Das Newton-Verfahren – Vorstellung

1. Das Newton-Verfahren – Vorstellung • Manchmal sind die Funktions-vorschriften zu kompliziert um Nullstellen ausrechnen zu können. • Darum hat Sir Isaac Newton das nach ihm benannte Verfahren entwickelt. • Mit diesem Verfahren kann man mit Hilfe von Tangenten in mehreren Schritten eine Nullstelle finden.

2. y f(x0) x0 x Zur Erinnerung - Tangenten Die Tangente einer Funktion f(x) im Punkt (x0;f(x0)) f(x) Hat die Steigung f ‘(x0) und die Gleichung: Sie nähert die Funktion in einer kleinenUmgebung von x0 gut an.

3. y f(x0) x0 x x* x1 Wie funktioniert das Newton-Verfahren? Wenn die Tangente einer Funktion f(x) im Punkt (x0;f(x0)) die Funktion annährt, f(x) dann nähert natürlich auch die Tangentennullstelle x1 die Nullstelle x* von f(x) an.

4. y f(x0) f(x1) x0 x x* x1 Nun geht es weiter… x1 liegt näher an x* als x0 f(x) daher zeichnen wir nun eine Tangente in (x1 ; f(x1)). Mit der neuen Tangentennullstelle haben wir x* schon fast erreicht…

5. Nun noch ein bisschen Rechnerei… Nullstelle x1der Tangentengleichung: Klammer ausmultilpizieren:

6. Nun noch ein bisschen Rechnerei… Nun nach x1auflösen: Durch Division auf die andere Seite Durch Addition auf die andere Seite f‘(x0) × x1 - f‘(x0) × x0 + f(x0) = 0 - Durch Subtraktion auf die andere Seite

7. fertig Noch etwas vereinfachen… Bruch aufteilen kürzen f‘(x0) × x0 x0 - f(x0) x1 = f‘(x0) f‘(x0)