Perspektivna kolineacija u ravnini

1. Perspektivna kolineacija u ravnini Kolineacija u ravnini je transformacija ravnine koja čuva kolinearnost točaka. Ili:Kolineacija u ravnini je bijektivno preslikavanje ravnine na sebe koje preslikava točke u točke, a pravce u pravce, pri čemu je sačuvana incidencijatočke i pravca. (Točka T1 na pravcu p1 preslikava se u točku T2 koja mora ležati na slici p2 pravca p1.) Definicija: Kolineaciju u ravnini u kojoj postoji točno jedan fiksni pravac o, čije se sve točke preslikavaju same u sebe, i točno jedna fiksna točka S  o, koja se preslikava sama u sebe, nazivamo perspektivnom kolineacijom. Fiksni pravac zove se os perspektivne kolineacije, a fiksna točka središte ili centar perspektivne kolineacije. Pravci koji prolaze središtem zovu se zrake perspektivne kolineacije i jedini su pravci (osim osi) koji se preslikavaju sami u sebe. Na njima leže parovi pridruženih točaka.

2. K1 K2 Napomena 1. Osim središta i točaka na osi perspektivne kolineacije nema daljnjih točaka koje se preslikavaju same u sebe. Teorem:Perspektivnakolineacija jednoznačno je određena središtem S, osi o i parom pridruženih točaka A1 i A2. S1 S2 o1 o2 A1 A2 z1= z2 Napomena 2. Os nije jedini pravac, koji se preslikava sam u sebe. Zrake se preslikavaju same u sebe, ali tako da su im fiksne samo dvije točke (središte S i sjecište s osi).

3. B2 q1 K1=K2 B1 q2 Traži se točka B1 kao perspektivno kolinearna slika točke B2. Preslikavanje točke perspektivnom kolineacijom Pri konstrukciji se koriste sljedeća svojstva perspektivne kolineacije: - parovi pridruženih točaka leže na zrakama perspektivne kolineacije, - parovi pridruženih pravaca sijeku se na osi perspektivne kolineacije. S A1 o A2 z

4. Preslikavanje pravca perspektivnom kolineacijom B1 p1 B2 p2 • Pravac preslikavamo pomoću bilo koje njegove točke. • Sjecište s osi perspektivne kolineacije je fiksna točka. Konstruirati p2 ako je zadan p1. S A1 A2 o

5. P2 B1  P1 p1 Q1 i B2 n Q2  Q2  Traži se slika beskonačno daleke točke pravca p1. Slike svih točaka beskonačno dalekog pravca ravnine leže na nedoglednom pravcu n. Pravac koji se preslikava u beskonačno daleki pravac ravnine zove se izbježni pravac i. S A1 A2 p2 o

6. C1 B1 B2 C2 S Preslikavanje trokuta perspektivnom kolineacijom o A1 A2

7. D1 C1 D2 B1 C2 B2 Preslikavanje trokuta perspektivnom kolineacijom S A1 o A2 Trokut B1C1D1 povezan je preko beskonačnosti.

8. B2 C2 A2 D2 A1 B1 D1 C2 Preslikavanje četverokuta perspektivnom kolineacijom S X2 X1 o Zaključak: perspektivno kolinearna slika paralelograma nije paralelogram jer preslikavanje ne čuva paralelnost.

9. Preslikavanje krivulja perspektivnom kolineacijom Budući da se perspektivnom kolineacijom beskonačno daleke točke općenito preslikavaju u konačne, te neke konačne točke u beskonačne (nedogledni i izbježni pravac) krivulja drugog reda preslikava se u bilo koju drugu krivulju drugog reda. Za razumijevanje treba znati klasifikaciju konika u odnosu na vrste sjecišta s beskonačno dalekim pravcem ravnine. Pri tome je značajan položaj krivulje koju preslikavamo prema izbježnom pravcu. Ovisno o tome siječe li zadana konika izbježni pravac u paru realnih ili konjugirano imaginarnih točaka, ili ga dodiruje, slika te konike bit će hiperbola, elipsa ili parabola.

10. Definicija:Afinost je perspektivnakolineacija kojoj je os u konačnosti, a središte u beskonačnosti. • zrake afinosti su paralelni pravci • g je zrakasvake afinosti  Teorem: Afinost u ravnini jednoznačno je određena s osi i parom pridruženih točaka. • Svojstva: • čuva paralelnost • čuva djelišni omjer A1 o A2 z

11. M1 M2 p2 Preslikavanje pravca pomoću afinosti p1 A1 o A2

12. C2 B2 A2 B1 A1 C1 Preslikavanje trokuta pomoću afinosti X1 o X2 Parovi afino pridruženih stranica sijeku se na osi afinosti!

13. C2 A1 D1 B2 D2 B1 C1 A2 Preslikavanje paralelograma pomoću afinosti o X1 X2 Afina slika paralelograma je paralelogram. Zašto?

14. Preslikavanje krivulja afinošću Budući da se afinošću u ravnini točke u konačnosti preslikavaju u točke u konačnosti, a beskonačno daleke točke u beskonačno daleke, slijedi da se elipse preslikavaju u elipse (ili kružnice), hiperbole u hiperbole, a parabole u parabole. • Iz svojstava perspektivne afinosti slijedi: • promjer konike preslikava se u promjer pridružene konike • konjugirani promjeri konike preslikavaju se u konjugirane promjere pridružene konike.