Mundtlig gruppeprøve i matematik

1. Mundtlig gruppeprøve i matematik 2012 klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

2. Hvorfor en mundtlig prøve? • Der er trinmål, vi ikke kan prøve eleverne i ved en skriftlig prøve • Eller kun delvist kan prøve i. • § 1. Formålet med folkeskolens afsluttende prøver er at dokumentere, i hvilken grad eleven opfylder de mål og krav, der er fastsat for det enkelte fag. • Det er især målene i 1. CKF: Matematiske kompetencer, og det 4. CKF: Matematiske arbejdsmåder, der kun kan prøves delvist i skriftlige prøver. klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

3. Hvorfor en mundtlig prøve? klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

4. Hvorfor en gruppeprøve? • 23. december 2011: • ”Det er vigtigt, at gruppeprøver igen kan bruges som en blandt mange prøve- og eksamensformer. Prøve- og eksamensformerne skal afspejle virkelighedens arbejdsmetoder. Elever og studerende vil efter sommer igen kunne gå til gruppeprøve og gruppeeksamen i en række fag. Samtidig vil vi afprøve nye prøve- og eksamensformer i et udviklingsprogram, der dækker hele uddannelsesområdet.” • 10. maj 2012: • ”Evnen til at samarbejde og få det optimale ud af mødet mellem forskellige kompetencer er et naturligt krav i dagens virkelighed. Gruppearbejde, dialog og idéudveksling er derfor væsentlige elementer i en moderne og virkelighedsnær undervisning. Med genindførelse af gruppeprøver i blandt andet matematik og naturfag udvider vi nu paletten af prøveformer og elevernes mulighed for at bruge deres almene kompetencer. klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

5. Hvorfor en gruppeprøve? • arbejde individuelt og sammen med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger, bl.a. i projektorienterede forløb • arbejde individuelt og sammen med andre om problemløsning i mundtligt og skriftligt arbejde • give respons til andre i arbejdet med matematik, bl.a. ved at spørge aktivt. Fælles Mål 2009 klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

6. Hvilke prøver? • FSA til udtræk • Fs 10, prøveform A ligner FSA • Fs 10, prøveform B er også en gruppeprøve klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

7. Kan vi nå det? • Det skriftlige arbejde styrkes! • Et forsøg i Vestesjælland. • Eleverne bliver engageret! • Udviklingsprojekter i Slagelse og Nordsjælland • Årsplanlægning i Nordjylland • Kan vi nå det uden mundtlighed? • Forskningen taler for mundtlighed. klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

8. Sådan er reglerne • 10.1. Til den mundtlige prøve opgives et alsidigt sammensat stof inden for fagets fire centrale kundskabs- og færdighedsområder. Desuden opgives eventuelle temaer og projekter, som klassen har arbejdet med. Endvidere oplyses om de it-værktøjer, der er benyttet i undervisningen. • Undervisningsforløb, hvor der har været fokus på en matematisk kompetence fx problembehandlings-, modellerings- eller ræsonnementskompetencen. • Projekter med rapportskrivning, præsentationer, film eller anden form for fremlæggelse. • Kender eleverne kompetencerne som begreber eller kan de alene udøve dem? • Arbejds- og organisationsformer. klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

9. 10.2. Prøven foregår i grupper bestående af to-tre elever. Prøven tilrettelægges, så højst seks elever, der arbejder samtidigt, gennemfører prøven i løbet af 2 timer. Karakterfastsættelsen finder sted inden for samme tidsrum ved bedømmelsens afslutning. Skolens leder kan beslutte et andet antal af elever i grupperne. • Kun individuelt hvis eleven har vanskeligt ved at indgå i en gruppebaseret prøve pga.: • sociale omstændigheder, sent skoleskift, sygeprøve, pjæk eller andre forhold. • fysisk eller psykisk funktionsnedsættelse. • Undtagelsesvis 4 elever. • Antal prøveoplæg: a=e:2:2+3. • Prøveoplæggene skal dække det opgivne stof bredt. klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

10. 10.3. Prøven tager udgangspunkt i et oplæg med tydelige problemstillinger, som giver eleverne mulighed for at vise matematiske kompetencer, viden og kunnen. Oplægget, prøveforløbet og de materialer, der er til stede i prøvelokalet, skal give eleverne mulighed for at benytte matematiske arbejdsmåder i prøvesituationen. Det samlede antal prøveoplæg skal alsidigt repræsentere samtlige områder inden for det opgivne stof. Det gode prøveoplæg skal: • Have en eller flere problemstillinger både ”rene” og ”praktiske”. • Åbne problemstillinger med matematisk problemløsning. • Give mulighed for matematiske undersøgelser. • Kunne løses på flere niveauer. • Være åbne for at vise de matematiske kompetencer. • Have bilagsmateriale, konkrete materialer, filer til it-brug og links til egnede hjemmesider. • Have det lokale islæt! klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

11. 10.4. Ved prøven må alle hjælpemidler anvendes. Der skal i prøvelokalet være mulighed for at anvende computer. • Internet • Et dynamisk geometriprogram fx GeoGebra • Regneark • Formelsamling • Egne noter • Bøger til opslag klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

12. 10.5. Mens eleverne arbejder, taler lærer og censor med grupperne og den enkelte elev om de faglige begreber, metoder, overvejelser og konklusioner, som prøveoplægget har givet anledning til. Der afsluttes med en uddybende samtale. • En runde varer 120 minutter. • Eleverne trækker deres prøveoplæg, ca. 5-10 minutter. • Cirka 90 minutter til elevernes arbejde i grupper. • 1. samtale: Har gruppen forstået opgaven? Evt. fremlæggelse af en disposition. • 2-3 samtaler, hvor grupperne fremlægger deres arbejde og er i dialog med lærer og eventuelt censor. • Den afsluttende samtale som runder prøven af og bl.a. skal give lærer og censor mulighed for at få opklaret en eventuel usikkerhed om vurdering af elevernes præstationer. • Votering ca. 15-20 minutter. • Eleverne får deres karakterer – eventuelt med en kort begrundelse. klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

13. 10.6. Der prøves i elevens matematiske kompetencer, som de kommer til udtryk gennem elevens handlinger i matematikholdige situationer. Ved bedømmelsen lægges hovedvægten på en eller flere af følgende matematiske kompetencer hos eleven: - problembehandlingskompetence - modelleringskompetence - ræsonnementskompetence - kommunikationskompetence - hjælpemiddelkompetence - anvendelse af faglige begreber, metoder og arbejdsmåder. • 10.7. Eleverne bedømmes individuelt. Der gives én karakter til hver elev. klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

14. Diskuter! • Hvad betyder disse begreber: • Problembehandlingskompetence • Modelleringskompetence • Ræsonnementskompetence klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

15. Fra vejledningen • Oplægget kan have særligt fokus på en enkelt kompetence fx modellerings- eller ræsonnementskompetencen eller knytte an til flere kompetencer. Et prøveoplæg med modelleringskompetencen i fokus kan have flere indgange fx • En fuldstændig modellering • En delvis modellering • Analyse og kritik af andre modeller med eventuelt opstilling af en ny model. • Problemløsning fordrer, at prøveoplægget lægger op til en matematisk undersøgelse. Det kan ikke forventes, at spørgsmål som ”Find rumfanget af…”, ”Hvor meget koster…” vil udgøre reelle matematiske problemer for alle elever i en klasse. Der vil i de vejledende prøveoplæg være eksempler på problemstillinger, der lægger op til problemløsning. klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

16. Vurdering • Vurdering af matematiske kompetencer og arbejdsmåder i prøvesituationen kan foregå på baggrund af følgende spørgsmål: • Viser eleven sine matematiske kompetencer ved at handle på en indsigtsfuld måde i forbindelse med problemstillingen? • Kan eleven benytte sin viden og sine færdigheder i forhold til problemstillingen? • Arbejder eleven undersøgende og systematisk, viser eleven initiativ, indgår i dialog og samarbejder med sin gruppe • Kan eleven kommunikere med og om matematik? klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

17. Hvad med færdigheder? Klaus.fink@skolekom.dk Mobil: 2041 0721 06-10-2012 • “Begrebet “færdighed” kan forstås som nogens evne til at udføre en given handling med utvetydige karakteristika.” Tomas Højgaard Jensen, phd 2008, s. 44 • Viden kan være om begreber, definitioner og formler

18. Viden og færdigheder Klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 06-10-2012

19. Kompetencer Klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 06-10-2012

20. Problembehandlingskompetence • erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske problemer og vurdere løsningerne (slutmål) • opstille, afgrænse og løse både rent faglige og anvendelsesorienterede matematiske problemer og vurdere løsningerne, bl.a. med henblik på at generalisere resultater (trinmål efter 9. klasse) klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

21. Eksempel 1: Problembehandling Klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 06-10-2012 • Kan du skrive som summen af to stambrøker? • Er der en løsning? • Er der flere løsninger? • Kan I finde dem alle?

22. Problembehandlingskompetence • erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske problemer og vurdere løsningerne (slutmål) • opstille, afgrænse og løse både rent faglige og anvendelsesorienterede matematiske problemer og vurdere løsningerne, bl.a. med henblik på at generalisere resultater (trinmål efter 9. klasse) Kompetencen i prøvesammenhæng • Da alle prøveoplæg skal have tydelige problemstillinger, vil denne kompetence eller dele af den som regel indgå i bedømmelsen af alle præstationer. Væsentlige opmærksomhedsfelter: • Kan eleven forholde sig til de matematiske problemer? • Har eleven en løsningsstrategi, og kan eleven løse problemet? • Gennemfører eleven en matematisk undersøgelse? • Opstiller eleven eventuelt selv et matematisk problem? klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

23. Modelleringskompetence • udføre matematisk modellering og afkode, tolke, analysere og vurdere matematiske modeller (slutmål) • opstille, behandle, afkode, analysere og forholde sig kritisk til modeller, der gengiver træk fra virkeligheden, bl.a. ved hjælp af regneudtryk, tegning, diagrammer, ligninger, funktioner og formler (trinmål efter 9. klasse) klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

24. Eksempel 2: Modellering Klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 06-10-2012 Hvor mange tandbørstninger er der i en tube tandpasta? Hvorfor er tagrender runde? Hvad koster en bil? Jeg vil gerne have et kegleformet kalenderlys til jul!

25. Modelleringskompetence • udføre matematisk modellering og afkode, tolke, analysere og vurdere matematiske modeller (slutmål) • opstille, behandle, afkode, analysere og forholde sig kritisk til modeller, der gengiver træk fra virkeligheden, bl.a. ved hjælp af regneudtryk, tegning, diagrammer, ligninger, funktioner og formler (trinmål efter 9. klasse) Kompetencen i prøvesammenhæng • En af de centrale kompetencer, som hovedvægten kan lægges på. Det skal bemærkes, at andre kompetencer ofte kommer i spil, fx problembehandling, symbolbehandling og ræsonnement, og derfor kan indgå i bedømmelsen. Væsentlige opmærksomhedsfelter: • Kan eleven opstille en matematisk model, der kan bruges i forbindelse med problemstillingen? • Kan eleven udarbejde en matematisk løsning med brug af modellen? • Kan eleven analysere sine resultater i forhold til problemstillingen? • Kan eleven forholde sig kritisk til egne og andres modeller? klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

26. Ræsonnementskompetence • udtænke og gennemføre egne ræsonnementer til begrundelse af matematiske påstande og følge og vurdere andres matematiske ræsonnementer (slutmål) • udtænke, gennemføre, forstå og vurdere mundtlige og skriftlige matematiske ræsonnementer og arbejde med enkle beviser (trinmål efter 9. klasse) klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

27. Eksempel 3: Ræsonnement Klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 06-10-2012 Hvorfor er der altid et tal fra 6-tabellen før eller efter et primtal?

28. Ræsonnementskompetence • udtænke og gennemføre egne ræsonnementer til begrundelse af matematiske påstande og følge og vurdere andres matematiske ræsonnementer (slutmål) • udtænke, gennemføre, forstå og vurdere mundtlige og skriftlige matematiske ræsonnementer og arbejde med enkle beviser (trinmål efter 9. klasse) Kompetencen i prøvesammenhæng • En af de centrale kompetencer, som hovedvægten kan lægges på. Det kan fx være i det faglige område geometri, hvor der generaliseres på baggrund af undersøgelser i et dynamisk geometriprogram. Det skal bemærkes, at andre kompetencer ofte kommer i spil, fx symbolbehandling og hjælpemiddel-kompetence, og derfor kan indgå i bedømmelsen. Væsentlige opmærksomhedsfelter:  • Kan eleven gennemføre ræsonnementer med præmisser  argumenter  konklusion • Kan eleven forholde sig kritisk til egne og andres ræsonnementer? • Bruger eleven ræsonnementer frem for påstande? • Kan eleven gennemføre et enkelt matematisk bevis? klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

29. Kommunikationskompetence • udtrykke sig om matematiske spørgsmål og aktiviteter på forskellige måder, indgå i dialog og fortolke andres matematiske kommunikation (slutmål) • indgå i dialog samt udtrykke sig mundtligt og skriftligt om matematikholdige anliggender på forskellige måder og med en vis faglig præcision, samt fortolke andres matematiske kommunikation (trinmål efter 9. klasse) klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

30. Klaus.fink@skolekom.dk Mobil: 2041 0721 06-10-2012

31. Gågaden i Vejle er dækket af fliser. De har en form, der kaldes drage-firkanter. En dragefirkant kan defineres som en firkant, der er sat sammen af to ligebenede trekanter med samme grundlinje. Når man skal arbejde med dragefirkanter, kan det være praktisk at vide noget mere om fx areal. Klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 06-10-2012 Problemstilling Jeres opgaver er i et dynamisk geometriprogram at undersøge, om arealet af en dragefirkant kan findes med en af disse formler, hvor d1 og d2 er dragefirkantens diagonaler: A = d1 ∙ d2 A = d1 ∙ d2/2 A = d1 ∙ d2/4 Gennem ræsonnementer kan man bevise, at den rigtige formel altid gælder. Hvorfor står diagonalerne vinkelret på hinanden?

32. Kommunikationskompetence • udtrykke sig om matematiske spørgsmål og aktiviteter på forskellige måder, indgå i dialog og fortolke andres matematiske kommunikation (slutmål) • indgå i dialog samt udtrykke sig mundtligt og skriftligt om matematikholdige anliggender på forskellige måder og med en vis faglig præcision, samt fortolke andres matematiske kommunikation (trinmål efter 9. klasse) Kompetencen i prøvesammenhæng • Denne kompetence indgår i bedømmelsen af alle prøveoplæg. Det er en underliggende kompetence, som er central for formidlingen af elevernes arbejde med matematikken. Dette og dialogen med censor og faglærer vil indgå i bedømmelsen af alle præstationer. Opmærksomhedsfelter: • Kan eleven indgå i en faglig dialog med lærer/censor og med sin gruppe? • Kan eleven fremlægge sit arbejde med præcision, brug af fagsprog, vekslen mellem dagligt og matematisk sprog? klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

33. Hjælpemiddelkompetence • kende, vælge og anvende hjælpemidler i arbejdet med matematik, herunder it, og have indblik i deres muligheder og begrænsninger (Slutmål) • kende forskellige hjælpemidler, herunder it, og deres muligheder og begrænsninger, samt anvende dem hensigtsmæssigt, bl.a. til eksperimenterende udforskning af matematiske sammenhænge, til beregninger og til præsentationer (trinmål efter 9. klasse) Kompetencen i prøvesammenhæng • Denne kompetence kan spille en central rolle i bedømmelsen fx i prøveoplæg, hvor en undersøgende arbejdsmåde danner grundlag . Det er en underliggende kompetence i de fleste prøveoplæg. • Kan eleven bruge relevante hjælpemidler og bruge dem på en hensigtsmæssig måde? klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

34. Tankegangskompetence, Repræsentationskompetence, Symbolbehandlingskompetence • stille spørgsmål, som er karakteristiske for matematik og have blik for hvilke typer af svar, som kan forventes (slutmål) • skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers rækkevidde og begrænsning (trinmål efter 9. klasse) Kompetencen i prøvesammenhæng • Tankegangskompetencen er ikke med i de kompetencer, som hovedvægten kan lægges på. Den vil indirekte være med i de fleste prøveoplæg, da den nærmest afgør, om der er tale om matematisk virksomhed, og den kan derfor indgå i bedømmelsen med en mindre vægt. • danne, forstå og anvende forskellige repræsentationer af matematiske objekter, begreber, situationer eller problemer (slutmål) • afkode, bruge og vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationsformer og kunne se deres indbyrdes forbindelser (trinmål efter 9. klasse) Kompetencen i prøvesammenhæng • Spiller ikke en central rolle i den mundtlige prøve. I nogle prøveoplæg kan det blive en kompetence, der bør indgå i vurderingen. • Kan eleven vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationer og se deres indbyrdes forbindelse? • forstå og afkode symbolsprog og formler og oversætte mellem dagligsprog og matematisk symbolsprog (slutmål) • forstå og benytte variable og symboler, bl.a. når regler og sammenhænge skal vises, samt oversætte mellem dagligsprog og symbolsprog (trinmål efter 9. klasse) Kompetencen i prøvesammenhæng • Kompetencen er betydningsfuld fx i modellering. Men da den prøves en del i de skriftlige prøver, skal den ikke være i centrum. Det betyder, at man under elevernes arbejde med en matematisk model kan hjælpe eleverne med fx symbolsprog, uden at det skal betyde en lavere karakter. Det indgår i vurderingen, hvorvidt eleverne kan veksle mellem dagligdags sprog og matematikkens sprog, men i mindre omfang.  • Kan eleven afkode symboler? • Kan eleven bruge symboler? • Kan eleven bearbejde symboler som formler, ligninger mv.

35. Eksempel 5: Repræsentation Klaus.fink@skolekom.dk Mobil: 2041 0721 06-10-2012

36. Klaus.fink@skolekom.dk Mobil: 2041 0721 06-10-2012

37. Eksempel 6: Symbolbehandling Klaus.fink@skolekom.dk Mobil: 2041 0721 06-10-2012 Matematrix 7, s. 18: I en judoklub for børn er der D drenge, P piger, T trænere og L ledere. Hvad betyder følgende formler? D = P T < L D = 2P T > 0 P = D + 10 ½(D + P) = 45

38. Mere symbolbehandling Klaus.fink@skolekom.dk Mobil: 2041 0721 06-10-2012 Matematrix 7, s. 18: Opskriv formler, som beskriver følgende sammenhænge: • Der er en træner flere, end der er ledere. • Der er 10 drenge flere, end der er piger. • Der er 10 gange så mange drenge som piger. • Der er en træner for hver 10 drenge. • Der er en træner for hver 10 medlemmer. • Der er dobbelt så mange medlemmer, som der er voksne (trænere og ledere).

39. Eksempel 1: Tankegang Klaus.fink@skolekom.dk Mobil: 2041 0721 06-10-2012 Beregn forholdene mellem hvert skibs længde og bredde. Svarene er 3,67 ; 7,74 ; 4,15 og 7 Brug forholdene til at beskrive forskellen på handelsskibe og krigsskibe. ”Forholdene mellem længde og bredde er næsten dobbelt så store på krigsskibe som på handelsskibe”.

40. Anvendelse af faglige begreber, metoder og arbejdsmåder De tre områder indgår i de fleste prøveoplæg og knytter an til det 4. CKF-område, matematiske arbejdsmåder med følgende trinmål: • Faglige begreber: - læse faglige tekster og kommunikere om fagets emner • Metoder: - deltage i udvikling af strategier og metoder i forbindelse med de matematiske emner • Arbejdsmåder: - undersøge, systematisere, ræsonnere og generalisere i arbejdet med matematiske problemstillinger - arbejde individuelt og sammen med andre om behandlingen af matematiske opgaver og problemstillinger • Bruger eleven faglige begreber hensigtsmæssigt og korrekt? • Kan eleven bruge forskellige metoder i arbejdet med problemstillingen? • Gennemfører eleven i sin gruppe matematiske undersøgelser? • Kan eleven bringe sin matematiske faglighed i spil i sin gruppe? klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

41. Vejledende karakterbeskrivelse klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

42. klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

43. klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

44. klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

45. klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

46. Fra Skovshoved Skole klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

47. klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

48. klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

49. Fart og Tempo • Eleverne skal hjemme vælge to genstande, der bevæger sig - den ene skal bevæge sig hurtigere end et menneske, mens den anden skal bevæge sig langsommere. • De skal måle tid og afstand • I klassen skal eleverne i matematisk dialog om deres undersøgelser herunder lave udregninger • De skal lave en præsentation klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721

50. klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721