Edward Hermann Haeusler Prof. do Departamento de Inform á tica PUC/RJ

1. Edward Hermann Haeusler Prof. do Departamento de Informática PUC/RJ Provas como Objetos de Estudo: História, Usos e Abusos

2. Necessidade de teoria mais abrangente e abstrata Panorama da Matemática no Século XIX - Problemas da Física Matemática (Sec. XVIII-XIX): - Equação da Onda - Equação do Calor - Equação de Poisson - Técnicas de Fourier - Séries Infinitas são usadas na solução de Eq. Dif. Parciais - Problemas de Fundamentação: - Séries divergentes x Séries Convergentes - Conceito de infinito não era preciso - Conceito de função não era preciso - O próprio conceito de número real não era preciso. - Definição de convergência não existia

3. Panorama da Matemática no Século XIX (cont.) Dedekind (1831-1916) Definição de número real. Princípio de definição de funções por indução (recursão primitiva) 1888 Aritmetização da Análise, definição dos conceitos de limite, funções e funções contínuas, convergência de sequências e séries infinitas Cauchy (1789-1857) Bolzano(1781-1848) Definição do conceito de integral e Teorema Fundamental do Cálculo. Geometrias Não-Euclidianas Riemman(1826-1866) Peano (em 1889) Define os axiomas da aritmética Weierstrass (1815-1897) Estabelece critérios para a diferenciação e integração, termo a termo, de séries infinitas Hilbert (em 1898-1899) Estabelece a fundamentação da geometria

4. Os paradoxos: - Burali-Forti (1897) “Não há o ordinal de todos os ordinais” - Russell (1902) “Não há o conjunto de todos os conjuntos” Teoria Ingênua dos Conjuntos Bolzano concebe a noção (abstrata) de conjuntos (finitos e infinitos) Cantor (de 1867 a 1871) define a teoria de conjuntos e prova a existência de conjuntos infinitos com cardinalidades diferentes. Conceitos de números cardinais e ordinais transfinitos. Resistência aos principais resultados. Existência Atual posta em cheque. R  R se e somente se R  R R = { x / x  x} ==>

5. Evolução da Lógica como assunto matemático DeMorgan (1830) Observa que a álgebra não necessita lidar tão somente com conceitos numéricos. Boole (1854) Descreve uma álgebra a partir de operações entre conjuntos e relações lógicas, confirmando DeMorgan. Frege (1879) estabele a lógica como um sistema formal que tem sua linguagem particular e distinta da natural. O conceito de prova matemática passa a ser formal. Frege (1884) busca a fundamentação da aritmética em bases puramente lógicas , com a adição do conceito de pertinência () como primitivo. ===> paradoxos aparecem novamente !! ===> Paradoxos associados ao axioma da escolha

6. As 3 Abordagens para a Fundamentação da Matemática Logicismo (Frege) - Toda a Matemática é consequência de princípios puramente lógicos. Formalismo (Hilbert) - A Matemática é fundamentada por sistemas formais cujo único requisito é a consistência Intuicionismo (Brouwer) - A Matemática é uma atividade humana funda- mentada em processos construtivos, sendo assim todo objeto matemático tem sua existência expressa por construção.

7. O Programa de Hilbert => Obtenção de uma prova da consistência da matemática, observando-se que: - As teorias mais complexas são extensões das mais simples. Th(N)  Th(Z)  Th(Q)  Th(R)  Th(C) - Tais extensões são, na sua maior parte, obtidas por operações básicas (classes de equivalência, completamento por simetria, por compactação, completamento algébrico, etc) => Prova da consistência da Aritmética ( Th(N)) com o uso de técnicas finitárias. => Provar que não existe prova de 0 = 1 usando ............

8. Principais Resultados em Lógica/Metamatemática no início do século XX - Teoria dos Tipos como solução ao paradoxo em Russell - Russell e Whitehead publicam o Principia Mathematica. - Presburger (1929) prova que a aritmética sem a multiplicação é decidível. - Skolem (1931) prova que a aritmética sem a adição e o sucessor é decidível - Herbrand (1931) prova a consistência de um fragmento fraco da aritmética (só o sucessor). -Tarski (1930) Prova que a aritmética com adição (+) e menor (<) é decidível. (1936) Formaliza a semântica adequada para a lógica de primeira ordem (1949) Prova da decidibilidade da Teoria dos Reais - Gödel (1930) prova a completude do cálculo de primeira ordem - Gödel (1931) introduz a idéia de aritmetizar (codificar na forma numérica) a linguagem de um sistema formal de forma que (meta) teoremas do sistema possam ser vistos como teoremas aritméticos e prova seu famoso teorema da incompletude. Obs: # é o código de . - Gödel (1931) prova a não-provabilidade da consistência.

9. Paradoxo do mentiroso: “Eu estou mentindo” Lema da diagonal (Gödel/Tarski): ( Th(N)  T) x1 é a única variável livre em  e (t) indica sua substituição por t T |- diagx1(#,#(#)) se e somente se Seja (x1) uma fórmula com somente x1 livre, então existe  tal que T |-  (#) Teorema de Gödel: Qualquer axiomatização de Th(N) onde seja possível aritmetizar o conceito de prova é incompleta. Prova: Seja   Th(N) e uma fórmula Pr(x,y) tal que  |- Pr(#, # ) se e somente se  é uma prova com axiomas  de . Aplique o lema da diagonal a p Pr(p,x1) Os Teoremas de Gödel Teorema de Tarksi: Não existe uma fórmula Verd(x1) em T capaz de definir a verdade aritmética, isto é, T |- Verd(#) se e somente se  é verdadeira na aritmética. Segundo Teorema de Gödel: Seja  uma axiomatização como acima, então a fórmula p Pr(p,#(0=1)) é demonstrável a partir de  se e somente se Cn() é inconsistente

10. Não existe prova de 0=1 Gentzen Prova a Consistência da Aritmética (1936) • Criação de um sistema dedutivo “natural” (com estrutura) com o qual pode-se • analisar o papel das constantes lógicas na construção de provas. • Comparação entre provas ( 1  2 ). -Definição de um processo efetivo de simplificação de provas (normalização) => Para toda prova  de  a partir de  , obtem-se efetivamente ’ que é (uma) prova mais simples de  a partir de ’ . -Em uma prova simples todas as fórmulas são sub-fórmulas ou da conclusão da prova  ou de alguma das hipóteses (premissas, ’) da prova . -Mostra-se que não existe prova mais simples de 0=1

11. Lembretes: • A prova original de Gentzen usa Cálculo de Sequentes e prova que a regra • do corte é desnecessária na construção de provas em aritmética. Usa • indução até 0 para provar terminação do processo de construção da prova • quando este for o caso. (Folclore do Haupsatz ou eliminação do corte) • Dedução Natural é apresentada por Gentzen mas, somente após Prawitz • (1965) os principais problemas com as regras de absurdo (clássico) são • resolvidos e a relação entre Normalização e Eliminação do corte é bem • estabelecida. • Curry já havia relacionado combinadores (S, K e I) com sistema axiomático • de Heyting (lógica intuicionista), originando o termo Lógica Combinatória.

12. Evolução da Teoria da Prova - Análise Ordinal (Schütte - Girard) - Provas como Computações (Curry-Howard) - Teoria de Tipos e Modelos Categóricos para Linguagens - Novas lógicas com semânticas operacionais. - Complexidade Lógica. - Compactação de Provas

13. Dedução Natural [ ] (A  (B  C)) (A  (B  C))  (A  B)  (A  C) (A  B)  (A  C) (A  C) (A  (B  C))  (A  C) [B  C] C [A] [ ] (A  (B  C)) (A  C) (A  C) (A  C) (A  (B  C))  (A  C)

14. [(B  C)] [(B  C)] B C [A] [A] (A  B) (A  C) (A  B) (A  C) [(A  (B  C))] (A  B)  (A  C) (A  B)  (A  C) (A  B)  (A  C) [ ] (A  (B  C)) (A  (B  C))  (A  B)  (A  C) (A  B)  (A  C) [B  C] (A  C) C [A] [ ] (A  (B  C))  (A  C) (A  (B  C)) (A  C) (A  C) (A  C) (A  (B  C))  (A  C) Dedução Natural - Simplificando Provas

15. Algumas Reduções 1 B 2 C 2 C (B  C) C [A]2 B 1 A 1 [A]2 B [A]2 B 1 A A  B B 1 A(a) 1(a/t) A(t) xAx A(t)

16. Toda fórmula na prova ou é subfórmula de  ou é subfórmula de Alguma fórmula de  Princípio da Subfórmula para Provas Normais  Eliminações Fórmula mínima introduções 

17. Consistência da lógica de primeira ordem    Suponha ’  Então existe normal , pois Não existe prova de 

18. Terminologia e Comentários • Ao processo de “siimplificação” de uma prova dá-se o nome de • NORMALIZAÇÃO - NORMALIZAÇÃO = (Estratégia de Apl. de Reduções) + Terminação • Para a lógica de primeira ordem a prova de terminação é feita com • indução finita. Normalizando Provas na Aritmética

19. Pode haver normalização para a Aritmética ???? A Regra de Indução Finita [(a)] s (suc(a)) 0 (0) x (x)

20. O Sistema infinitário PA Regra  0 (0) suc(0) (suc(0)) sucn(0) (sucn(0)) ………. ………. x (x)

21. Imergindo provas de PA em PA 0 (0) . . . 0 [(0)] s [(sucn-1(0))] [(a)] s (suc(a)) 0 (0) 0 (0) s (suc(0)) s (sucn(0)) …. ……. x (x) x (x)     Reduzindo provas em PA Pode-se estimar o tamanho das provas de PA ???

22. Medindo o tamanho das provas em PA que são imagens de provas em PA finita sem IND ≤ k. < 2 k IND não aninhadas < 2 uma IND aninhada IND aninhadas em quantidade arbitrária  < 

23. Medindo o tamanho das provas em PA em função da regra  0 (0) suc(0) (suc(0)) sucn(0) (sucn(0)) ………. ………. =  x (x) - Se k finitos então   - Se k = k. então = 2 - Se k = k então   k  - Se k =  então     - vezes 0 = A cota superior é então :  

24. 0 (0) suc(0) (suc(0)) sucn(0) (sucn(0)) …. …. x (x) (t)   t (t)   • Tamanho da prova reduzida não é maior e pode-se considerar • uma medida no processo de normalização onde a redução • tem complexidade menor

25. - Prova-se por indução transfinita até 0 que todas as provas em PA que tem um número finito de fórmulas máximas, são normalizáveis - Não existe prova de 0=1 em PA. - PA é consistente

26. Estimando o tamanho de provas Normais 2tam() Em Dedução Natural Proposicional : - Cota-Superior para provas normais : 2 . F-Max() . . 2 • Exemplos de teoremas que tem cota-inferior hiperexponencial • em provas normais e tem tamanho linear em provas não-normais Ex: Fórmulas de Orekov Em Cálculo de Sequentes Proposicional : - Cota-Superior para provas sem corte : 2F-max().tam() • Exemplos de teoremas que tem cota-inferior exponencial • em provas sem corte e tem tamanho linear em provas com corte Ex: Princípio da Casa do Pombo (Haken 1984)

27. Sistemas de Frege e Simulação polinomial • Um sistema de Frege é defiinido por conjunto finito de regras e axiomas e é • completo e correto (com respeito a LK). Teorema: Dados F1 e F2, sistemas de Frege, toda prova  em F1 tem uma prova ’ da mesma fórmula e tam(2)  Poli(tam(1)) • Um sistema de Frege com extensão permite o uso da regra de extensão : • E  Fato : O princípio da casa do Pombo (PHP) possui provas de tamanho polinomial em sistemas de Frege com extensão (Reckow 1987) Fato: PHP possui provas de tamanho polinomial em sistemas de Frege (Buss & Reckow 1988)

28. Compactando Provas - Ignorar a estrutura da prova e compactar como um string. - Usar a estrutura da prova e introduzir fórmulas máximas (cortes) => Obtem-se redução do gap exponencial para alguns exemplos => Processo já utilizado por Revezs em 1986 no contexto de L.F. • PHP polinomial equivalente ao obtido por Buss. Prova obtida a partir de uma prova normal com introdução de fórmulas máximas e axiomas de extensão gerados pela unificação de fórmulas na prova normal (Gonçalves & Haeusler 2005) • Provas como termos de primeira ordem e compactação via algoritmo de • unificação • PHP polinomial de mesmo grau obtido por Buss. Prova obtida por unificação de subtermos (subprovas)  Dificuldade inerente na compactação de provas !!!!!

29. A Ciência da Computação Hoje : NP = P ? (Cook 1971) P : Encontra solução em tempo polinomial NP : Verifica solução em tempo polinomial CoNP : Verifica que não é solução, em tempo polinomial Taut  CoNP Sat  NP Verificação de Modelos Prova de Teoremas Obs: Se CoNP  NP então NP  P

30. Como SAT é NP-Completo então Taut é CoNP-Completo ===> Se existe um sistema dedutivo onde todas as provas tem tamanho polinomial em função do tamanho da conclusão, então CoNP = NP. Senão existe tal sistema então CoNP  NP e portanto NP  P. =? => Taut Intuicionista é PSPACE-completo (CoNP  PSPACE) => A lógica intuicionista só com a implicação é PSPACE-completa • Circuitos booleanos monotônicos e provas em Dedução Natural • Razborov 1984 e 1989 indica que o uso de negação é essencial na obtenção do Gap exponencial em circuitos booleanos. Uso de desnormalização como mais uma “heurística” de compactação de provas.

31. Teorema do Razborov (1985) Fato: Se L  P então existe uma família de circuitos booleanos (Cn)nN e um polinômio p(x) tal que Ln é aceita por Cn e | Cn |  p(n). Corolário: Se existe L tal que toda família de circuitos para Ln não é limitada por polinômio então NP  P. Teorema (Razborov): Circuitos monotônicos para CLIQUEn,k quando k = 4n tem cota inferior : Indício de que NP  P ?? Obs: A prova do teorema de Razborov usa a técnica de ultraprodutos introduzida em 1938 por Lós para provar a compacidade da lógica de primeira ordem

32. Consistência Def. Uma Teoria é consistente se não sustenta fatos falsos. Def. Uma Teoria é consistente se não prova fatos falsos. Def. Uma Teoria é consistente se não prova todos os fatos. Def. Uma Teoria é consistente se não prova algum absurdo.

33. O que são técnicas finitárias ??? (visão a posteriori) - Operações efetivas sobre objetos concretos Objetos concretos: |, ||, |||, ||||, ||||||, .... ,  ,   ,    , ........ Operações efetivas: ???????? juntar símbolos apagar símbolos escrever símbolos reconhecer um símbolo

34. Equação da onda u ut(x,0)= g(x) e u(x,0)= f(x) u(x,t) = F(x+ct)+G(x-ct) D’Alembert 1747 + Euler 1748 Daniel Bernouli 1753 x t u(x,t) = 2 0  (sinnysinnxcosnct)f(y)dy + 2 0 (1/n)  (sinnysinnxsinnct)g(y)dy Lagrange 1759

35. Equação do calor u(0,t) = u(L,t) = 0 u(x,0) = f(x) L Fourier 1811  2 2 2 u(x,t) =  cne-n  Kt/L sin(nx/L) ==> Toda “função” tem expansão em série de senos ????? n=1  f(x) =  cnsin(nx/L) Dirichlet (1829,1837) + Fund. Análise (Bolzano, Cauchy, Weierstrass) + Riemann (def. integral, 1900’s) n=1 L cn= (2/L)  f(x) sin(nx/L)dx 0

36. C x + 3 = 9 1 + aC = C x = 6 C(1-a) = 1 C = 1/(1-a) Resolvendo equações Manipulação com séries infinitas (I) :

37. Diferenciação de uma série (termo a termo) dx Integração de uma série (termo a termo)

38. Geometrias Não-Euclidianas Hiperbólica Bolyai-Lobachevsky 1820 Plana Euclides 400’s Elíptica Riemman 1800’s Axiomas de Euclides 1. Para cada par de pontos P1 e P2 com P1  P2 existe uma única reta que incide em ambos. 2. Para todos segmentos AB e CD existe um ponto E t.q. E está entre A e B e CDBE 3. Para todo par de pontos O e A com O  A existe um única circ. com centro O e raio OA 4. Todos os ângulos retos são congruentes 5. Dados uma reta R e um ponto A fora desta, existe uma única R’ paralela e R e incidente em A.

39. T |-  (#) Seja t = #(x2(diagx1(x1,x2)  (x2))) então  será x2(diagx1(t,x2)  (x2))) x2(substx1(t,x2)  (x2)))  (diagx1(t, #)  (#)) T |-   (#)  T |- diagx1(t, #) (#) T |- (x2) diagx1(t,x2) T |- x2= # diagx1(t,x2) (x2) T |- T |- diagx1(t, #) x2 (diagx1(t,x2) (x2)) T |-

40. Não provabilidade da consistência em Cn(G) · a « ~Pr(#a) Î Cn(G) [Diag] · se a Î Cn(G) então Pr (#a) Î Cn(G) Þ Cn(G) é inconsistente. Þ se Cn(G) é consistente então a Ï Cn(G). ~Pr (#a) Î Cn(G) ~Pr (#(0=1)) Î Cn(G) a Î Cn(G) Þ Portanto se ~Provavel(#(0=1)) Î Cn(G) então Cn(G) é inconsistente

41. C = n(v) n N -1 -1(v) Intuição do “Mundo Físico” não concorda com o “Mundo Matemático S  = Rotação de 1/10 de radiano v S  C -1(S  C) S  C  -1(v) =

42. Divisão da esfera em 5 partes Paradoxo de Banach-Tarski (1924) e Paradoxo de Hausdorf (1914) (uso do axioma da escolha) Rotações e Translações

43. Existência de um conjunto sem medida em Rn - Medida como Comprimento, Área ou Volume (desde a Grécia antiga) - Medida associada a integral de Riemman - Medida de Jordan (contempla somente conjuntos limitados) - 1890 - Medida de Lebesque generaliza a de Jordan e contempla conjuntos ilimitados incluindo os Riemman integráveis - 1902 - Vitali usa o axioma da escolha para mostrar a existência de um conjunto sem medida (1905) - Solovay (1960’s) prova que substituindo-se o axioma da escolha pelo axioma da determinância (“Todo jogo infinito tem estratégia vencedora”) tem-se que todo subconjunto do Rn é mensurável.

44. N = <N, 0, <, suc, , +, exp > suc(0) + suc(0) = suc(suc(0))  Th(N) xy(suc(x) + y = suc(x + y))  Th(N) xyzn ((n > suc(suc(0)))  (exp(x,n)+exp(y,x))exp(z,n))  Th(N)

45. Leitura computacional do teorema de Gödel · Todas as funções computáveis são representáveis em [N, <, 0, suc, +, *]. · Toda computação pode ser expressa em forma de Dedução a partir de um conjunto de axiomas (GA) que defina as operações aritméticas básicas. Þ Gödel define o conceito de função primitivamente recursiva e relaciona com aquelas que são representáveis em aritmética.

46. · G Í Th( [N, <, 0, suc, +, *]) · diag é computável. · Como GA é r.c. então Ded é computável Þ Ded é representável em Cn(GA). Qualquer axiomatização r.c. GA para [N, <, 0, suc, +, * ] é incompleta, i.e, Cn(G) é incompleta. Þ ß Existem funções não computáveis

47. Seja T = fórmulas válidas T ser r.c Cn(T È G) é r.c. fórmula b repr. f em Cn(TÈ GA) função f computável que reconhece Cn(TÈ G) Diag. sobre ~b a « ~b(#a) Î Cn(TÈ GA) Contradição