Distribuciones de frecuencias

1. Distribuciones de frecuencias Toma de datos: Es la obtención de una colección de los mismos queno han sido ordenados numéricamente. Ejemplo: Conjunto de alturas de 100 estudiantes, sacados de una lista alfabética de una Universidad. Ordenación: Es una colocación de los datos numéricos tomados, en orden creciente o decreciente de magnitud. Ejemplo: 32 , 45, 100, 120 , 145, 186, 198, 200 ( ordenación creciente ) 200, 198, 186, 145, 120, 100, 45, 32 ( ordenación decreciente)

2. Al recoger información se obtiene un gran número de datos, que conviene presentar en forma resumida en una tabla llamada distribución de frecuencias. Frecuencia absoluta: es el número de veces que se repite un valor de la variable.

3. Ejemplo: Los siguientes datos son las calificaciones obtenidas, en la asignatura de Matemática, por un grupo de 30 alumnos: 7 – 3 – 5 – 4 – 3 – 4 – 5 – 6 – 5 – 7 – 3 – 2 – 6 – 5 – 4 – 6 – 3 - 4 – 5 – 2 - 7 – 4 – 5 – 7 – 6 – 5 – 4 – 2 –3 - 1

4. Variable estadística Frecuencia absoluta Frecuencia acumulada Calificación Nº de alumnos ------------- 1 1 1 2 3 4 3 5 9 4 6 15 5 7 22 6 4 26 7 4 30 Frecuencia acumulada hasta un valor determinado: es el número de observaciones menor o igual al valor considerado. Se obtiene sumando sucesivamente las frecuencias absolutas. Ejemplo:

5. Frecuencia relativa: es el cuociente entre la frecuencia absoluta y el número total de individuos de la muestra NOTA: La suma de las frecuencias relativas es igual a 1 Ej. 1 / 30 + 3 / 30 + 5 / 30 + 6 / 30 + 7 / 30 + 4 / 30 + 4 / 30 = 30 / 30 = 1

6. Frecuencia relativa porcentual: Es la frecuencia relativa expresada en porcentajes. NOTA: La suma de las frecuencias relativas porcentuales es el 100%

7. Ejercicios • Los siguientes datos son las calificaciones de un grupo de 27 alumnos en la asignatura de matemática: 5 6 5 7 4 2 3 5 4 6 7 5 4 6 5 4 5 6 4 3 4 6 7 5 4 5 6 • Construya una tabla de distribución de frecuencias • ¿Cuántos alumnos tienen nota inferior a 5? • ¿Qué porcentaje de alumnos tiene nota 4? • ¿Cuántos alumnos tiene nota 6? • ¿Qué porcentaje de alumnos tiene nota superior o igual a 4?

8. Respuesta • b) 10 alumnos tienen nota inferior a 5,0 • c) El 25,9% de los alumnos tiene nota 4,0 • 6 alumnos tienen nota 6,0 • El 88,8% de los alumnos tiene nota igual o superior a 4,0

9. Una encuesta realizada a alumnos de Cuarto Medio acerca de su futura profesión, indica lo siguiente: • Completar la tabla con frecuencia • acumulada, relativa y relativa • porcentual. • b) ¿Cuántos alumnos fueron encuestados? • c) ¿Cuál es la profesión que tiene mayor • preferencia? • d) ¿Qué porcentaje de alumnos prefiere • arquitectura? • e) ¿Qué porcentaje de alumnos prefiere • medicina?

10. Respuesta b) 60 alumnos fueron encuestados c) Economía es la profesión con mayor frecuencia d) El 15% de los alumnos prefiere Arquitectura e) El 10% de los alumnos prefiere Medicina

11. En una muestra de 40 familias, el número de hijos se distribuye según la tabla: • Completa la tabla con frecuencia • acumulada, relativa y relativa • porcentual. • b) ¿Cuántas familias tienen menos de • 4 hijos? • c) ¿Cuántas familias tienen 5 hijos? • d) ¿Cuál es la frecuencia relativa de las • familias que tienen 2 hijos? • e) ¿Qué porcentaje de familias tiene 6 • hijos? • f) ¿Qué fracción representan las familias • con 2 hijos? • g) ¿Qué fracción representan las familias • con 4 hijos?

12. Respuesta b) 22 familias tienen menos de 4 hijos c) 3 familias tienen 5 hijos d) La frecuencia relativa de familias con 2 hijos es de 0,20 e) El 2,5% de las familias tiene 6 hijos f) 1 / 5 de las familias tienen 2 hijos g) 7 / 20 de las familias tienen 4 hijos

13. Distribución de frecuencias con datos agrupados • Rango: Es la diferencia entre el mayor valor y el menor de ellos. Ejemplo: Si la estatura del alumno más alto de un curso es 1,92 m y la del menor es 1,68 m, entonces el rango de estos datos es: 1,92 m – 1,68 m = 0,24 m = 24 cm. • Clases o intervalos : En la ordenación de datos muy numerosos, es usual presentarlosagrupados y ordenados en clases o categorías.

14. Ejemplo: En un grupo de 50 alumnos se registraron los siguientes puntajes en una prueba: • 76 66 77 70 83 88 63 77 67 68 72 82 • 74 84 63 76 84 78 75 72 75 83 80 73 • 83 75 67 72 83 83 84 84 67 71 87 80 • 77 64 77 82 83 85 79 72 83 83 87 Para ordenarlos y agruparlos, se establecen los intervalos que se usarán, determinando el rango de los datos. Dato mayor: 88 Dato menor: 61 Rango: 88 – 61 = 27 De acuerdo con el rango y teniendo en cuenta la cantidad de datos, se forman los intervalos.

15. Si quisiéramos formar 6 intervalos, se tiene que dividir el rango con la cantidad deseada. 27 : 6 = 4, 5 se aproxima a 5 ( amplitud aparente del intervalo) El intervalo 60 – 64 es un símbolo para representar a la clase respectiva Los valores 60 y 64 son los límites aparentes de la clase.

16. Lri = = 69,5 Límite real inferior = Lrs = = 75,5 Límite real superior = Los límites reales de una clase se obtienen calculando el promedio entre el límite aparente superior de una clase y el límite aparente inferior de la clase siguiente. Ejemplo: Calcular los límites reales de la clase 70 – 74 • Tamaño o amplitud de una clase: Corresponde a la diferencia entre su límite real superior y el límite real inferior. Ejemplo: 75,5 – 69,5 = 5 Su amplitud es igual a 5 NOTA: Todas las clases tienen igual tamaño.

17. Ejemplo. Intervalo Marca de clase 60 – 64 62 65 – 69 67 70 – 74 72 Ejemplo: Intervalo Frecuencia 1 – 5 12 6 – 10 11 11 -15 10 • Marca de clase: Es el punto medio de un intervalo de clase. • Frecuencia total: Es la suma de las frecuencias absolutas de todas las clases. Frecuencia total 12 + 11 + 10 = 33

18. Ejercicios • Dado los siguientes puntajes, determinar: • 76 66 77 70 83 88 63 77 67 68 72 82 • 74 84 63 76 84 78 75 72 75 83 80 73 • 83 75 67 72 83 83 84 84 67 71 87 80 • 77 64 77 82 83 85 79 72 83 83 87 • Determinar seis intervalos • Determinar el límite real superior e inferior de cada clase • Determinar la marca de clase de cada intervalo • Determinar la frecuencia absoluta

19. Respuesta Se debe determinar el rango: Pje mayor – Pje menor: 88 – 61 = 27 Luego, 27 : 6 = 4,5 se aproxima a 5 la amplitud del intervalo

20. Ordena los siguientes datos de menor a mayor y calcula su rango: 3,22 2,92 3,01 4,48 5,06 4,31 2,98 3,07 Respuesta: Ordenado: 2,92 2,98 3,01 3,07 3,22 4,31 4,48 5,06 Rango: 5,06 – 2,92 = 2,14 • La siguiente distribución de frecuencias corresponde a los salarios de los empleados de una fábrica:

21. Respuesta: Lri = 59.999 + 60.000 = 59.999,5 2 Lrs = 64.999 + 65.000 = 64.999,5 2 a) Calcula los límites reales del tercer intervalo b) Calcula el tamaño de los intervalos Respuesta: Lrs – Lri = amplitud 64.999,5 - 59.999,5 = 5000 c) Determina el límite aparente inferior del séptimo intervalo Respuesta: [80.000 – 84.999] Límite aparente inferior: 80.000

22. Respuesta: [55.000 – 59.999] Lrs = 59.999 + 60.000 = 59.999,5 2 Respuesta: Salarios ( $ ) Marca de clase 50.000 – 54.999 52.499,5 55.000 – 59.999 57.499,5 60.000 – 64.999 62.499,5 65.000 – 69.999 67.499,5 70.000 – 74.999 72.499,5 75.000 – 79.999 77.499,5 80.000 – 84.999 82.499,5 85.000 – 89.999 87.499,5 d) Determina el límite real superior del segundo intervalo e) Escribe en orden la marca de clase

23. Respuesta: acum Salarios ( $ ) Frecuencia 50.000 – 54.999 7 55.000 – 59.999 25 60.000 – 64.999 57 65.000 – 69.999 102 70.000 – 74.999 154 75.000 – 79.999 182 80.000 – 84.999 198 85.000 – 89.999 206 f) Determina la frecuencia acumulada.

24. Respuesta: Salarios ( $ ) Frecuencia relativa 50.000 – 54.999 7 / 206 = 0,033 55.000 – 59.999 18 / 206 = 0,087 60.000 – 64.999 32 / 206 = 0,155 65.000 – 69.999 45 / 206 = 0,218 70.000 – 74.999 52 / 206 = 0,252 75.000 – 79.999 28 / 206 = 0,135 80.000 – 84.999 16 / 206 = 0,077 85.000 – 89.999 8 / 206 = 0,038 g) Determinar la frecuencia relativa

25. Respuesta: % Salarios ( $ ) Frecuencia relativa 50.000 – 54.999 3,3 55.000 – 59.999 8.7 60.000 – 64.999 15,5 65.000 – 69.999 21,8 70.000 – 74.999 25,2 75.000 – 79.999 13,5 80.000 – 84.999 7,7 3,8 85.000 – 89.999 h) Determinar la frecuencia relativa porcentual

26. Ejercicio Después de medir las alturas de 40 alumnos de un curso, resultaron los siguientes valores de la variable: • 178 150 166 182 175 163 175 150 162 • 155 161 165 160 159 160 168 165 162 • 155 157 161 162 155 167 164 162 158 • 158 163 166 167 156 164 170 176 172 160 a) Determina el rango Respuesta: 182 - 150 = 32

27. Respuesta: Intervalo Frecuencia 150 – 154 4 155 – 159 8 160 – 164 14 165 – 169 7 170 – 174 2 175 – 179 4 180 – 184 1 b) Determina 8 intervalos: Respuesta: El rango es 32. Luego, 32 : 7= 4,5 (5 amplitud ) c) Determinar la frecuencia

28. Respuesta: Intervalo M de C 150 – 154 152 155 – 159 157 160 – 164 162 Respuesta: Lri = 159 + 160 = 159,5 2 165 – 169 167 170 – 174 172 175 – 179 177 180 – 184 182 Respuesta: Lrs = 174 + 175 = 174,5 2 d) Determinar la marca de clase de los intervalos e) Determinar el límite real inferior del tercer intervalo f) Determinar el límite real superior del quinto intervalo

29. Respuesta: Respuesta: Intervalo Intervalo F. acum F. Relat % 150 – 154 150 – 154 10 4 155 – 159 155 – 159 20 12 160 – 164 160 – 164 26 35 165 – 169 165 – 169 33 17,5 170 – 174 170 – 174 35 5 175 – 179 175 – 179 39 10 180 – 184 180 – 184 40 2,5 g) Determinar la frecuencia acumulada h) Determinar la frecuencia relativa porcentual

30. i) ¿Cuántos alumnos miden menos de 160 ? Respuesta: 12 alumnos miden menos de 160 j) ¿Qué porcentaje de alumnos mide entre 170 y 174 ? Respuesta: El 5% de los alumnos miden entre 170 y 174 k) ¿Qué porcentaje de alumnos mide entre 160 y 174 ? Respuesta: El 57,5 % de los alumnos mide entre 160 y 174 l) ¿Cuál es la frecuencia total ? Respuesta: n = 40 m) ¿Cuál es la amplitud del intervalo ? Respuesta: c =Lrs – Lri = 159,5 - 154,5 = 5