FONCTIONS EXPONENTIELLES

FONCTIONS EXPONENTIELLES EN TERMINALE ST2S auteur : Philippe Angot (version adaptée)

DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES I - INTRODUCTION

DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Certains problèmes, liés aux suites géométriques, ne peuvent pas être résolus à l’aide des suites géométriques …..

DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Par exemple: La population d’un village diminue de 5% par an. Un agent de recensement passé dans le village le 15 janvier 2003 a compté 5230 habitants. Combien comptera-t-il d’habitants lorsqu’il repassera le 15 juin 2005 ? On a placé le 1er janvier 2005 la somme de 1000 € sur un livret rapportant 3,5% d’intérêts (composés) par an. De quelle somme pourra-t-on disposer le 1er mars 2008 ?

DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Une interpolation linéaire est possible, mais elle donne dans la plupart des cas une approximation trop éloignée du résultat exact.

DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Ici la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1,5 En noir: les points représentant les valeurs exactes des termes de la suite. L’erreur commise devient rapidement importante En rouge : les points représentant les valeurs des termes de d’indices impairs calculés par interpolation linéaire à partir des termes de rangs pairs qui l’encadrent. 1 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES II – CONSTRUCTION D’UNE FONCTION EXPONENTIELLE

DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Les fonctions exponentielles sont présentées comme le prolongement des suites géométriques de premier terme 1 et de raison q strictement positive La démarche est expérimentale. Elle consiste à compléter le nuage de points représentant les puissances entières d’un réel strictement positif q

Théorème 1: Trois réels a, b et c sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite arithmétique si et seulement si b est la moyenne arithmétiquede a et de c (c’est-à-dire ) DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES L’algorithme de construction des points est basé sur le principe de dichotomie. Il s’appuie sur les deux résultats suivants :

Théorème 2: Trois réels a, b et c sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite géométrique si et seulement si b est la moyenne géométriquede a et de c (c’est-à-dire ) DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES L’algorithme de construction des points est basé sur le principe de dichotomie. Il s’appuie sur les deux résultats suivants :

DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Illustration: Considérons 3 points « consécutifs » de la représentation graphique d’une suite géométrique: Le point « du milieu » admet : -pour abscisse, la moyenne arithmétique des abscisses des deux points qui l’entourent -pour ordonnée, la moyenne géométrique des ordonnées des deux points qui l’entourent

Exemple: Construction de la fonction à partir de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1,5 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Outils: tableur et grapheur

DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES 1ère étape: Points à abscisses entières 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 -1

2ème étape: Points à abscisses de la forme DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES

DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES 2ème étape: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 -1

3ème étape: Points à abscisses de la forme et DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES

DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES 3ème étape: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 -1

Sachant que , on peut compléter le graphique en partant de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison . DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES On utilise le même processus dichotomique pour obtenir un nombre croissant de points

DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES On peut répéter le processus« à l’infini » pour obtenir un nombre de plus en plus important de points 8 7 6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5

DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES On peut répéter le processus« à l’infini » pour obtenir un nombre de plus en plus important de points

C’est la fonction ou fonction exponentielle de base 1,5 DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Cet ensemble de points suggère la courbe d’une fonction. On admet que cette fonction existe et est unique

DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES III – PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS EXPONENTIELLES

Pour tout réel q strictement positif, la fonction exponentielle de base q est la fonction • Les fonctions sont définies et dérivables sur R. • Pour tout réel x, est strictement positif . • Pour tous réels x et y, • Pour tout réel x, DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Les propriétés suivantes sont admises :

L’expression de la dérivée des fonctions exponentielles, l’allure des courbes ainsi que leur comportement à l’infini ne font pas partie des objectifs du programme. On constatera le sens de variation à partir d’études expérimentales. L’étude du cas q = e n’est pas au programme. DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLES Remarques:

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