8.3 % cijfer 7 3.7 % cijfer 8 3.7 % cijfer 9 3.7 % Theoretisch verwacht cijfer 1 30.0 % cijfer 2 17.6 % cijfer 3 12.5 % cijfer 4 9.7 % cijfer 5 7.9 % cijfer 6 6.7 % cijfer 7 5.8 % cijfer 8 5.1 % cijfer 9 4.58% Paginagrote advertentie van ah in de dagbladen van 12 juli 1989 Kunnen we de verschillen verklaren ??

De meetkundige of geometrische kansverdeling

De logaritmische verdeling vergeleken met de meetkundige of geometrische verdeling

… De meetkundige of geometrische verdeling p qp qqp qqqp qqqqp … + 1 af

De negatief-exponentiële kansverdeling

l 0.5 f(x)=le -lx l =1 f(x)=le –lx= lexp(-lx) l =0.5 f(x) l = 0.5 1/l =2 x 1/l De negatief-exponentiële verdeling

De negatief-exponentiële verdeling • De stochast Y met U = {y | y>0} heet (negatief-) exponentieel verdeeld als:

De negatief-exponentiële verdeling • Voorbeelden • De tussentijden bij radioactieve desintegratie • De levensduur van sommige artikelen (gloeilampen) • Tijdstippen tussen twee opeenvolgende telefoongesprekken of bezoeken aan een loket (giromaat,...)

rij van neg.-exp. verd. intervallen rij van Bernoulli-experimenten t Poisson-verdeling binomiale verdeling geometrische verdeling t aantalper tijdseenheid De negatief-exponentiële verdeling

experimenteel gevonden fracties theoretische kansen, berekend met de Poisson(2.5)-verdeling 2 sec 5 seconden De negatief-exponentiële verdeling Hieronder staat het resultaat van het tellen van ‘het aantal begintijdstippen per 5 seconden’ van een rij van 1000 Exp(l=0,5 sec)-verdeelde aaneengesloten tijdsintervallen. aantal per 5 sec

Twee kanten van één medaille Poissonverdeling(aantallen aankomsten per vaste tijdseenheid) Negatief-exponetiële verdeling (verdeling van tussenaankomsttijden)

Operations Research