„Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)

1. „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP) doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

2. Často sa hovorí, že štatistika je “aplikovaný počet pravdepodobnost픊tatistika popisná- vyčerpávajúce skúmanie (veda o štáte, popisná aritmetika) induktívna - výberové skúmanie (štatistické analýzy, výberové vzorky) Most medzi oboma druhmi štatistiky tvoríteória pravdepodobnosti tvorí teoretický základ pre posudzovanie spoľahlivosti a presnosti výberových postupov doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

3. Náhodná veličinaje premenná, ktorá môže nadobúdať rôzne hodnoty, alebo hodnoty z rôznych intervalov v závislosti na náhode. Náhodné veličiny budeme označovať X, a ich konkrétne hodnoty: xj, j=1,2…n Na štatistické znaky môžme pozerať ako na náhodné veličiny………. členenie NV: diskrétne(DNV) -nadobúdajú izolované, väčšinou celočíselné hodnoty, napr. počet narodených chlapcov z 1000 narodených detí, počet chybných výrobkov…. spojité (SNV)-môžu nadobúdať ľubovoľné hodnoty z ohraničeného, alebo neohraničeného intervalu, napr.: hmotnosť, výška človeka, chyby merania,príjem... doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

4. Výberové skúmanie Každá skúška je výberovou analýzou. Z “debny” mozgu sú ťahané “guličky” vedomostí a nevedomostí a z nich sa usudzuje na celkový stav vedomostí v mozgu doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

5. Náhodná veličina je plne popísaná zákonom rozdelenia NV • Zákon rozdelenia NV je pravidlo, ktoré každej hodnote náhodnej veličiny priradí pravdepodobnosť nadobudnutia danej hodnoty (DNV), alebo množine hodnôt z každého intervalu priradí pravdepodobnosť nadobudnutia hodnôt z intervalov (SNV) doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

6. Rozlišujeme 3 zákony rozdelenia NV: • pravdepodobnostná tabuľka xj , pj=P(X= xj ) len pre DNV • distribučná funkcia F(x) = P(X x ) pre DNV, SNV • funkcia hustoty f(x) len pre SNV Poznámka: NV môžme tiež popísať pomocou číselných charakteristík. Najčastejšími sú: E(X)  stredná hodnota a D(X)  rozptyl doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

7. Pravdepodobnostná tabuľka- rad rozdelenia pravdepodobností - popisuje len diskrétnu náhodnú veličinu (DNV) pj = P(X=xj)… analógia relatívnych početností pj = 1 doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

8. Distribučná funkcia F(x) = P(X  x)slúži k popisu diskrétnej (DNV) aj spojitej (SNV) náhodnej veličiny • Pre DNV platí F(x) = P(X x) = pj pre všetky xj  x doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

9. Spojitá náhodná veličina (SNV) Spojitou náhodnou veličinou nazveme X, pre ktorú existuje funkcia f(x) taká, že distribučná funkcia F(x) je rovná Ak má distribučná funkcia F(x) pre všetky x spojitú deriváciu f(x) = F’(x) budeme veličinu X nazývať spojitá NV a funkciu f(x) hustota pravdepodobnosti náhodnej veličiny X v bode x doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

10. F(x) doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

11. doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

12. F(x) pre spojitú náhodnú veličinu Dokresli F(0),F(6) x doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

13. Dokresli do grafu ! doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

14. Vlastnosti distribučnej funkcie SNV: Pre SNV existuje “paradox nulovej pravdepodobnosti” P(X= x) = 0 doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

15. Zhrnutie o F(x) • Každá distribučná funkcia je funkciou neklesajúcou, spojitou zľava a vyhovujúcou podmienkam F(-) = 0 a F() = 1. • Každú funkciu,ktorá spĺňa uvedené podmienky možno pokladať za distribučnú funkciu doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

16. Vlastnosti funkcie hustoty f(x) • f(x) je nezáporná, t.j. f(x) 0, pretože je deriváciou neklesajúcej funkcie (nie je však pravdepodobnosť) doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

17. Základné modely rozdelení NVpoužívané v Štatistike Zaslúži si pozor- nosť • Normálne rozdelenie • Špeciálne rozdelenia: • Studentovo rozdelenie ( t) • CHÍ- kvadrát rozdelenie ( 2 ) • Fisherovo - Snedecorovo rozdelenie (F) doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

18. Normálne rozdelenie“Gaussovo - Laplaceovo” • Riadia sa ním spojité NV, ktoré vznikajú ako dôsledok pôsobenia väčšieho počtu nezávislých, resp. slebo závislých vplyvov, • možno ním aproximovať mnohé rozdelenia, aj rozdelenia DNV • príklady: úrody plodín, chyby merania, doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

19. Gaussovo Normálne rozdelenie doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

20. Quetélet meral obvod hrude 5738 škótskych vojakov doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

21. Funkcia hustoty normálneho rozdelenia Parametre Normálneho rozdelenia:  - stredná hodnota určuje polohu rozdelenia  - smerodajná odchýlka, určuje variabilitu tvaru rozdelenia doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

22. Funkcia hustoty a distribučná funkcia normálneho rozdelenia Distribučná funkcia doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

23. doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

24. Zamyslite sa dôsledne čo hovorí!!! - 68,26% + -2 +2 95,45% +3 -3 99,73% doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

25. Normované normálne rozdelenie( štandardizované ) • X….N(µ,2)   N(0,1) Normálne rozdelenie Normované (existuje nekonečne mnoho normálne normálnych rozdelení) rozdelenie je tabelované! doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

26. Tabelované hodnoty F(u) a f(u) pre N(0,1) F(- u) = 1 - F(u) f(- u) = f(u) -u u doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

27. Využitie rozdelenia N(0,1) • Každé normálne rozdelenie vieme takto transformovať na normované normálne rozdelenie a využívať tabuľkové hodnoty F(u) a f(u). • Príklad:priemerný mesačný nominálny príjem občana SR predstavuje 11tis. Sk a má približne normálne rozdelenie so smerodajnou odchýlkou 6tis. Sk. Koľko percent občanov je pod hranicou priemerného príjmu 5 tis. Sk a koľko nad 17 tis.Sk? Odhadnite koľko percent občanov zarába v priemere viac ako 23tis. Sk. doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

28. CHÍ - kvadrát rozdelenie doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

29. CHÍ - kvadrát rozdelenie 2 (s.v. = 40) 2 (s.v. = 12) P(2 > 2 ) =   2 doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

30. Studentovo rozdelenie (t) t(s.v.= 12) t(s.v.= 40) P(|t| > t (s.v.)) =  t(s.v.) doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

31. Fisherovo F - rozdelenie P(F > F(s.v.1;s.v.2)) =   F(s.v.1;s.v.2 ) doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.

32. Koniec “exkurzie” do teórie pravdepodobnosti doc.Ing. Zlata Sojková, CSc.