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FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES. Tema 9. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Tema 9.2 * 1º BCS. FUNCIÓN CUADRÁTICA. Si tenemos una ecuación de la forma y = a.x 2 , y = a.x 2 + b , y = a.x 2 + b.x , y = a.x 2 + b.x + c Podemos decir que es una función cuadrática.

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  1. FUNCIONES ELEMENTALES Tema 9 Matemáticas Aplicadas CS I

  2. FUNCIONES CUADRÁTICAS Tema 9.2 * 1º BCS Matemáticas Aplicadas CS I

  3. FUNCIÓN CUADRÁTICA • Si tenemos una ecuación de la forma • y = a.x2 , y = a.x2 + b , y = a.x2 + b.x , y = a.x2 + b.x + c • Podemos decir que es una función cuadrática. • En ella x es la variable independiente e y es la variable dependiente. • Las letras a, b y c son los llamados parámetros. • La señalaremos así: • f(x) = a.x2 , • f(x) = a.x2 + c , • f(x) = a.x2 + b.x , • f(x) = a.x2 + b.x + c • Al ir dando valores a x , obtenemos diferentes valores de y , que llevados a un sistema de coordenadas cartesianas nos resulta siempre una curva llamada PARÁBOLA. Matemáticas Aplicadas CS I

  4. La función f(x)= a.x2 -3 -2 -1 0 1 2 3 x • Sea y = - 2.x2 • Tabla de valores • x y • -3 - 18 • -2 - 8 • -1 - 2 • 0 0 • 1 - 2 • 2 - 8 • 3 - 18 - 2 - 8 - 18 y Matemáticas Aplicadas CS I

  5. La función f(x)= a.x2 + c y • Sea y = x2 - 2 • Tabla de valores • x y • -3 7 • -2 2 • -1 - 1 • 0 - 2 • 1 - 1 • 2 2 • 3 7 7 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 x - 1 - 2 Matemáticas Aplicadas CS I

  6. La función f(x)= a.x2 + b.x 6 4 • Sea y = - x2 + 5.x • Tabla de valores • x y • -3 - 24 • -2 - 14 • -1 - 6 • 0 0 • 1 4 • 2 6 • 3 6 -2 -1 0 1 2 3 x - 6 - 14 y Matemáticas Aplicadas CS I

  7. La función f(x)= a.x2 + b.x + c y 18 • Sea y = x2 - 2.x + 3 • Tabla de valores • x y • -3 18 • -2 11 • -1 6 • 0 3 • 1 2 • 2 3 • 3 6 11 6 3 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 x Matemáticas Aplicadas CS I

  8. GRÁFICA DE LA PARÁBOLA • Toda función cuadrática hemos visto que da lugar a una parábola. • Para construir una parábola necesitamos cuatro elementos: • Vértice, Eje de simetría, Cortes con ejes y Tabla de valores. • 1.- VÉRTICE DE LA PARÁBOLA • Como todo punto tendrá dos coordenadas, xv e yv , abscisa y ordenada: • V(xv , yv) • Siempre se cumple: xv = - b / 2.a  yv=a.xv2+b.xv+ c • Ejemplo 1 • Sea f(x) = x 2+ 4.x + 3 Hallar el vértice. • Como b = 4 y a = 1  xv = - 4 / 2 = - 2  yv= (-2)2+ 4(-2) + 3 = - 1 • Luego: V(- 2 , - 1) • 2.- EJE DE SIMETRÍA • Es vertical y pasa por el vértice, luego su ecuación es x = xv • En el ejemplo anterior: x = – 2 Matemáticas Aplicadas CS I

  9. 3.- PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES • Si hacemos x=0  y = f (0) será el corte con el eje de ordenadas. • Si hacemos f(x)=0  La solución de la ecuación a.x 2+b.x + c = 0 nos dará los puntos de corte con el eje de abscisas, si los hay. • Ejemplo 1 • Sea f(x) = x 2+ 4.x + 3 Hallar los cortes con los ejes. • Hacemos x=0  f(0) = 02+ 4.0 + 2 = 3  Pc(0, 3) • Hacemos f(x)=0  x 2+ 4.x + 3 = 0 , ecuación que resolvemos: • x = [- 4+/- √(16 – 12)] / 2 = (- 4 +/- 2) / 2 • x1 = - 1 y x2 = - 3  Pc(- 1 , 0) y Pc (- 3 , 0) • 4.- TABLA DE VALORES • Además de los ya calculados, vértice y cortes, dos o cuatro más de valor simétrico respecto al valor del vértice. • En el ejemplo anterior, como el vértice está en x = - 2, los valores x = - 4 y • x = 0 serán simétricos. Matemáticas Aplicadas CS I

  10. Ejemplo gráfico 1 • Sea y = x2 + 4.x + 3 • Vértice: • V(-2,-1) • Cortes con ejes: • Pc(0 , 3) • Pc(-1 , 0) y Pc(-3 , 0) • Puntos simétricos: • x = - 5  y = 25 – 20 + 3 = 8 • P1( - 5 , 8) • x = 1  y = 1 + 4 + 3 = 8 • P1( 1 , 8) y 5 -5 -4 -3 - 2 -1 0 1 x -1 Matemáticas Aplicadas CS I

  11. Ejemplo gráfico 2 y • Sea y = x2 - 4 • Calculamos el vértice: • xv = - b / 2.a = 0 / 2 = 0 • yv= 02- 4 = - 4 • El corte con el eje de ordenadas coincide con el vértice al ser x=0 • Como x2 - 4 = (x +2).(x – 2) • x=2 y x= -2 son los puntos de corte con el eje de abscisas , soluciones de la ecuación x2 - 4 = 0 • Damos valores a x simétricos respecto a xv • - 3 y 3, al igual que -1 y 1 son simétricos respecto a x = 0 5 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -4 Matemáticas Aplicadas CS I

  12. Dominio, recorrido y simetría • DOMINIO • Sea la función f(x) = a.x2 + b.x + c • Como en cualquier función polinómica, para cualquier valor de x habrá un valor o imagen de y . • El dominio de f(x) será R.  Dom f(x) = R • RECORRIDO • Recorrido o imagen son todos los posibles valores que puede tomar f(x), o sea la ordenada, y. La imagen de una función cuadrática sólo existe del vértice a +oo o del vértice a –oo, según sea cóncava o convexa. • Img f(x) = (yv , + oo) en las funciones cuadráticas CÓNCAVAS. • Img f(x) = (- oo, yv ) en las funciones cuadráticas CONVEXAS. • SIMETRÍA • Como su gráfica es una parábola, sólo puede tener simetría PAR: • f(x) = f(-x) Matemáticas Aplicadas CS I

  13. Ejemplo 1 Ejemplos gráficos 2 y 3 Ejemplo 2 • Sea f (x) = x2 - 3 • Dom f(x) = R • Vértice: • xv = - b / 2.a = -0/2.1 = 0 • yv= 02- 3 = - 3 • V(0, - 3) • Img f(x) = [ - 3, +oo) • Sea f (x) = - x2 + x • Dom f(x) = R • Vértice: • xv = - b / 2.a = - 1 / 2.(-1) = 1 / 2 • yv= - (1/2)2+ 1 / 2 = - 0,25 + 0,5 = 0,25 • V(0’5 , 0´25) • Img f(x) = (- oo, 0,25] V 0,25 -3 V Matemáticas Aplicadas CS I

  14. Costes de producción • El coste, en euros, para producir entre 50 y 250 unidades de un cierto producto, viene dado por la función: • Siendo x la cantidad de unidades producidas y C(x) el coste en euros • a) ¿Qué cantidad de productos hemos producido si sabemos que el coste ha sido de 10000 €? • b) ¿Cuántas unidades se deben producir para que el coste sea mínimo?. • Resolución • a) 10000 = 0,25.x2 – 45.x + 8000  0,25.x2 – 45.x – 2000 = 0 • Resolviendo la ecuación: • x = [ 45 ± √(2025 + 2000)] / 0,50 =[ 45 ± 63 ] / 0,50 = 216 unidades • b) El mínimo coste, valor de f(x) estará en el vértice: • x = - b / 2.a = – ( – 45) / 2.0,25 = 90 unidades. • C(90) = 0,25.902 – 45.90 + 8000 = 2025 – 4050 + 8000 = 5975 Matemáticas Aplicadas CS I

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