Rozptyl v kvantovej mechanike

1. Rozptyl v kvantovej mechanike

2. Stacionárne stavy bezspinovej častice rozptýlenej na sfericky symetrickom potenciálnom poli vlnová funkcia vlastný stav energie, kvadratu momentu hybnosti a jeho tretej komponenty (B1) Požiadavky na potenciál V(r) spojité spektrum diskrétne spektrum vždy

3. a) Sferický symetrický potenciál konečného dosahu Zaujíma nás iba časť potenciálu, kde V(r) = 0, pre r ≥ a (B2) kde a Rovnica (B2) je prípad rovnice pre sferické Besselove funkcie a riešenie je: (B3)

4. s nasledujúcou asymptotikou a (B3) Poznámka: nl(kr) sa tiež nazýva Neumannova funkcia. Od normalizačných konštánt A a B prejdeme k novým : C a δl : Potom pre riešenie Rel : (B4) hodnotu C dosteneme z normalizácie: Fázové posunutie δlmôžeme získať z podmienky spojitosti logaritmickej derivácie v bode r = a, (t.j. zošívaním s riešením (B1) pre r ≤ a .

5. Obecne platí, že asymptotické chovanie má aj Rel(r), riešenie (B4) pre V(r), ktoré klesajú rychlešie ako 1/r. Pre oblasť r ≤ a rovnicu (B1) treba riešiť konkrétny tvar potenciálu. b) Coulombov potenciál V(r) = γ/r (B5) Tato diferenciálna rovnica 2. rádu má dve linárne nezávislé riešenia pre E > 0. Riešenia fl(γ, kr) a gl(γ, kr) sa lišia asymptotikou (podobneakoBesselova a Neumannova funkcia) : (B6) a

6. (B6) kde σl je tzv. Coulombove fázové posunutie

7. Pre asymptotiku platia vzťahy: c) Superpozícia potenciálu konečného dosahu s Coulombovým potenciálom (B7) kde pre r > a V(r) = 0. Pre r > a rovnica (B7) prejde na (B5). Podmienka V(r) = 0 pre r > a môže byť trochu voľnejšia , dá sa totiž ukázať, že ak V(r) klesá rychlejšie ako 1/r predošlé tvrdenie ostane v platnosti. V asymptote pre r →∞ riešeniš Rel(r) bude kombinácia Neumannových funkcií fl(γ, kr) a gl(γ, kr) viď. (B6) (B8)

8. Asymptotika bude daná: (B9) normalizačná konštanta C je daná: Prítomnosť potenciálu V(r) krátkeho dosahu sa prejaví dotatočným fázovým posunutím δl’ , ktoré sa sčíta s Coulombovým fázovým posunutím.

9. Pružný rozptyl bezspinových častíc Rozptyl zvykneme charakterizovať účinným prierezom, celkovým a diferenciálnym. Diferenciálny účinný prierez rozptylu je definovaný ako pomer počtu častíc, produkovaných za jednotku času do jednotky priestorového uhla dΩ = sinθ dθ dφ k hustote toku dopadajúcich častíc. Počet častíc cez plošku dS je daný ako |j|r2dΩ. diferenciálny účinný prierez vektor hustoty toku rozptylených častíc vektor hustoty toku dopadajúcich častíc Hustota toku v kvantovej mechanike je: μ je hmota častice

10. Schématické znázornenie procesu rozptylu: V prípade rozptyl na vstupe (v počiatočnom stave) máme rovinnú vlnu a ďaleko od centra rozptylu máme rozbiehavú sferickú vlnu. Vlnovú funkciu problemu budeme hľadať v asymptotickom vare ako súčet rovinnej vlny a rozbiehavej sferickej vlny (B10) kde

11. Vektor hustoty toku dopadajúcej vlny je Vektor hustoty toku rozptylenej vlny počítame v sferických súradniciach, kde a

12. Treba si uvedomiť, že v prípade pružného rozptylu: Diferenciálny účinný prierez pružného rozptylu bude (B11) V prípade centrálneho potenciálu vlnová funkcia ψ(r) nezávisí od uhla φ (azimut) a rozloženie podľa Legendrových polynomov je oprávenené (B12) kde uL(r) splňuje Schrödingerovú rovnicu (B13)

13. s hraničnou podmienkou v počiatku: uL(0) = 0 (požadujeme, aby uL(r)/r bolo pre r = 0 konečné.) Rovinnú vlnu (pri voľbe súradnej sústavy k = (0, 0, kz) ) môžeme rozložiť: (B14) Tento rozklad v asymptote dáva (B15) V asymptote prítomnosť člena s potenciálom V(r) sa prejaví vo vlnovej funkcii uL(r→∞) fázovým posuvom δL (podľa výrazu (B4)) (B16)

14. kde δL je fázový posun L-tej parciálnej vlny, CL je parameter a jeho hodnota sa sá určiť z podmienky, aby pre r→∞ výraz (Ψ(r) - exp(ikz)) reprezentoval iba rozbiehavé vlny. (exp(ikz je dopadajúc a rovinná vlna a Ψ(r) - exp(ikz) by mal obsahovať iba rozbeihajúce vlny, ktoré odpovedajú častici po rozptyle):

15. Aby predošlý výraz obsahoval iba rozbiehavú vlnu musí platiť (B17) Podľa (B10) amplitúda a diferenciálny účinný prierez pružného rozptylu (B18)

16. Výpočet výrazu (B18) (Davidov Kvantovaja mechanika p. 509 - 513) Integrál cez polárny a azimutálny uhol dáva celkový účinný prierez procesu Pre integrál Legendrových polynómov cez celý priestorový uhol platí: Poznámka Kroneckerova δLL’ a nie fázové posunutie

17. Potom účinný prierez pružného rozptylu bude: kde σL je parciálny účinný prierez

18. Vráťme sa ešte k výrazu pre amplitúdu rozptylu (B17) Maticové elementy SL jednoznačne určia amplitúdu rozptylu. V prípade pružného rozptylu môžu byť vyjadrené cez reálne fázové posuvy Poznámka: Ak je otvorených viac kanálov reakcie nie len pružný rozptyl, potom tieto kanály sú viazané interakčným potenciálom a miesto jednej rovnice typu (B13) pre uL(r) máme sústavu rovníc pre niekoľko funkcií uL(r). V tomto prípade S matica je už skutočná matica a jej dimenzia je daná počtom otvorených kanálov reakcie. Príkladom takej interakcie je napríklad tenzorová sila, keď potenciál interakcie je necentrálny a dochádza k zmiešavaniu stavov s rôznymi orbitálnymi momentmi.

19. Použitím vzťahu (B15) a definície (B20) prepíšeme asymototický tvar vlnovej funkcie (B17) na tvar (B21) Pokiaľ máme otvorený iba jeden kanál (pružný rozptyl), potom tok pravdepodobnosti zbiehavej vlny a rozbiehavej vlny musí byť rovnaký, čiže (B22) Ak okrem pružného kanálu sú otvorené aj iné, potom časť pravdepodobnosti vnesená do terčíka zbiehavou vlnou pružného kanálu sa premení na rozbiehavé vlny v ostatných otvorených kanaáloch. Z toho dôvodu rozbiehavá vlna v pružnom kanáli bude slabšia a pri uvažovaní aj iných kanálov (okrem pružného) platí (B23)

20. ak si zapíšeme maticový element pružného rozptylu ako kde fázový posun bude komplexný potom platnosť (B23) bude automaticky zabezpečená. Tato skutočnosť súvisí s tým, že keď uvažuje aj iné kanály (pružný + ...) priurčení vlnovej funkcie uL(r) z (B13), bude pre pružný kanál (v rovnici (B13)) prítomný komplexný optický potenciál V(r) a jeho imaginárna časť je zodpovedná za „únik“ pravdepodobnosti z pružného kanálu do ostatných kanálov.