Trabajo de Grado Optimización de Funciones utilizando Múltiples Modelos Sustitutos

1. Trabajo de Grado Optimización de Funciones utilizando Múltiples Modelos Sustitutos Universidad del Zulia Facultad de Ingeniería División de Postgrado Maestría en Computación Aplicada presentado ante la Ilustre Universidad del Zulia para optar al Grado Académico de MAGISTER SCIENTIARUM EN COMPUTACIÓN APLICADA Lic. Daniel Ernesto Finol González C.I.: 13.081.834 Maracaibo, 26 de Mayo de 2006

2. Justificación del Estudio Hipótesis de la Investigación Revisión de la Literatura Objetivos Alcance y delimitación Planteamiento del Problema Modelos Sustitutos Optimización Global Lipschitziana Metodología de solución Caso de Estudio Resultados Conclusiones Contenido

3. En distintas industrias frecuentemente se hace necesario optimizar funciones desconocidas. Esto se realiza mediante la evaluación de la función objetivo en distintos puntos. Para realizar esta optimización se requieren muchas evaluaciones. Pero las funciones son usualmente costosas de evaluar. Por lo que se debe construir un modelo que aproxime la función y realizar la optimización sobre él. Justificación del Estudio

4. Hipótesis de la Investigación • La hipótesis de la presente investigación es que para tales problemas usar más de un modelo sustituto es un método eficaz de optimización global.

5. Justificación del Estudio Revisión de la Literatura Objetivos Modelos Sustitutos Optimización Global Lipschitziana Metodología de solución Caso de Estudio Resultados Conclusiones Recomendaciones Contenido

6. Objetivo General Objetivos • Evaluar el desempeño relativo de una metodología de optimización global de funciones costosas basada en el uso de múltiples modelos sustitutos.

7. Objetivos Objetivos específicos ØProbar los algoritmos para la construcción de los modelos sustitutos considerados. ØConstruir los modelos sustitutos correspondientes a los casos de estudio ØOptimizar / analizar la varianza de los estimadores asociados con cada uno de los modelos sustitutos considerados. ØAnalizar y discutir los resultados.

8. Justificación del Estudio Revisión de la Literatura Objetivos Planteamiento del Problema Modelos Sustitutos Optimización Global Lipschitziana Metodología de solución Caso de Estudio Resultados Conclusiones Contenido

9. Se seleccionaron seis casos de estudio. Éstos se distinguen por tres características: Alta o baja no–linealidad. Alta o baja dimensionalidad. Ruido aleatorio presente o no. Casos de Estudio

10. Caso de Estudio 1 (P1) Dimens: 10 No–Lin: Alta

11. Caso de Estudio 2 (P5) Dimens: 16 No–Lin: Baja

12. Caso de Estudio 3 (P6) Dimens: 2 No–Lin: Alta

13. Caso de Estudio 4 (P7) Dimens: 2 No–Lin: Alta

14. Caso de Estudio 5 (P12) Dimens: 2 No–Lin: Baja

15. Caso de Estudio 6 (P13) Dimens: 2 No–Lin: Baja Con Ruido

16. Diseño del Experimento y Muestreo ==> Conjunto de datos iniciales. Ajuste RBF; PRE y KRI ==> 3 Modelos. Obtener medida de incertidumbre para c/u ==> Medidas de Incertidumbre. Realizar “Model Averaging” ==> 4to Modelo (suma ponderada). Optimizar c/u de los 4 modelos ==> 4 soluciones (Direct). Comparar y analizar. Metodología

17. En el primer paso se obtiene el conjunto de puntos iniciales o muestra (para cada problema y tamaño de muestra) mediante el método del hipercubo latino. Diseño del Experimento y Muestreo

18. Modelos Sustitutos • Los modelos construidos a partir de la muestra fueron: • Kriging (KRI). • Regresión Polinómica (PRE). • Funciones de Base Radial (RBF). • Cada uno de ellos es un caso especial de:

19. En nuestra versión de Kriging p = 1 y f(x) = 1. Lo cual hace β = μ. Y el modelo queda: μ + ε(x) con donde ; Y es el valor de la función en cada punto de la muestra. R es la matriz de correlación entre los puntos de la muestra y r(x) es el vector de correlación entre cada punto de la muestra y x. Kriging

20. R y r(x) se estiman mediante modelos de la forma: Donde cada Cjes una función parametrizada decreciente de la distancia entre los puntos. Los Cj usados fueron: exponencial generalizada, gaussiana, spline y esférica. Kriging

21. Regresión Polinómica • Este es una caso especial de la regresión lineal. • ε(x) se asume que es cero. • Cada fi(x) es una de las siguientes: • La constante 1. • La función identidad de una de las variables. • El producto de dos variables. • El cuadrado de alguna variable.

22. Funciones de Base Radial • En este caso también se asume ε(x) como cero. • Las fi(x) son funciones gausianas o multicuádricas con centro en algún punto de la muestra. • Además una fi(x) puede ser constante. • Potencialmente a todo punto de la muestre le puede corresponder una función; pero se seleccionan con el método de forward selection. • El radio de cada función se escoge entre distintas opciones según una medida de error.

23. Kriging: PRE y RBF: RBF: Medidas de Incertidumbre

24. Modelo Suma Ponderada

37. Resumen de Resultados

38. Resumen de Resultados

39. Resumen de Resultados

41. Metodología de Solución La metodología propuesta involucra los siguientes pasos:

42. Justificación del Estudio Revisión de la Literatura Objetivos Alcance y delimitación Planteamiento del Problema Fundamentos de ASP Simulación de ASP Modelos Sustitutos Optimización Global Lipschitziana Metodología de solución Caso de Estudio Resultados Conclusiones Contenido

43. Justificación del Estudio Revisión de la Literatura Objetivos Alcance y delimitación Planteamiento del Problema Fundamentos de ASP Simulación de ASP Modelos Sustitutos Optimización Global Lipschitziana Metodología de solución Caso de Estudio Resultados Conclusiones Contenido

44. Se generó una muestra de 88 conjuntos de valores en el espacio de diseño de 4 dimensiones usando un diseño de experimentos basado en Hipercubo Latino Luego, se calculó la producción acumulada de petróleo para cada uno de los conjuntos citados Entre estos pares de entrada y salida: Máximo COP = 33.58% POES (132,784 bbl) Promedio COP = 24.27% POES (95,970 bbl) Mínimo COP = 18.06% POES (71,414 bbl) Resultados

45. Resultados Caso de Estudio No. 1

46. La optimización con el modelo KRG resultó en el mayor valor de la función objetivo, el cual fue 34.86 %POES (137,846 bbl), un 3.81% mayor que el máximo valor de la muestra. Este punto tiene valores máximos de concentración de polímero La solución óptima obtenida con el modelo PPA es aproximadamente igual a la del modelo KRG, esto se debe a que el modelo KRG tiene la menor varianza de estimación por lo tanto su peso es mayor Resultados

47. El menor valor de la función objetivo corresponde al modelo PRG, que a pesar de presentar valores máximos de concentración de polímero y tiempo de inyección, el efecto de una concentración baja de surfactante y álcali se manifiesta como una menor producción acumulada de petróleo Con el modelo RBF se obtiene un producción acumulada de petróleo intermedia entre la de los modelos anteriores, debido a la menor concentración de polímero en la solución de ASP Estos resultados manifiestan la importancia de inyectar suficiente álcali y surfactante para lograr una disminución de la tensión interfacial que movilice el petróleo, y suficiente polímero para lograr una buena relación de movilidad que incremente la eficiencia de barrido volumétrico Resultados

48. Resultados Caso de Estudio No. 2

49. La optimización con el modelo PRG resultó en el mayor valor de la función objetivo (mejor solución encontrada) el cual fue 35.69 % POES (141,128 bbl), 6.28% mayor que el máximo valor de la muestra. Este punto tiene valores máximos de concentración de surfactante y polímero y tiempo de inyección Por otra parte, la solución encontrada usando el modelo PPA representa una disminución del 1.77 % con respecto a la mejor solución encontrada, pero con una disminución de 48 %, y 13.19 % en los valores de concentración de surfactante y tiempo de inyección, respectivamente, lo que resulta en menores costos Resultados

50. Note que bajo diferentes condiciones distintos modelos ofrecieron las mejores soluciones y, que del análisis de las múltiples soluciones obtenidas fue posible identificar alternativas de menor costo Los valores considerados como óptimos en los Casos 1 y 2 difieren en un 0.57 %, y los valores de las variables de diseño correspondientes son prácticamente iguales, lo que indica que usar un conjunto de data relativamente pequeño para la construcción de los modelos sustitutos puede no afectar la ubicación de la solución óptima global Resultados