Eseményalgebra

1. Eseményalgebra

2. Definíciók Kísérlet: A valószínűségszámításban és a statisztikában kísérletnek nevezünk minden kísérletet, jelenséget, történést, megfigyelést, melynek eredménye valamilyen számszerű vagy egyéb típusú adat, adathalmaz. Determinisztikus (szükségszerű) jelenség: A kísérlet kimenetele a kiindulási adatok ismeretében egyértelműen megjósolható. (Csillagászati jelenségek, egyszerű kísérletek, ipari folyamatok, gépek működése, stb.)

3. Definíciók Sztochasztikus (véletlenszerű) jelenség: A kísérlet kimenetele nem jósolható meg egyértelműen. Ok: vagy nem ismerjük az összes kiindulási adatot, vagy nem tudjuk az összes adatot kellő pontossággal és sebességgel értékelni. (Pénzfeldobás, kockadobálás, betegségek kialakulása, az időjárás alakulása, mutációk bekövetkezése, stb.) A két kategória között éles határ nem vonható.

4. Definíciók Esemény: A kísérletek kimeneteleit eseményeknek nevezzük. Az elméleti tárgyalás során nem veszünk figyelembe a köznapi tapasztalatoknak ellentmondó kimenetelt. (A pénzfeldobás eredménye lehet fej vagy írás, de nem számítunk arra, hogy az élén megáll, elgurul egy bútor alá, vagy elviszi egy madár a levegőben. )

5. Definíciók Elemi esemény (ω): További eseményekre nem bontható, csak egyféleképpen valósulhat meg. (Kockadobásnál elemi esemény például 2 vagy 5 dobása.) Összetett esemény: Több elemi eseményre bontható, minden esetben megvalósul, ha az őt alkotó elemi események valamelyike megvalósul. Kockadobásnál összetett esemény például a páros szám dobása. Ennek elemi eseményei 2, 4 és 6 dobása, akkor valósul meg, ha ezek közül dobjuk valamelyiket: A = {2,4,6}

6. Definíciók Teljes eseménytér (Ω): Az az összetett esemény, ami az összes lehetséges eseményt tartalmazza. A kockadobás teljes eseménytere: Ω = {1,2,3,4,5,6}. Ez egyben az összes, a kockadobásra definiálható összetett eseményt is tartalmazza. Az összetett esemény az elemi események halmazaként fogható fel, azaz az elemi események az összetett események halmazának elemei. Emiatt az eseményalgebra és a halmazelmélet kapcsolata szoros.

7. Eseményalgebra Definíció. Véletlen kísérletnek nevezünk minden olyan megfigyelést, melynek több kimenetele lehetséges, és a véletlentől függ, (azaz az általunk figyelembevett feltételek nem határozzák meg egyértelműen), hogy a lehetséges kimenetelek közül melyik következik be. Definíció. A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemieseményeknek, az elemi események halmazát pedig eseménytérnek nevezzük. Az eseményteret -val, az elemi eseményeket pedig -val jelöljük. Példa: Kockadobás két különböző kockával  = {(i, j) : 1  i, j  6} 2014.09.04. 7

8. Eseményalgebra Definíció. A véletlen eseményaz  eseménytér egy részhalmaza. Egy esemény akkor következik be, ha a kísérlet során adódó elemi esemény a szóban forgó részhalmaz eleme. Példa: Két különböző kockával történő kockadobás esetén legyen az A esemény az, hogy a dobásösszeg nem nagyobb, mint 6. EkkorA = {(i, j): i + j 6}. Az eseményeket általában A, B, C,... betűkkel fogjuk jelölni. Definíció. Biztos eseményaz az esemény, amely a kísérlet kimenetelétől függetlenül mindig bekövetkezik. Nyilván a biztos esemény megfelel az  halmaznak, ezért a biztos eseményt is szokás -val jelölni. Lehetetlen esemény() az az esemény, amely a kísérlet kimenetelétől függetlenül sohasem következik be. Az Aeseményellentett eseménye(vagy komplementer eseménye) az az esemény, amely akkor és csak akkor következik be, ha A nem. 2014.09.04. 8

9. Műveletek eseményekkel Az események és összefüggéseik Venn-diagramon szemléltethetők Ω A B A és B összetett események, Ω a teljes eseménytér.

10. Műveletek eseményekkel Tekintsük egy dobókocka feldobását. Legyen A esemény az, hogy páros számot dobunk, B az, hogy ötnél kisebbet. B = {1,2,3,4} A = {2,4,6} Az események elemei: Ω A B 2 1 5 6 3 4

11. Műveletek eseményekkel A dobás során biztosan Ω valamelyik elemi eseménye valósul meg, ezért az Ω-t alkotó elemi események halmazát biztos eseménynek nevezzük, és általában H-val jelöljük: H = {1,2,3,4,5,6} Azaz: H A B 2 1 5 6 3 4

12. H A B 2 1 5 6 3 4 Műveletek eseményekkel Ha egy esemény Ω egyetlen elemi eseményét sem tartalmazza, akkor lehetetlen eseménynek nevezzük. C: {hatnál nagyobb számok} Például: C

13. H A D 2 4 5 6 1 3 Műveletek eseményekkel Ha két vagy több eseménynek nincs közös elemi eseménye, akkor ezek egymást kizáró események. Legyen A esemény a korábbi, D az, hogy négynél nagyobb, de hatnál kisebb számot dobunk. D = {5} A = {2,4,6} Az események elemei:

14. H A E 1 3 2 4 5 6 Műveletek eseményekkel Ha két egymást kizáró esemény együttesen éppen a biztos eseményt adja, akkor ezek komplementer események. Legyen A esemény az előbbi, E az, hogy páratlan számot dobunk. Következmény: elemi események midig kizárják egymást! A = {2,4,6} E = {1,3,5} Az események elemei:

15. A E H 1 3 2 4 5 6 Műveletek eseményekkel Szemléletesebben: Jelölés: Azaz: E eseménynek minden olyan esemény eleme, ami A-nak nem, és viszont.

16. H A B 2 1 5 6 3 4 Műveletek eseményekkel Két esemény unióját (ÖSSSZEGÉT) azon elemi események alkotják, amelyek vagy az egyik eseménynek, vagy a másiknak az elemei. Akkor következik be, amikor legalább az egyik bekövetkezik. Jelölés: vagy

17. H A B 2 1 5 6 3 4 Műveletek eseményekkel Két esemény metszetét azon elemi események alkotják, amelyek mindkét eseménynek az elemei. Másképp: egyiknek is és másiknak is elemei. Akkor következik be, ha mindkettő bekövetkezik. vagy Jelölés:

18. Feladatok 16. András számokat mond 1 és 14 között. Definiáljuk a következő eseményeket: A={7-nél nagyobb számot mond}, B={hárommal osztható számot mond}. a) Adjuk meg A és B elemi eseményeit! b) Mit jelentenek a következő események? Fogalmazzuk meg a választ szóban, és adjuk meg az események elemi eseményeit is!

19. Összefüggések események között A+A=A A·A=A A+B=B+A A·B=B·A (A+B)+C= A+(B+C) (A·B)·C=A·(B·C) A+(B·C)=(A+B)·(A+C) A·(B+C)=(A·B)+(A·C) A+A=Ω A·A=0 A+0=A A·Ω=A A+ Ω= Ω A·0=0