INTEGRAL DE RIEMAN

1. INTEGRAL DE RIEMAN Tema 16.2 * 2º BCT Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

2. INTEGRALES DEFINIDAS • INTEGRAL DE RIEMANN • Sea y = f(x) una función continua con valores positivos en un intervalo cerrado [a, b]. Representamos la función. Y ahora queremos hallar el área comprendida entre la función y el eje de las x. Para ello dividimos el intervalo [a, b] en ‘n’ partes iguales. Tenemos así ‘n’ rectángulos. • Sumando las áreas de los rectángulos de menor altura, tendremos una aproximación por defecto del área pedida. Sumando las áreas de los rectángulos de mayor altura tendremos una aproximación por exceso del área pedida. Si la base de dichos rectángulos fuera más pequeña , las sumas por defecto y por exceso se aproximarían. Si el numero de subintervalos fuera infinito, ambas sumas tenderían a coincidir en un valor que sería el área buscada. • La integral definida se puede considerar como la suma de infinitos rectángulos en un intervalo [a, b] cuya base ( de valor ‘p’ ) tiende a cero. O sea como un límite: b • lím SUMA = lím suma = ∫ f(x) dx • p0 p0 a Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

3. Gráfico de Riemann • La zona azul, aunque ahora dividida en dos, vemos que es una aproximación burda por exceso del área pedida. • La zona roja, aunque dividida en dos, vemos que es una aproximación burda por defecto del área pedida. • El área que nos interesa calcular estará comprendida entre ambas. • Para aproximarnos al área pedida tendremos que dividir más las zonas. 0 a b Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

4. La zona azul, aunque ahora dividida en dos, vemos que es una aproximación burda por exceso del área pedida. • La zona roja, aunque dividida en dos, vemos que es una aproximación burda por defecto del área pedida. • El área que nos interesa calcular estará comprendida entre ambas. • Para aproximarnos al área pedida tendremos que dividir más las zonas. 0 a b Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

5. La zona azul, Suma de los rectángulos que se forman con n particiones, es superior al área de la figura. • La zona roja, suma de los rectángulos que se forman con n particiones, es inferior al área de la figura. • Si en lugar de dividir la base en 5 particiciones, fuera en 50, 500, 5000, … la zona azul y roja tenderían a igualarse • b • Lím S = ∫ f(x) dx = Area • p0 a 0 a b Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

6. La zona azul, Suma de los rectángulos que se forman con n particiones, es superior al área de la figura. • La zona roja, suma de los rectángulos que se forman con n particiones, es inferior al área de la figura. • Si en lugar de dividir la base en 5 particiciones, fuera en 50, 500, 5000, … la zona azul y roja tenderían a igualarse • b • Lím S = ∫ f(x) dx = Area • p0 a 0 a b Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

7. Regla de BARROW • Sea f(x) una función continua en un intervalo [a, b] y supongamos obtenida una primitiva y = F(x) de dicha función. El área que alberga y=f(x) con el eje de abscisas y las coordenadas x= a , x=b, es : • Área = F(b) - F(a) • Es decir: • b b • ∫ f(x) dx = F(b) - F(a) = [ F(x) ] • a a • 5 3 4 5 4 4 • Ejemplo: ∫ 4 .x dx = F(5) - F(2) = [ x ] = 5 - 2 = • 2 2 • = 625 - 16 = 609 unidades cuadradas. Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

8. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL D. • 1.- Sea f(x) una función continua en un intervalo [a, b] y a < c < b • Se cumple: • b c b • ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx • a a c • 2.-Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en un intervalo [a, b] • Se cumple: • b b b • ∫ [ f(x) + g(x) ] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx • a a a • 3.- Sea f(x) una función continua en un intervalo [a, b] y ‘k’ un nº real. • Se cumple: • b b • ∫ k. f(x) dx = k . ∫ f(x) dx • a a Matemáticas 2º Bachillerato C.T.