Margita Vajsáblová

1. Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 119 MargitaVajsáblová Rotačné plochy

2. Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 120 Definícia 1: Majme os o, uhol v  0, 2). Množina všetkých obrazov bodu Aov rotácii o všetky uhly v  0, 2) je kružnica kA, ktorá prechádza bodom A, stred má na osi o a leží v rovine kolmej na os o.Rotačná plocha  je útvar, ktorý vznikne rotáciou bodov krivky k (k  o,k  kA) a je tvorený všetkými kružnicami kA pre všetky body A k. Definícia rotačných plôch a základné pojmy o o – os rotácie, k – určujúca krivka, kA – rovnobežkové kružnice: k - rovníkové(kR)– ich polomery tvoria lokálne maximum, kH - hrdlové(kH)– ich polomery tvoria lokálne minimum, - kráterové(kK)– ležia v dotykovej rovine, - všeobecné (kA). SA A kK kA m  kR Definícia 2: Meridiány (poludníky)– krivky, ktoré vzniknú rezom rotačnej plochy polrovinami, ktorých hraničnou priamkou je os rotácie. Vlastnosti rotačnej plochy: 1. Všetky meridiány jednej rotačnej plochy sú zhodné. 2. Rotačná plocha je súmerná podľa osi rotácie. 3. Rotačná plocha je súmerná podľa všetkých rovín obsahujúcich jej os.

3. Druhy rotačných plôch Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 121 1, Rotačné kvadratické plochy– vznikajú rotáciou kužeľosečky okolo jej osi. a, singulárne: • rotačná valcová plocha, • rot. kužeľová plocha, • 2 rovnobežné roviny • rovina. Rotačné hyperboloidy: o  z, dvojdielny b, regulárne: Guľová plocha: stred O[0, 0, 0], x2 + y2 + z2 = r2 Rotačné elipsoidy: stred O[0, 0, 0], o  z, Rotačný paraboloid: o  z : sploštený: a > b jednodielny: pozdĺžny: a < b

4. Druhy rotačných plôch Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 122 2. Anuloid (torus, spirická plocha)– plocha 4. stupňa, vzniká rotáciou kružnice okolo osi, ktorá v rovine kružnice leží. (x2 + y2 + z2 - r2)2 = 4 a2(x2+ y2) 3. Všeobecné rotačné plochy:

5. Obraz rotačnej plochy v Mongeovej projekcii Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 123 Úloha: Zostrojte obraz rotačnej plochy, ktorá je daná osou o a určujúcou krivkou k[k1, k2]. Riešenie: Zostrojíme niekoľko rovnobežkových kružníc, ktoré vzniknú rotáciou bodov krivky k okolo osi o. Keďže os o je kolmá na pôdorysňu , pôdorys rovnobežkovej kružnice kAje kružnica k1Aso stredom na osi o1 a polomerom r = |A1o1|, nárys je úsečka s dĺžkou 2r súmerná podľa osi o2. Y2 1. Zvolíme ľubovoľný A  k, [A1 k1, A2 k2]. o2 2. k1A = [S1=o1, r = |A1o1|]. k2 m2 3. k2A =A´A´´- úsečka, A2  k2A, k2A  o2, S2 o2,|S2A´| = |S2A´´| = r. R2 H2 4. Zostrojíme rovnobežkové kružnice ďalších bodov kX, kY, ... r r A2 k2A A´ A´´ x12 X´ X´´ 5. Ak existujú, zostrojíme hrdlovú kružnicu kH a rovníkovú kR. X2 Záver:Pôdorys rotačnej plochy je medzikružie (príp. kruh) ohraničené rovnobežkovými kružnicami s minimálnym a maximálnym polomerom. k1A k1H m1 r o1 Obrys rotačnej plochyv náryseje m2 , čo jenárys meridiánu m, ktorý leží v rovine rovnobežnej s nárysňou: Y1 k1 H1 X1 A1 m1 ||x12 R1 m2 sú krivky prechádzajúce bodmi A´, B´, ... a A´´, B´´, ...

6. Dotykové roviny rotačných plôch Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 124 a, Dotykovú rovinu rotačnej plochy najjednoduchšie určíme pomocou dotyčnice k rovnobežkovej kružnici a dotyčnice k meridiánu. Veta: Dotyčnice k meridiánom rotačnej plochy v bodoch tej istej rovnobežkovej kružnice tvoria: a) V bodoch rovníka, alebo hrdlovej kružnice tvoria rotačnú valcovú plochu, ktorej osou je os rotačnej plochy. b) V bodoch kráterovej kružnice, tvoria dotykovú rovinu. c) Ak neplatí a,b, tvoria rotačnú kužeľovú plochu, ktorej osou je os rot. plochy. c, b, 

7. Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 125 Úloha: Zostrojte obraz rotačnej plochy, ktorá je daná osou o  z a meridiánom m. Obraz rotačnej plochy v kolmej axonometrii Riešenie: Zostrojíme niekoľko rovnobežkových kružníc rotačnej plochy. Keďže o  z, rovnobežkové kružnice ležia v rovinách rovnobežných so súradnicovou rovinou (x, y). Ich obrazy v kolmej axonometrii sú elipsy, ktorých hlavné osi sú na hlavných priamkach, teda rovnobežné s axonometrickou stopou p roviny, dĺžky hlavných polosí sa rovnajú ich polomeru. Vedľajšie osi týchto elíps ležia na spádových priamkach rovín rovnobežných s , ktoré ležia v premietacej rovine , ktorá je premietacou rovinou aj osi o  z. Prienik premietacej roviny  s rotačnou plochou je meridián m, ktorý je množinou spomínaných vedľajších vrcholov elíps. Rovinu  sklopíme do axonometrickej priemetne  , pomocou sklopenej polohy meridiánu zostrojíme spätne axonometrické obrazy stredov obrazu rovnobežkových kružníc, ich hlavné a vedľajšie vrcholy.  z za Z  rA CA SA . m rA Oa . s CA SA O y . Y ya m x p X Konštrukcia je uvedená na nasledujúcej strane. xa

8. Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 126 Konštrukcia obrazu rotačnej plochy v kolmej axonometrii • Sklopíme premietaciu rovinu  osi z do priemetne  a posunieme (z)  (o) v smere sklápania o ľubovoľnú dĺžku, aby sa sklopená poloha neprekrývala s obrazom rotačnej plochy. 2. V premietacej rovine  leží meridián m rotačnej plochy, ktorý spája vedľajšie vrcholy rovnobežkových kružníc, zostrojíme (m). 3. Zostrojíme obraz ľubovoľnej rovnobežkovej kružnice k, ktorej v sklopení poznáme (S)  (o), (C)  (m), elipsu ka: za oa • stred Sa: (S)  (o), Sa  za, (S) Sa  za, • hlavná os elipsy ka : Aa Ba ||p, |Aa Sa | = |Ba Sa | = r, kde r = |(S)(C)|, Va (V) (z) (z) (o) • vedľajšia os elipsy ka: (C)  (m), (C)Ca  za, CaDa p. Z (C) 4. Určenie bodu obrysu na rovnobežkovej kružnici – pomocou dotykovej kužeľovej plochy s vrcholom V: • (V) je priesečník dotyčnice (m) v bode (C) s (o), (s) Ca Ma (S) Sa r Aa Ba r r (m) . Da . (O) ka • Va  za, (V)Va  za, (O) Oa • z Va zostrojíme dotyčnicu ku ka, dotykový bod Ma je na obryse. xa p P ya 4. Zostrojíme obrazy ďalších rovnobežkových kružníc a zostrojíme obrysovú krivku (pokračovanie na obrázku nie je z dôvodu prehľadnosti).

9. Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 127 Úloha: Zostrojte obraz siete rovnobežiek a meridiánov (každých 45) na sploštenom elipsoide, ktorého osou je o  z, stred je O a meridiánová elipsa má osi a = 5 cm, b = 4 cm. Obraz zemepisnej siete na rotačnom elipsoide (príp. guľovej ploche) v kolmej axonometrii Riešenie: 1. Sklopíme premietaciu rovinu  osi z do priemetne  a posunieme (z)  (o) v smere sklápania o ľubovoľnú dĺžku, aby sa sklopená poloha neprekrývala s obrazom rotačnej plochy. 2. V premietacej rovine  leží meridián m rotačnej plochy, ktorý spája vedľajšie vrcholy rovnobežkových kružníc, zostrojíme (m), ktorý je elipsa s vedľajšou osou na (z)  (o). 3. Zostrojíme obraz rovníka ka0 podľa postupu na predchádzajúcej strane. 4. Prvky rovnobežkovej kružnice k45v sklopení určíme pomocou normály elipsy (m) v bode (C), ktorá zviera s rovinou rovníka uhol45, jej obraz ka45zostrojíme tiež podľa predchádzajúceho postupu. 5. Zostrojíme obrazy pólov - severného a južného PaS, PaJ. 6. Obrazy meridiánov sú elipsy so spoločným priemerom PaSPaJ na osi rotácie. Priemer k nemu združený určíme v rovine rovníka: (z)  (o) za oa (z) • Nech A je na meridiáne m0, teda Aa0 Ma0. n • Bod Ma45 určíme na rovníku ka0 pomocouperspektívnej afinity s osou Aa0Ba0 so smerom kolmým na os, ktorá zobrazí elipsu ka0 do kružnice k´0. t Z (C45) ma45 ka45 (PS) PaS • M´45 k´0, (Ma0Oa,M´45Oa) = 45, r45 45 (S45) ka0 • Ma45  ka0, Ma45M´45  Aa0Ba0. . r0 = a . (O) • Osi meridiánovej elipsy dourčíme Rytzovou konštrukciou. Ba0 Ma0 Oa Aa0 r0=a (O) r -45 45 (m) Ma45 7. Obrys elipsoidu je elipsa s osou Aa0Ba0, druhá os je na (z)  (o), dourčíme ju pomocou dotyčníc k sklopenému meridiánu, rovnobežných so smerom sklápania. (S-45) (PJ) PaJ M´45 k´0

10. Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 128 Kolmý priemet guľovej plochy do roviny tiež nazývame ortografické zobrazenie. Kolmá axonometria je ortografické zobrazenie vo všeobecnej polohe, teda zemská os nie je rovnobežná s priemetňou, ani nie je kolmá na priemetňu. Na obrázku je ukážka práce študenta vytvorená pomocou programu AutoCAD.

11. Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 129 Na obrázku je ukážka práce študenta obrazu zemepisnej siete guľovej plochy v kolmej axonometrii.