Tema 4. Polinomios

1. Tema 4. Polinomios Operacións básicas. Factorización.

2. Polinomios: definicións e operacións básicas Bloques de Dienes

3. Monomios. Monomios enteiros Chámase monomio enteiro a unha expresión alxébrica formada por produtos de números enteiros e letras elevadas a expoñentes enteiros. Cando a parte literal ten unha única letra diremos que temos un monomio nunha indeterminada, por exemplo: 2x, 5y3, etc… Grao dun monomio Ao número que aparece nesta expresión chámaselle coeficiente ou parte numérica e á expresión contendo as indeterminadas parte literal. Chámase grao dun monomio á suma dos expoñentes das indeterminadas da parte literal. 2 x · y 2 Parte numérica: coeficiente Parte literal O expoñente 1, non se escribe, por convenio O expoñente da y é 2 O grao de 2xy2 é 2+1=3

4. Polinomios. Polinomios nunha indeterminada Chámase polinomio enteiro á suma de monomios enteiros. Chámase grao dun polinomio ao grao do monomio de maior grao. Nos polinomios nunha indeterminada coincide co maior expoñente da indeterminada. Grao 1 Un polinomio enteiro nunha indeterminada é un polinomio formado por monomios simples: que só teñen unha indeterminada. Maior grao =1 Grao 3 Maior grao =3 Cando contén termos de todos os graos ata o maior decimos que o polinomio é completo Exemplos Completo Incompleto

5. Operacións cos polinomios Suma e resta de polinomios: Para sumar os polinomios so poden sumarse os termos semellantes: os que son do mesmo grao. • Sumamos termos semellantes sumando os coeficientes e tomando común a parte literal. Para efectuar a suma, • Ordenamos e completamos os polinomios segundo a medra do seu grao: Sumando: A resta de polinomios efectúase sumando ao minuendo o oposto do sustraendo polo que non ten sentido falar unha vez máis do procedemento.

6. Produto de polinomios O produto de dous polinomios require do produto de cada un dos monomios de cada polinomio: O produto de monomios efectúase multiplicando as partes literais dunha banda e os coeficientes por outra: Que tamén pode efectuarse da seguinte forma: Propiedades das potencias Este algoritmo é lixeiramente diferente do da multiplicación numérica, que podería tamén empregarse na multiplicación de polinomios. ¿Saberías explicar a razón de que o resultado sexa indiferente ao método empregado? x2-x-1 2x+3 2x3- 2x2-2x +3x2-3x-3 2x3+ x2- 5x-3 Multiplicar un monomio por un polinomio é multiplicar o monomio por cada un dos termos do polinomio:

7. Identidades notables NicoloTartaglia

8. Identidades notables Chámase identidades ou produtosnotables ás potencias de expresións alxébricas simples, en particular sumas e restas de binomios. Por veces adoitaincluírse entre estas expresións o cubo da suma E da resta: As expresións máis simples son: Cadrado da suma: A veracidade de todas estas expresións pode comprobarse efectuando simplemente os produtos. O que xa non resulta tan simple é obterunha expresión xeral que permita obter o resultado da potencia: Cadrado da diferenza: Suma por diferenza: para calquera n,

9. Triángulo de Tartaglia O método de Tartaglia baséase na obtención dos coeficientes mediante unha regra simple: + = Os termos resultantes obtéñense empezando polo maior expoñente do primeiro sumando, que vai descendendo unha unidade en cada termo, multiplicado polo segundo, que comeza con expoñente cero e vai aumentando unha unidade en cada termo.

10. Binomio de Newton Chámasebinomio de Newton a todo binomio da forma: Chámasefactorial do número n, aoproduto: Propiedades Por definición: 0!=1 Exemplos: Defínense os números combinatorios como o resultado da seguinte serie de operacións: Propiedades Exemplos:

11. A factorial e os números combinatorios resumen o procedemento do triángulo de Tartaglia mediante a expresión: NOTA: BINOMIO DE NEWTON No exemplo empregáronse os resultados: Suma desde k=0 ata n Exemplo:

12. División de Polinomios PaoloRuffini

13. División de polinomios Sexan os polinomios: P(x) Q(x) R(x) C(x) Que deberán cumprir a propiedade fundamental: Efectuando o cociente p(x) entre q(x) teremos un cociente e un resto. P(x)=Q(x)·C(x)+R(x) Ordenamos e completamos os polinomios x3 +0x2- 3x + 2 x2 - 2x Multiplicamos e restamos: -x3 +2x2 x + 2 2x2 – 3x Buscamos o monomio que ao multiplicar polo maior do cociente sexa idéntico ao de maior grao do dividendo -2x2 +4x Multiplicamos e restamos: x

14. Resulta conveniente analizar o caso: x3 +0x2- 3x + 2 2x2 - 2x x3 +0x2- 3x + 2 2 x2 - 2x -x3 +x2 ½ x + ½ O problema reside en atopar o número que multiplicado por 2 dá 1, que non é outro que o seu inverso x2 – 3x -x2 + x -2x Neste outro caso Aplicamos fraccións: x3 +0x2- 3x + 2 2 x2 - 3x -x3 +3/2 x2 ½ x + 3/4 3/2 x2 – 3 x -2/3 x2 – 3/2 x -2x

15. Algoritmo de Ruffini O algoritmo de Ruffiniemprégasena división dun polinomio p(x) entre un polinomio da forma x-a Coeficientes do dividendo an an-1 an-2 a2 a1 ao x - a + + + + + P(x) x-a a aCn-1 aCn-2 aC2 aC1 aC0 R C(x) Cn-1 Cn-2 Cn-3 C1 Co R Resto Coeficientes do cociente

16. Exemplo División dun polinomio p(x) entre un polinomio da forma x-a Coeficientes do dividendo 3 2 -7 1 5 + + + + 2 6 16 18 43 por 3 8 9 19 48 Resto Coeficientes do cociente

17. Teoremas do resto e do factor. Raíces Teorema do resto

18. Teorema do resto O resto da división dun polinomio p(x) entre un polinomio da forma x-a é igual ao valor numérico do polinomio para x=a Noutras palabras APLICACIÓN: Tomando o polinomio anterior: Tomando como divisor: Podemos calcular o resto sen efectuar a división:

19. Teorema do factor Se o valor numérico P(a) para un deteminado número real “a” do polinomio p(x) é nulo, entón x-a é un factor de p(x) Demostración Polo teorema do resto, e polo tanto, se dividimos: Factor 2 Factor 1 Exemplo Factor 1 Factor 2

20. Raíces dun polinomio Raíz de mangle

21. Raíces dun polinomio Chámaseraízdun polinomio p(x) ao número real “r” que anula o polinomio. VOCABULARIO MATEMÁTICO: Anular o polinomio oucalqueraoutra expresión significa facer nulo o seu valor numérico O valor Proposición Se “a” é unha raíz de p(x) entón x-a é un factor de p(x) É raíz do polinomio: Demostración Xa que: Consecuencia Factorizar un polinomio equivale a buscar as raíces do polinomio.

22. Raíces enteiras Para buscar as raíces enteirasdun polinomio comprobamos os valores numéricos do polinomio para os divisores do termo independente: os que o anulen serán raíces, os outros non PROPOSICIÓN: As raíces enteirasdun polinomio son divisores do termo independente. TEOREMA FUNDAMENTAL DO ÁLXEBRA. O número máximo de raíces dun polinomio é igual aoseu grao Divisores e valores numéricos 3 4 2 7 1 A ùnica raíz de p(x) é x =1. Isto non é incompatible co teorema fundamental, xa que este establece unicamente un número máximo de raíces, non o mínimo. Grado do polinomio = nº máximo de raíces

23. Factorización de polinomios

24. Factorización de polinomios A factorización de polinomios consiste en expresar un polinomio arbitrario p(x) como produto de outrosmáis simples, de menor grao. EXEMPLO: Como xa vimos, o polinomio: Pode descompoñerse como produto de dous factores: O polinomio máis simple é o polinomio da forma De maneira que o nosoobxectivo será expresar un polinomio xenérico: Como produto de factores: Factor 1 Factor 2 Esto é, buscamos a igualdade: E sendoneste caso os : ai = raices de p(x) ki = multiplicidade de ai

25. Método a seguir na factorización de polinomios Imosestudar a descomposición dun polinomio nunha indeterminada mediante exemplos. EXEMPLO: RAÍCES ENTEIRAS: Os factores da forma x-a da descomposición dun polinomio p(x) onde a é un número enteiro deben buscarse entre os divisores do termo independente. Divisores do termo independente: Valores numéricos de p(x) Dos valores numéricos temos tres raíces e polo teorema fundamental do álxebra non pode haber máis Outro método consiste en dividir sucesivamente: FACTORES 1 -3 -6 8 (X-1) 1 1 -2 -8 1 -2 -8 0 -2 (X+2) -2 +8 1 -4 0 (X-4) 4 4 1

26. EXEMPLO 2 Tamén pode empregarse a veces, para determinar raíces reais non enteiras, a descomposición da ecuación de segundo grao: Cando o número de raíces enteiras é menor có grao do polinomio: EXEMPLO 3: FACTORES 2 5 4 1 1 -3 0 2 (X+1) -1 -3 -1 -2 -2 1 -2 1 (X+1) 2 3 1 0 1 -2 -2 0 -1 (X+1) -2 -1 E non volve dar exacto con ningún divisor de 2 2 0 1 (2X+1) Usando : Intentamos a descomposición do polinomio de segundo grao: