Zadatak: Ravnalice konoida 4. reda su: k - kružnica u ravnini P 1

1. Zadatak: Ravnalice konoida 4. reda su: k - kružnica u ravnini P1 d1 - pravac paralelan s osi x d2 - beskonačno daleki pravac ravnine P2. . Konstruirajte dirnu ravninu konoida u njegovoj točki T koja leži na izvodnici i.

2. Zadatak: Ravnalice konoida 4. reda su: k - kružnica u ravnini P1 d1 - pravac paralelan s osi x d2 - beskonačno daleki pravac ravnine P2. . Konstruirajte dirnu ravninu konoida u njegovoj točki T koja leži na izvodnici i. Rješenje: 1. Točke konoida koje leže na izvodnici i čine niz (i). Dirne ravnine konoida u tim točkama čine pramen ravnina[ i ]. Niz (i) i pramen [i] projektivnosu pridruženi. Taj ćemo projektivitet koristiti za konstrukciju prvog traga dirne ravnine u točki T. Naime, prostorno projektivno pridruženje između niza točaka (i) i pramena ravnina [ i ] ima za posljedicu projektivno pridruženje između projekcije niza točaka (i) i pramena pravaca što ga čine projekcije prvih tragova dirnih ravnina, u ovom slučaju pramen pravaca (A) u ravnini crteža. Uočimo točke A, B i C koje su sjecišta izvodnice i s ravnalicama konoida. Konstruiramo li tragove dirnih ravnina u tim točkama imati ćemo tri para pridruženih elemenata projektivnog pridruženja između niza (i) i pramena (A) (čime je projektivitet jednoznačno određen) pa ćemo pomoću projektivnog nadopunjavanja moći konstruirati i trag dirne ravnine u bilo kojoj točki konoida koja leži na izvodnici i.

3. Zadatak: Ravnalice konoida 4. reda su: k - kružnica u ravnini P1 d1 - pravac paralelan s osi x d2 - beskonačno daleki pravac ravnine P2. . Konstruirajte dirnu ravninu konoida u njegovoj točki T koja leži na izvodnici i. Rješenje: 2. Dirna ravnina u točki A određena je izvodnicom i i tangentom t na kružnicu k u točki A. U ovom je slučaju tangenta t ujedno i prvi trag dirne ravnine konoida u točki A.

4. Zadatak: Ravnalice konoida 4. reda su: k - kružnica u ravnini P1 d1 - pravac paralelan s osi x d2 - beskonačno daleki pravac ravnine P2. . Konstruirajte dirnu ravninu konoida u njegovoj točki T koja leži na izvodnici i. Rješenje: 3. Dirna ravnina u točki B određena je izvodnicom i i ravnalicom d1. Prvi trag te dirne ravnine paralelan je s osi x i prolazi točkom A koja je prvo probodište izvodnice i.

5. Zadatak: Ravnalice konoida 4. reda su: k - kružnica u ravnini P1 d1 - pravac paralelan s osi x d2 - beskonačno daleki pravac ravnine P2. . Konstruirajte dirnu ravninu konoida u njegovoj točki T koja leži na izvodnici i. Rješenje: 4. Dirna ravnina u beskonačno dalekoj točki C određena je izvodnicom i i beskonačno dalekom ravnalicom d2 tj. ta je ravnina paralelna s ravninom P2. Prvi trag te ravnine paralelan je s osi y i prolazi točkom A koja je prvo probodište izvodnice i.

6. Zadatak: Ravnalice konoida 4. reda su: k - kružnica u ravnini P1 d1 - pravac paralelan s osi x d2 - beskonačno daleki pravac ravnine P2. Konstruirajte dirnu ravninu konoida u njegovoj točki T koja leži na izvodnici i. Rješenje: 5. Promatramo projektivno pridruženje između niza točaka (i) i pramena prvih tragova (A). Budući da imamo tri para pridruženih elemenata (A,B,C)(a1,b1,c1) taj je projektivitet jednoznačno određen pa ćemo pomoću projektivnog nadopunjavanja moći odrediti prvi trag dirne ravnine konoida u točki T.

7. Zadatak: Ravnalice konoida 4. reda su: k - kružnica u ravnini P1 d1 - pravac paralelan s osi x d2 - beskonačno daleki pravac ravnine P2. Konstruirajte dirnu ravninu konoida u njegovoj točki T koja leži na izvodnici i. Rješenje: 6. Na pravcu a1 koji je projektivno pridružen točki A (koja je ujedno i vrh pramena prvih tragova) odaberemo bilo koju točku S. Formiramo pramen (S) tako da točke niza (i) spojimo s vrhom S. Tako nastaje pramen pravaca a2, b2, c2,.... Pramenovi (A) i (S) perspektivno su pridruženi (spojnica vrhova pramenova pridružena je sama sebi) pa imaju os perspektiviteta tj. pravac na kojem se sijeku parovi pridruženih zraka.

8. Zadatak: Ravnalice konoida 4. reda su: k - kružnica u ravnini P1 d1 - pravac paralelan s osi x d2 - beskonačno daleki pravac ravnine P2. Konstruirajte dirnu ravninu konoida u njegovoj točki T koja leži na izvodnici i. Rješenje: 7. Spojnica točaka S i T je pravac t2 koji se s pravcem t1 (prvim tragom dirne ravnine konoida u točki T) siječe na osi perspektiviteta.

9. Zadatak: Ravnalice konoida 4. reda su: k - kružnica u ravnini P1 d1 - pravac paralelan s osi x d2 - beskonačno daleki pravac ravnine P2. Konstruirajte dirnu ravninu konoida u njegovoj točki T koja leži na izvodnici i. Rješenje: 8. Dirna ravnina konoida u točki T siječe konoid po izvodnici i i krivulji 3. reda koja u točki T ima infleksiju.