Pravděpodobnost a matematická statistika I.

1. Pravděpodobnost a matematická statistika I. • Obsah kurzu: • Kombinatorika • Náhodný jev, operace s náhodnými jevy, klasická, geometrická, axiomatická • definice pravděpodobnosti • Podmíněná pravděpodobnost, nezávislost jevů, úplná pravděpodobnost, • Bayesova věta • Náhodná veličina, rozdělení náhodné veličiny, charakteristiky náhodné veličiny • Příklady diskrétních a spojitých rozdělení • Náhodný výběr, princip statistického testování • 2 testy, t - testy Literatura. Calda E., Dupač V., Matematika pro gymnázia. Kombinatorika, pravděpodobnost, Statistika, Prometheus, 2005 Brousek, J., Ryjáček Z., Sbírka řešených příkladů z počtu pravděpodobnosti, ZČU Plzeň, 1992 Anděl J., Statistické metody, Matfyzpress, Praha 1998 Mrkvička T., Petrášková V., Úvod do teorie pravděpodobnosti, PF JU, České Budějovice, 2008. http://mathonline.fme.vutbr.cz/ http://homen.vsb.cz/~oti73/cdpast1/

2. Organizace kurzu. Účast na přednáškách není povinná, účast na cvičeních je povinná. Pro udělení zápočtu je nutno splnit současně: účast na cvičeních alespoň 50% včetně omluvených absencí a dostatečnou úspěšnost v průběžných testech. Každý test na cvičeních je hodnocen procentem úspěšnosti 0% – 100%. Pro získání zápočtu musí být průměr úspěšností všech krátkých testů na cvičeních alespoň 50%. Pokud student nezíská zápočet, nemůže skládat zkoušku  je hodnocen známkou “4“ (neprospěl) Klasifikace u zkoušky řádný termín: Klasifikace u zkoušky opravné termíny: • body pro klasifikaci jsou tvořeny • 70% za zkouškový test • 30% za procento úspěšnosti na cvičeních • body pro klasifikaci jsou tvořeny • 100% za opravný test • klasifikace: x je dosažené procento úspěšnosti: • x < 55, známka 4 • 55  x < 65, známka 3 • 65 x < 70, známka 2- • 70  x <80, známka 2 • 80  x <90, známka 1- • x  90, známka 1 • klasifikace: (x je dosažené procento úspěšnosti) • x < 55, známka 4 • 55  x < 65, známka 3 • 65 x < 70, známka 2- • 70 x <80, známka 2 • 80 x <90, známka 1- • x  90, známka 1

3. Kombinatorika. • Pravidla pro práci se skupinou: • výběr prvků • organizace podskupin Základní pojmy. Faktoriály a kombinační čísla. , 0 ≤k ≤ n, k  N, n N

4. Pravidla pro počítání s kombinačními čísly. Příklad. Které přirozené číslo k vyhovuje rovnici ? k + 1  2, k  1 k  2 k  2 k = 2, protože k N

5. Variace. Variace k-té třídy z n prvků bez opakování je každá uspořádanák-prvková podmnožina základní množiny M s n prvky. Počet variací k-třídy z n prvků bez opakování: , 0 ≤ k ≤ n, k N, n  N. Příklad. M = {1,2,3}, určete počet dvojic bez opakování,které lze z této množiny vytvořit, pokud záleží na pořadí prvků. V2(3): (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2), tedy můžeme vytvořit 6 variací 2. Třídy z 6 prvků. Příklad. Jsou dány číslice 1, 2, 3, 4, 5, 6. Kolik 3-ciferných čísel z nich lze sestavit, jestliže se číslice neopakují a záleží na pořadí cifer.

6. Variace k-té třídy z n prvků s opakováním je každá uspořádanák-prvková podmnožina základní množiny M s n prvky, v níž se každý prvek může opakovat k krát. Počet variací k-té třídy z n prvků s opakováním: , k N, n N. Příklad. Jsou dány číslice 1, 2, 3, 4, 5, 6. Kolik 3-ciferných čísel z nich lze sestavit, jestliže se číslice mohou opakovat a záleží na pořadí cifer. Kombinace. Kombinace k-té třídy z n prvků bez opakování je každá k-prvková podmnožina základní množiny M s n prvky, v níž nezáleží na pořadí prvků. Počet kombinací k-třídy z n prvků bez opakování: , 0 ≤k ≤ n, k  N, n N

7. Příklad. Kolik 4-tónových akordů lze zahrát z 7 tónů? Kombinace k-té třídy z n prvků s opakováním je každá k-prvková podmnožina základní množiny M s n prvky, v níž nezáleží na pořadí prvků a kde se každý prvek Může opakovat k krát. Počet kombinací k-třídy z n prvků s opakováním: , k  N, n N Příklad. V obchodě mají 3 barvy příze v klubíčcích po 50 g. Potřebuji 500 g příze. Kolika způsoby mohu koupit 500g?

8. Permutace. Permutace bez opakování z n prvků je každé uspořádání n prvkové základní množiny. Příklad. Kolik přesmyček lze vytvořit z písmen m, a, t, e, m, a, t, i, k, a? P(10) = 10! = 3628800 Binomická věta. , a R, b  R, n  N k-tý člen řady:

9. Pascalův trojúhelník. 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

10. Příklad. Který člen rozvoje následujícího výrazu neobsahuje x? , x 0 Pokud výraz neobsahuje x, pak x15-3k= 1, neboli 15 – 3k = 0. Odtud k = 5. Příklad. Určete součet , kde n je libovolné přirozené číslo nebo 0. Jedná se o binomickou větu, kde a = b = 1. Proto = 2n. Důsledek. udává počet všech k-prvkových podmnožin n-prvkové množiny (k = 0 je prázdná množina. Výše odvozený součet udává počet všech podmnožin n-prvkové množiny. n-prvková množina má tedy 2n podmnožin.

11. Cvičení. 1. Jistý muž má 5 kabátů, 4 vesty a 6 kalhot. Kolika různými způsoby se může obléct? 2. Kolik různých hodů lze provést třemi kostkami? 3. Kolik různých šesticiferných čísel můžeme napsat z číslic 1,2,3,4,5,6 má-li se každá vyskytnout v čísle jen jednou? 4. Které přirozené číslo vyhovuje rovnici : 5. Kterým kombinačním číslem je možno vyjádřit součet 6. Zjednodušte: 7. Zvětší-li se počet prvků o 2, zvětší se počet permutací bez opakování dvanáctkrát. Jaký byl původní počet prvků? 8. Kolik různých „slov“ lze vytvořit použitím všech písmen slova automatizace?