Polinomios

1. Polinomios Maria José Morralla Nicolau Darío Rozalén Badal

2. Situación de los polinomios en la enseñanza secundaria ALGEBRA (Iniciación) ARITMÉTICA GEOMETRIA Interpretación geométrica Fórmulas Igualdades notables Operaciones básicas Factorización Ruffini Valor numérico Raíces Teorema del resto Teorema del factor Teorema fundamental del álgebra Funciones Resolución de ecuaciones Expresiones racionales Gráficas POLINOMIOS

3. ¿Qué es un polinomio? -Pues una suma de monomios. ¿Y qué es un monomio? ¿Son monomios las siguientes expresiones? 4x5 πr2 3x2 = 27 3xy2 A= πr2 5x anxn P(x)=4x xy kzrf f(x)=4x abcd

4. Definición: Un polinomio es una suma de monomios. Un monomio es una expresión algebraica en la que solo aparece la multiplicación por un numero y la potenciación natural de números generalizados. Ejemplos: monomios polinomios Se llama grado del polinomio al mayor exponente de la x Se llama termino independiente al sumando sin x Interpretación geométrica: x x 1 x x x 1 1 x 1 1 1 Definición e interpretación geométrica

5. x x 1 x 1 1 x 1 Notas sobre la interpretación geométrica: Solo podemos dibujar figuras geométricas de hasta 3 dimensiones, por tanto la interpretación geométrica se reduce a los polinomios de grado menor que 4. ¿Representamos de la misma manera polinomios de distintos grados? NO Un polinomio de grado 3 necesita 3 dimensiones pero uno de 2 no, aunque siempre podamos darle profundidad 1. Así, el siguiente polinomio lo podemos representar de varias maneras distintas según nos convenga: P(x) = 2x2 + x + 2 O O O Y el polinomio 2x + 1: O O

6. Operaciones básicas con polinomios Suma y resta: Dos polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro y simplificando los monomios semejantes (del mismo grado). Para sumar P(x) = 2x3+2x2+3x+4 con Q(x) = x3 + 2x2 + x + 3se procede así: P(x) + Q(x) = (2x3+2x2+3x+4) + (x3 + 2x2 + x + 3) = (2+1)x3 + (2+2)x2 + (3+1)x + (4+3)  P(x) + Q(x) = 3x3 + 4x2 + 4x + 7  Interpretacióngeométrica de la suma: P(x) + Q(x) P(x) + Q(x) Todo polinomio tiene un opuesto, que se obtiene cambiando el signo de todos sus monomios. Si a un polinomio le sumamos su opuesto se obtiene el número 0 (polinomio neutro). Se llama diferencia de dos polinomios, P(x) – Q(x) , al resultado de sumarle a P(x) el opuesto de Q(x). Texto:Página web de Silvia Sokolovsky

7. Producto: Para multiplicar dos polinomios se multiplica término a término cada monomio de uno por cada monomio del otro y, posteriormente, se simplifican los monomios semejantes. Por ejemplo: P(x)=2x + 3 , Q(x)=x2 + 3x + 2 P(x)Q(x) = (2x + 3)(x2 + 3x + 2) = 2x3 + 6x2 + 4x +3x2 + 9x + 6 = 2x3 + 9x2 + 13x + 6 Interpretación geométrica: P(x) Q(x) P(x)Q(x) Texto:Página web de Silvia Sokolovsky

9. División de polinomios: División entera: Sean dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) tales que el grado del primero (N) es mayor que el del segundo (M) y P(x) múltiplo de Q(x), buscamos el polinomio C(x) (cociente) tal que P(x)=Q(x)C(x) , con grado N-M. Interpretación geométrica: Si tenemos el siguiente polinomio y lo queremos dividir por este otro, notemos que estamos buscando la “altura” que hay que darle al segundo para obtener el primero, así, obtendremos éste

10. División no entera: Dados dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo que el grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y Q(x)0 siempre hallaremos dos polinomios C(x) (cociente) y R(x) (resto) tal que:P(x) = Q(x) . C(x) + R(x) El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P y Q, mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q. Para obtener los polinomios cociente y resto a partir de los polinomios dividendo y divisor se procede como en el ejemplo siguiente, con P(x) = 5x3 + 7x2 - 3 y Q(x) = x2 + 2x - 1: 5x3 + 7x2- 3 | x2 + 2x - 1 -5x3-10x2+5x5x – 3 / -3x2 + 5x – 3 3x2 + 6x – 3 / 11x – 6 El cociente es C(x) = 5x – 3, y el resto, R(x) = 11x – 6. La descripción del proceso es la siguiente: El primer monomio del cociente se obtiene dividiendo el monomio de mayor grado del numerador por el del denominador: 5x3: x2 = 5x. Se multiplica 5x por el divisor y el resultado se resta del dividendo.Una vez obtenida la diferencia se inicia el proceso como si ésta fuera el dividendo. El proceso concluye cuando la diferencia es de grado inferior al divisor. Texto:Página web de Silvia Sokolovsky

11. Valor numérico: Es el número que se obtiene al sustituir la x por un valor dado y efectuar, luego, las operaciones indicadas. Ejemplo: seaP(x) = x2 + 3x – 4  hallar  P(2) P(2) = 22 + 3.2 – 4  P(2) = 4 + 6 – 4  P(2) = 6 Texto:Página web de Silvia Sokolovsky Raíces: Un número a es una raíz del polinomio P(x) si el valor numérico de P(x) para x=a es cero. Ejemplo: a=1 es raiz de P(x)= x2 + 3x – 4, porque P(1)=1 + 3 - 4 = 0 Factorizar: Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios, no constantes, de manera que su producto sea el polinomio dado. Nos interesa factorizar los polinomios en binomios del tipo x – a. Para ello resulta muy útil la regla de Ruffini, que veremos a continuación. Ejemplos: (x-1),(x+1) son factores del polinomio x2-1. Es decir podemos factorizar x2-1 en el producto de los otros dos: x2-1 = (x-1)(x+1) O también: 2x3 +4x2-2x-4 = (x2-1)(2x+4)

12. Paolo RUFFINI  (1765 - 1822): Matemático y médico italiano, nacido en Roma, desarrollandotoda su actividad en Módena, donde murió. Dedicó muchos años al estudiodel problema de demostrar la imposibilidad de encontrar una expresióncon radicales que resuelva una ecuación de quinto grado (problema queocupó a generaciones de matemáticos), consiguiendo resolverlo, al igualque el matemático Niels H. Abel. Lo demostró, aunque deficientemente.El teorema sobre la imposibilidad de encontrar una fórmula para resolverlas ecuaciones de quinto grado fue enunciado por primera vez por Ruffini enel libro Teoria generale delle equazioni, publicado en Bolonia en 1798. La demostración de Ruffini fue, sin embargo, incompleta. Estaformulación, denominada teorema Abel-Ruffini, fue demostrada definitivamente por el matemático noruego Niels Henrik Abel. Es muy conocida su regla para la división de un polinomio en xpor el binomio x - a. 

13. Se deben colocar todos los coeficientes del dividendoordenados de mayor a menor grado y si falta el dealgúngrado intermedio colocar un 0. Se "baja" el primer coeficiente del dividendo. Se multiplica α por el coeficiente bajado y se colocael resultado debajo del segundo coeficiente (el signode α será positivo si el divisor es del tipo (x- α) y negativo si el divisor es del tipo (x+ α). anxn+ an-1xn-1 + ... + a1x + a0 | x – α Planteamos la división Una vez obtenida la diferencia se inicia el proceso como si ésta fuera el dividendo. El proceso concluye cuando la diferencia es de grado inferior al divisor. El primer monomio del cociente se obtiene dividiendo el monomio de mayor grado del numerador por el del denominador: anxn :x = anxn-1 Se multiplica anxn-1 por el divisor El resultado se resta del dividendo -anxn + α anxn-1 anxn-1 +(an-1+α an)xn-2 +... = C / (an-1+α an)xn-1 + ... + a1x + a0 Se suma el segundo coeficiente con el resultado anterior. R(x) = an αn+ an-1 αn-1 + ... + a1 α + a0 Se continúa el proceso hasta terminar con los coeficientes. C = anxn-1 +(an-1+α an)xn-2 + ... + (an αn-1+ an-1 αn-2 + ... + a2 α + a1) C = bn-1xn-1+ bn-2 xn-2 + ... + b0 Regla de Ruffini VS Algoritmo de la división: Sea el polinomio generalizado P(x)=anxn + ... + a1x + a0 , vamos a dividirlo por el binomio x – α , con α real. Regla de Ruffini: Algoritmo de la división:

14. Teorema del resto: El resto de dividir un polinomio P(x) por x – α es igual al valor numérico del polinomio en x = α Demostración de los algoritmos de la pagina anterior, tenemos: R(x) = an αn+ an-1 αn-1 + ... + a1 α + a0 que es exactamente el polinomio evaluado en α. Otra demostración como el cociente es x – α (grado 1), sabemos que el resto será de grado 0, es decir, un número. Sabemos también que P(x) = Q(x) . (x - α) + R. Entonces si en esa ecuación hacemos x = α, nos queda: P(α) = Q(α) . (α - α) + R P(α) = Q(α) . 0 + R P(α) = R El resto es igual al valor del polinomio en α. Teorema del factor: Un polinomio P(x) tiene como factor x – α si el valor numérico del polinomio en x = α es cero. Demostración P(α)= 0  Por el teorema del resto la división es exacta  x – α es factor.

15. Demostración Si α es raiz de P(x) , el resto R(x) = an αn+ an-1 αn-1 + ... + a1 α + a0 = 0   a0= - (an αn+ an-1 αn-1 + ... + a1 α) = - α (an αn-1+ an-1 αn-2 + ... + a1)   - (an αn-1+ an-1 αn-2 + ... + a1) donde ai y α son enteros   α divide de forma entera a a0 Propiedad: Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente. Ejemplo: Para factorizar x3 – 7x +6 utilizando la regla de Ruffini probaremos con todos los divisores del termino independiente. 6 es divisible por: 1,-1,2,-2,3,-3,6 y –6 Veamos que no todos son raíces, pero que todas las raíces enteras son de ese grupo.

17. Teorema fundamental del álgebra: El teorema fundamental del álgebra establece lo siguiente: Todo polinomio de grado n, con coeficientes complejos, tiene exactamente n raíces, no forzosamente distintas, es decir contadas con su orden de multiplicidad. Por ejemplo, el polinomio real (y por lo tanto también complejo) X3 - 2X2 - 4X + 8 = (X-2)2(X+2) tiene 2 como raíz doble, y -2 como raíz simple, lo que da en total tres raíces. En otras palabras, todo P(X) = anXn +an-1 Xn-1 + ... + a1 X + a0 se puede factorizar completamente, así : an(X – z0) (X – z1) ... (X – zn) , con los zi complejos, y an ≠ 0. Para los reales el teorema se queda en: Todo polinomio de grado n, con coeficientes reales, se podrá factorizar en a lo sumo n factores.