REGULÁ RNE JAZYKY

1. REGULÁRNE JAZYKY

2. Špecifikácia • Generatívne - Regulárnymi gramatikami • Akceptačne - Konečnými automatmi

3. Konečný automat df Konečným automatom (KA) M budeme nazývať päticu M = (Q, T, , q0, F) Kde Q je konečná množina (vnútorných) stavov automatu M T konečná množina (prípustných) vstupných symbolov q0 je začiatočný stav automatu, q0  Q F je množina koncových stavov, F  Q  je prechodové zobrazenie, pričom  : Q x T  Q – pre deterministický KA  : Q x T  2Q – pre nedeterministický KA Poznámka: 2Q je potenčná množina (množina všetkých podmnožín)

4. Konfigurácia automatu df Nech M = (Q, T, , q0, F) je KA. Potom dvojicu (q, w)  Q x T* nazývame konfiguráciou KA M. Začiatočná konfigurácia: (q0 , w), kde w je vstupný reťazec Koncová konfigurácia: (qf , e) kde qf  F je koncový stav.

5. Relácia prechodu df Nech M = (Q, T, , q0, F) je KA. Potom nad množinou konfigurácií Q x T* definujeme reláciu prechodu  nasledujúcim spôsobom: Ak q  Q , p Q, w  T* , a  T Potom ( q , aw)  (p, w) práve vtedy ak  (q, a) = p - pre deterministický KA (DKA)  (q, a) obsahuje p - pre nedetrministický KA Analogický ako pre deriváciu možno definovať stupeň a uzávery relácie prechodu n , * , +

6. Akceptácia reťazca, špecifikácia jazyka konečným automatom Nech M = (Q, T, , q0, F) je KA. Potom hovoríme, že KA M akceptuje / prijíma reťazec w  T* , ak platí (q0 , w) * (qf , e) pre nejaké q  F Jazyk L(M) špecifikovaný automatom M je množina reťazcov, ktoré KA M akceptuje. Formálne L(M) = {w / (q0 , w) * (qf , e), w  T*, qf  F }

7. Príklad Daný je KA M = ({q0, q1 , q2 , q3}, {0, 1 },  , q0, {q0 }) : (q0 , 0) = q2 (q0 , 1) = q1 (q1 , 0) = q3 (q1 , 1) = q0 (q2 , 0) = q0 (q2 , 1) = q3 (q3 , 0) = q1 (q3 , 1) = q2 Potom prijatie reťazca 10101010 sa uskutočňuje nasledujúcim spôsobom:

8. (q0 , 0) = q2 (q0 , 1) = q1(q1 , 0) = q3 (q1 , 1) = q0(q2 , 0) = q0 (q2 , 1) = q3(q3 , 0) = q1 (q3 , 1) = q2 (q0 , 10101010) (q1 , 0101010) (q3 , 101010) (q2 , 01010) (q0 , 1010) (q1 , 010) (q3 , 10) (q2 , 0) (q0 , e)

9. Zastavenie v nekoncovej konfigurácii Automat sa môže dostať do stavu, že z danej konfigurácie nie je definovaný prechod. Hovoríme, že automat zastavil neštandardným spôsobom. Dôsledok: analyzovaný reťazec nie je akceptovaný a teda nepatrí do daného jazyka

10. Príklad Skúsme predložiť automatu z predchádzajúceho príkladu vstupné reťazce 101010 a 1012 Akceptácia prvého reťazca je nasledujúca:

11. (q0 , 0) = q2 (q0 , 1) = q1(q1 , 0) = q3 (q1 , 1) = q0(q2 , 0) = q0 (q2 , 1) = q3(q3 , 0) = q1 (q3 , 1) = q2 (q0 , 101010) (q1 , 01010) (q3 , 1010) (q2 , 010) (q0 , 10) (q1 , 0) (q3 , e) Vstup je prázdny, ale pre danú konfiguráciu, ktorá nie je koncová, neexistuje prechod, preto reťazec 101010 nepatrí do jazyka L(M).

12. (q0 , 0) = q2 (q0 , 1) = q1(q1 , 0) = q3 (q1 , 1) = q0(q2 , 0) = q0 (q2 , 1) = q3(q3 , 0) = q1 (q3 , 1) = q2 Druhý reťazec už na prvý pohľad nepatrí do jazyka L(M), pretože nie je z T* (obsahuje symbol 2). Priebeh akceptácie: (q0 , 1012) (q1 , 012) (q3 , 12) (q2 , 2)Ďalší prechod nie je definovaný.

13. Reprezentácia prechodového zobrazenia Na reprezentácie prechodového zobrazenia používame najčastejšie Prechodovú tabuľku, Stavový diagram.

14. Prechodová tabuľka Prechodová tabuľka P pre prechodové zobrazenie , množinu stavov Q Q = {q0 ,q1 , … , qn}, množinu vstupných symbolov T T = {t0 , t1 , … , tm}, je tabuľka s n riadkami a m stľpcam a prvky zodpovedajú prechodovému zobrazeniu , teda P[i, j] =  (qi, tj ) Poznámka: v prípade nedeterministického KA sú prvkami tabuľky množiny

15. Stavový diagram Stavový diagram je orientovaný graf, v ktorom vrcholy sú ohodnotené stavmi automatu, hrany symbolmi vstupnej abecedy tak, že ak  (q, t) = p Potom existuje orientovaná hrana medzi q a p, ktorá je ohodnotená symbolom t. Začiatočný a koncový stav / vrchol je označený špeciálnym spôsobom – začiatočný zvyčajne ako ŠTART, koncový dvojitým krúžkom. Činnosť – akceptácia – prechádzanie diagramom po orientovaných hranách na základe prechodového zobrazenia.

16. Príklad - tabuľka Majme znova automat z predchádzajúceho príkladu. Potom reprezentácia prechodovou tabuľkou je nasledujúca: Pôvodné zobrazenie: (q0 , 0) = q2 (q0 , 1) = q1(q1 , 0) = q3 (q1 , 1) = q0(q2 , 0) = q0 (q2 , 1) = q3(q3 , 0) = q1 (q3 , 1) = q2

17. Príklad – diagram Majme znova automat z predchádzajúceho príkladu. Potom reprezentácia stavovým diagramom je nasledujúca:

18. (q0 , 0) = q2 (q0 , 1) = q1(q1 , 0) = q3 (q1 , 1) = q0(q2 , 0) = q0 (q2 , 1) = q3(q3 , 0) = q1 (q3 , 1) = q2 Stavový diagram 1 q1 q0 1 0 0 0 0 1 q2 q3 1

19. Príklad NDKA Daný je KA M M = ( {q0 ,q1 ,qf}, {+, -, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9},  , {qf} )  :

20. Stavový diagram ŠTART qf 0 | 1 | … | 9 0 | 1 | … | 9 0 | 1 | … | 9 0 | 1 | … | 9 q1 q0 + | -

21. Poznámky Predchádzajúci KA • je nedeterministický • Rozpoznáva celé čísla so znamienkom a nevýznamnými nulami zľava

22. Vzťah DKA a NDKA Ak L je množina slov akceptovaná nejakým NDKA, potom existuje DKA, ktorý akceptuje práve množinu L.

23. Vlastnosti KA Množina slov prijatých KA s n stavmi je: • Neprázdna vtedy a len vtedy, ak KA prijme slovo dĺžky menšej ako n, • Nekonečná vtedy a len vtedy, ak KA prijme slovo dĺžky d, pre ktoré platí n  d  2n Nech L je regulárny jazyk. Potom existuje taká konštanta p, že pre w  L a |w|  p možno w písať v tvare w = w1w2w3, kde 1 |w2| p a w1w2iw3  L pre všetky i  0.

24. Vzťah KA a RG Nech G = (N, T, P, S) je RG. Potom existuje KA M = (Q, T, , q0, F) taký, že L(M) = L(G) Konštrukcia: Q = N  {A}, pričom A  N T = T q0 = S F = {S, A} ak S  e  P ; inak F = { A }  : pre všetky a  T, B  N, C  N platí: ak B  a  P tak A   (B, a) ak B  aC  P tak C   (B, a)  (A, a) = ø Poznámka: uvedená vlastnosť platí aj obrátene.

25. Príklad Majme RG G = ({C, D}, {+, -, 0, 1, … , 9}, P, C) kde P: C | +D |-D | 0 | 1 | … | 9 | 0D | … | 9D D  0 | 1 | … | 9 | 0D | … | 9D Skonštruujeme teraz ekvivalentný KA M = (Q, T, , q0, F) , taký, že L(M) = L(G) Q = N  {A} = {A, C, D} T zostáva z G q0 = C F = { A }

26. C | +D |-D | 0 | 1 | … | 9 | 0D | … | 9DD  0 | 1 | … | 9 | 0D | … | 9D  :  ( D, x ) = { A } kde x = 0 | 1 | … | 9 - prvá časť pravidla  ( D, x ) = { D } kde x = 0 | 1 | … | 9 - druhá časť pravidla Teda  ( D, x ) = { A, D }  ( C, x ) = { D }kde x = + | - | 0 | 1 | … | 9  ( C, x ) = { A }kde x = 0 | 1 | … | 9 Teda  ( C, x ) = { A, D }

27. Stavový diagram  :  ( C, x ) = { D }kde x = + | - | 0 | 1 | … | 9  ( C, x ) = { A }kde x = 0 | 1 | … | 9  ( D, x ) = { A } kde x = 0 | 1 | … | 9  ( D, x ) = { D } kde x = 0 | 1 | … | 9 0 | 1 | … | 9 ŠTART 0 | 1 | … | 9 + | - | 0 | 1 | … | 9 D A C 0 | 1 | … | 9

28. Regulárne množiny a regulárne výrazy • Regulárne množiny a regulárne výrazy sú ďalším špecifikačným prostriedkom regulárnych jazykov

29. Regulárne množiny • Nech T je konečná abeceda. Potom regulárnou množinou (RM) nad T rozumieme množinu definovanú nasledujúcim spôsobom: • 1. Ø je RM nad T • 2. { e } kde e je prázdny reťazec, je RM nad T • 3. { t } kde t  T je RM nad T • 4. Ak A, B sú RM nad T, potom RM nad sú aj množiny • A  B • AB • A* • 5. RM nad T sú iba množiny definované podľa krokov 1– 4.

30. Regulárne výrazy • Regulárne výrazy (RV) používame naoznačenie regulárnych množín a sú definované takto: • 1. Ø je RV a označuje RM Ø • 2. e je RV a označuje RM { e } • 3. t  T je RV a označuje RM { t } • 4. Ak a, b sú RV označujúce RM A, B , potom • (a + b) je RV a označuje RM A  B • (ab) je RV a označuje RM AB • (a)* je RV a označuje RM A* • 5. RV je iba výraz vytvorený podľa krokov 1.– 4.

32. OK