- Escoamentos c/ Ausência de Parede - ‘Free Shear Flows’

- Escoamentos c/ Ausência de Parede -‘Free Shear Flows’

Caracterização (I) JATO 2D - Taxa de Abertura Experimental: d/x  0.100 a 0.110 ESTEIRA 2D - Taxa de Abertura Experimental: d2/x  0.365 CORRENTES PARALELAS - Taxa de Abertura Experimental: d/x  0.115

Caracterização (II) • Deve-se destacar: • As grandes escalas; • As pequenas escalas; • Estruturas coerentes; • Proporção: largura x tamanho grande escala; • Taxa abertura das camadas;

Similaridade (I) • A transformação de similaridade reduz: o número de variáveis independentes do problema, a ordem da EDP, e o número de condições de contorno. • Nem todos os problemas permitem solução por similaridade, aqueles que permitem satisfazem as três condições acima. • Problemas 2D ou axi-simétricos pode-se buscar sol. similar expressando a velocidade na direção principal do escoamento por:

Similaridade (I) • (x,y) - direções paralela (principal) e ortogonal ao escoamento • U(x,y) - velocidade na direção principal • UR(x) - velocidade de referência, varia ao longo da direção principal • d(x) - escala característica para direção transversal ao escoamento • h(x,y) - variável similar • F(h) - função similar a ser determinada

Similaridade (II) C. C. (h) h y C. C. (y ) U Não requer C.C. C. C. (h = 0) C. C. Entrada (x = xe) x C. C. (y = 0) h5 h4 h3 y h2 h1 x • A transformação de similaridade é aplicada com sucesso em problemas parabólicos típicos em camada limite hidrodinâmica. EDP Parabólica U = U(x,y) Satisfaz 3 C.C. • EDO: variável independente (h) • U = U(h) produz um único perfil de velocidades • similar. A velocidade em qualquer posição (x,y) • é mapeada por h • Satisfaz 2 C.C. ( a 3a c.c. do problema • parabólica deve ser similar as 2 c.c. já • satisfeitas.

Velocidade linha de centro: depende do fluxo de momento, densidade e distância da origem Escalas Características ( Jatos 2D) Análise Dimensional Var. Vel. Linha Centro UC não depende da visc. molecular desde que: Ausência de paredes causa um fluxo de Momento constante: Transf. Similar

Escalas Características ( Esteiras 2D) Déficite de Vel. linha de centro: depende do arrasto do corpo, densidade e distância da origem Análise Dimensional Var. Vel. Linha Centro DUC não depende da visc. molecular desde que: Ausência de paredes causa um fluxo de Momento constante: Transf. Similar

Escalas Características ( Camadas de Misturas) • A camada rápida induz velocidade na camada lenta por meio da difusão turbulenta da quantidade de movimento. • Não há propriedade integral a ser conservada (distintamente do jato e esteira). • Para os extremos, y , as vel. são constantes e iguais a de cada camada! • A velocidade referência é uma constante dada pela diferença de velocidade entre camadas: DUC não depende da visc. molecular desde que: Observações experimentais mostram que a razão entre a espessura da camada limite e a distância da origem variam é constante:

Escalas Características Quadro Resumo Taxa de abertura da C.L. é definida como sendo o arco tangente da razão y/x onde y é: Jato - a distância onde a vel. U é igual a 1/2 da velocidade da linha de centro; Esteira - a distância y onde o déficite de velocidade é igual 1/2 de seu máximo; Camada Mistura - usualmente definida entre os valores de y/x onde (U-U1)2/(U0-U1)2 é 9/10 e 1/10, e U0 e U1 são as velocidades das correntes.

Modelo de Comprimento de Mistura • Para escoamentos com ausência de parede, o comprimento de mistura é proporcional a largura da região de mistura da camada limite (Prandtl). onde a é uma constante de fechamento do modelo.

Modelo de Comprimento de Mistura • Os valores da constante a foram obtidos por otimização numérica do modelo contra dados experimentais. • O modelo possui um único coeficiente para fechamento, no caso a constante a, • a varia para cada tipo de escoamento e constitui uma das deficiências do modelo pois não tem universalidade, isto é, ela varia de escoamento para escoamento!

Modelo de Viscosidade Turbulenta • Para escoamentos com ausência de parede, Prandtl propôs um modelo de viscosidade turbulenta. • Reconhecendo-se que nT pode ser expressa em função do comprimento de mistura: • Estimando-se o gradiente de velocidade • por meio da vel. de referência e da espessura da camada limite • Chega-se ao modelo da visc. turbulenta. • Ele não contêm grad. vel. Associado mas, somente o produto URd • O modelo possui um único coeficiente para fechamento, no caso a constante c • A velocidade de referência é dada pela diferença: UR = Umáx - Umín • Este modelo permite generalizar as soluções em regime laminar e turbulento para escoamentos livres com pequenas modificações.

Equação Similar p/ Comprimento Mistura muita álgebra ... C1 C2 • Equação Movimento: • Transformação Similar: • Modelo p/ tensão: • Equação Transformada: • Para haver transf. similar é necessário que os parâmetros C1 e C2 sejam constantes! Caso contrário não há redução do número de variáveis (x,y)  h • Isto impõe restrições a variação de UR e d e somente alguns escoamentos podem satisfazer. • A transformação têm sucesso quando ela também é capaz de reduzir o número de C.C.

Modelo de Comprimento de Mistura • Para escoamentos com ausência de parede, o comprimento de mistura é proporcional a largura da região de mistura da camada limite (Prandtl). onde a é uma constante de fechamento do modelo. • Os valores da constante a foram obtidos por otimização numérica do modelo contra dados experimentais. • O modelo possui um único coeficiente para fechamento, no caso a constante a, • a varia para cada tipo de escoamento e constitui uma das deficiências do modelo pois não tem universalidade, isto é, ela varia de escoamento para escoamento!

Modelo de Viscosidade Turbulenta • Para escoamentos com ausência de parede, Prandtl propôs um modelo de viscosidade turbulenta. • Reconhecendo-se que nT pode ser expressa em função do comprimento de mistura: • Estimando-se o gradiente de velocidade • por meio da vel. de referência e da espessura da camada limite • Chega-se ao modelo da visc. turbulenta. • Ele não contêm grad. vel. Associado mas, somente o produto URd • O modelo possui um único coeficiente para fechamento, no caso a constante c • A velocidade de referência é dada pela diferença: UR = Umáx - Umín • Este modelo permite generalizar as soluções em regime laminar e turbulento para escoamentos livres com pequenas modificações.

Equação Similar p/ Comprimento Mistura muita álgebra ... C1 C2 • Equação Movimento: • Transformação Similar: • Modelo p/ tensão: • Equação Transformada: • Para haver transf. similar é necessário que os parâmetros C1 e C2 sejam constantes! Caso contrário não há redução do número de variáveis (x,y)  h • Isto impõe restrições a variação de UR e d e somente alguns escoamentos podem satisfazer. • A transformação têm sucesso quando ela também é capaz de reduzir o número de C.C.

Jato Plano Livre I (comprimento mistura) • A velocidade na linha de centro e sua derivada são determinadas pelas expressões e u • A largura do jato e o comprimento de mistura são proporcionais às constantes A e a, respectivamente • A transf. Similar têm êxito, parâmetros C1 e C2 são constantes! A equação da quantidade de movimento transformada

Solução Similar Jato Plano Livre II (comprimento mistura) Eq. Momento Sujeita a satisfazer apenas 3 c.c. Y=0  V=0 e U = máx  F(0)=0, F’(0)=1 e F’’(0)=0 Y U = 0 então F’() = 0 • Necessário encontrar a melhor ajusta-se aos dados experimentais do perfil médio de velocidades. • Como F(0) = F’’(0) = 0, então F’(0) = 0 para que seja satisfeita a equação da quantidade de movimento. Isto implica em dizer que a vel. na linha de centro do jato é nula! • Isto sugere que o modelo de comp. mistura não pode atender a todas as c.c. especificadas. • Notando-se que a Eq. Momento pode ser integrada analiticamente uma ordem reduzindo a EDO de 3a para 2a ordem:

Solução Similar Jato Plano Livre III (comprimento mistura) h = 0  F(0) = 0 e F’(0) = 1 Eq. Momento Sujeita a satisfazer apenas 2 c.c. • A EDO não apresenta solução analítica. Ela é obtida por meio de rotinas numéricas de integração (Runge-Kutta por exemplo). • Comparação entre a solução de Reichardt e a do modelo de comprimento de mistura Reichardt h

Esteira 2D I (comprimento mistura) U U Ud • O déficite de velocidade é definido como sendo a dif. entre a vel. da corrente livre e a do fluido na esteira: • Para uma região suficientemente afastada da origem, a eq. do momento pode ser aproximada por: U = Uinf-Ud. O termo inercial (Uinf-Ud)dUd/dx+VdUd/dy = UinfdUd/dx -UddUd/dx+VdUd/dy, mas Eq. massa -> V  Udd/L e para distâncias grandes Ud -> 0 e os termos: UddUd/dx+VdUd/dy são da mesma ordem de magnitude porém menores que UinfdUd/dx • A Eq. da quantidade de movimento deve satisfazer as C.C.:

Esteira 2D II (comprimento mistura) Equação do Momento Transformada Isolando-se o termo de derivada superior e após manipulações algébricas, onde ‘a’ é uma constante. Sujeita as C.C.: F’’(0)=0 F’(1)=0 A Eq. da quantidade de movimento apresenta a solução analítica: A constante ‘a’ e o déficite de velocidade na linha de centro são determinados com o auxílio da integral do arrasto. O parâmetro a deve ser determinado pelo melhor ajuste aos dados experimentais.

Esteira 2D III (comprimento mistura) Resultados do modelo: Tese de Doutorado do Schilichting (1930) Largura da esteira: Coeficiente de Arrasto: Perfil de Velocidades: Comparação entre as soluções similares obtidas resultantes do modelo de comprimento de mistura, (vermelha) e da viscosidade turbulenta, (linha verde). y/d

Camada de Mistura I (comprimento mistura) U1 y  x U2 Perfil de velocidades, velocidade de referência e condições de contono:

Camada de Mistura I (comprimento mistura) C1 é nula, dU/dy > 0 logo | F’’| = F’’ e a eq. transformada passa a ser: Reichardt Equação linear e têm solução analítica porém sua forma é complexa e envolve diversos termos. Mais conveniente buscar solução numérica (Runge-Kutta). Comparação da solução com o ajuste proposto por Reichardt aos dados experimentais do perfil médio de velocidades

Equação Similar p/ Viscosidade Turbulenta C1 C2 • Equação Movimento: • Transformação Similar: • Modelo p/ tensão: muita álgebra ... • Equação Transformada: • Para haver transf. similar é necessário que os parâmetros C1 e C2 sejam constantes! Caso contrário não há redução do número de variáveis (x,y)  h • Isto impõe restrições a variação de UR e d e somente alguns escoamentos podem satisfazer. • A transformação têm sucesso quando ela também é capaz de reduzir o número de C.C.

Jato Plano Livre (mod. visc. turbulenta) • A velocidade na linha de centro e sua derivada são definidas pelas escalas características. • A Equação transformada da Q. Mov. apresenta um termo isolado de derivada de terceira ordem enquanto que no modelo de comprimento de mistura ele vem multiplicado pela derivada de segunda ordem. • A transf. Similar têm êxito, parâmetros C1 e C2 são constantes!

Jato Plano Livre (mod. visc. turbulenta) As condições de contorno satisfeitas pela equação transformada são: F(0) = 0 (simetria com a linha de centro, V = 0) F’() = 0 (afastado da linha de centro a velocidade decai p/ 0) F’’(0) = 0 (velocidade é máxima na linha de centro) Na linha de centro o modelo. não apresenta a inconsistência física do modelo de comprimento de mistura, isto é, F’(0)0. De fato p/, h=0, encontra-se que [F’(0)]2 = -2/A.F’’’(0) • O valor do parâmetro c , espessura C.L. e a solução da EDO tem solução analítica com perfil de velocidades no Jato plano

Esteira 2D (mod. visc. turbulenta) • A aproximação a equação da Q. Mov. aplica-e para escoamentos distantes do corpo, L/x > 200 (L dim. corpo) . Equação transformada da Q. Mov. passa a ser, onde o parâmetro ‘a’ é uma constante. As condições de contorno satisfeitas pela equação transformada são: F(0) = 0 (simetria com a linha de centro, V = 0) F’(0) = 1 (vel. Na linha de centro, Ud=DUC) F’() = 0 (afastado da linha de centro a velocidade decai p/ 0) F’’(0) = 0 (velocidade é máxima na linha de centro) Sendo um diferencial perfeito a EDO pode ser integrada sucessivamente até chegar-se aos valores dos parâmetros e perfis que melhor representam os dados médios experimentais

Camada de Mistura (mod. visc. turbulenta) • Equação transformada da Q. Mov. passa a ser: • Sujeita às condições de contorno: • F(0) = 0 (simetria com a linha de centro, V = 0) • F’(1) = U1/DUC (vel. em y = d, U=U1) • F’(-1) = U2/DUC (vel. em y = -d, U=U2) • A EDO não tem solução analítica conhecida requerendo portanto integração numérica. • Reichardt propôs uma aproximação à solução numérica por meio do ajuste: onde o parâmetro s que melhor se ajusta aos dados experimentais é, s = 13.5.

Estimativas Grandezas Turbulentas I Os modelos para viscosidade turbulenta: comprimento de mistura e Prandtl-Reichardt A tensão turbulenta é determinada, para ambos os modelos, com o auxílio da viscosidade turbulenta: A energia cinética do escoamento também pode ser estimada a partir da tensão turbulenta, onde a constante de proporcionalidade vêm dos dados experimentais, a 0.09. A aproximação para k não é válida próx. linha de centro pois u’v’=0 porém k0. Para y/d > 0.4 ela se constitui uma boa aproximação.

Estimativas Grandezas Turbulentas - Esteira 2D Mod. Comprimento de Mistura medido • O modelo não atende o comportamento assintótico, y+ u’v’ =0, nem tão pouco da velocidade média • A viscosidade turbulenta varia somente na direção transversal ao escoamento. • Na direção paralela ela é constante e independe da distância da origem. • Isto não representa físicamente o que ocorre para regiões muito afastadas da origem pois espera-se que o escoamento se relaminarize! • O modelo dá nT=0 p/ y=0, porém é fato que nT0. Isto gera problemas em transferência de calor e massa.

Estimativas Grandezas Turbulentas II • Estimativas para um balanço dos mecanismos de produção, dissipação, transporte e destruição de k. • Para regiões afastadas da origem, o termo convectivo da equação de k pode ser aproximado por: • Aproximações (modelos) para cada termo da eq. transporte de k: finalmente o termo de dissipação, e, é estimado como a diferença da soma algébrica dos demais termos.

Estimativas Grandezas Turbulentas - Esteira 2D Mod. Comprimento de Mistura D Pk e C Representação qualitativa do balanço de energia cinética. Linhas pontilhadas são baseadas em medidas exp. • Na região central, y/d < 0.6  dk/dx = P - e - (-D) O valor de k atinge um máximo, Produção e dissipação são aproximadamente iguais e intensas ; e a difusão transporta k [-(-D)>0] para o centro e para a periferia da esteira. ‘C’ transporta paralelo ao escoamento enquanto “D” transversalmente • Na região y/d > 0.6  dk/dx = - (D) os mecanismos ‘C’ e ‘D’ se invertem. A difusão remove k pq. a esteira se propaga num ambiente de fluido não perturbado.

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