Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum

Bakterien und exponentielles Wachstum Quellen: www.bakterien.org und http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Bacillus_subtilis.jpg gefunden am 03.01.2006 Modellierung von Wachstumsprozessen

Bakterien und exponentielles Wachstum Wir betrachten eine Bakterienkultur. Ihr Wachstum (das aufgrund von Zellteilung zustande kommt) sei durch folgende drei Eigenschaften charakterisiert: • In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um denselben Faktor. • Zu Beginn besteht die Kultur aus 1000 Bakterien. • Während jeder Stunde verdoppelt sich die Zahl der Bakterien.

Wachstum von Bakterienkulturen • In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um denselben Faktor. • Zu Beginn besteht die Kultur aus 1000 Bakterien. • Während jeder Stunde verdoppelt sich die Zahl der Bakterien. Wie viele Bakterienkulturen gibt es nach 1, 2, 4 und nach 6 Stunden? TOP:Wie viele Bakterienkulturen gibt es nach 12 Stunden, wie viele nach t Stunden?

Exponentielles Wachstum Bakterienkulturen x bezeichnet die Stunden, f(x) die Anzahl der Bakterienkulturen

Mathematischer Hintergrund „Vokabeln“ Eine Potenz ist ein Term der Form bcBedeutung: b wird c-mal mit sich selbst multipliziert. Beispiel: 35 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 Spezialfall: 30 = 1 b wird Basis genannt.c wird Exponent genannt. Potenz-Rechenregeln s. Formelsammlung Weil wir den Exponenten verändern, schreiben wir im Folgenden bx.

Exponentielles Wachstum Bakterienkulturen x bezeichnet die Stunden, f(x) die Anzahl der Bakterienkulturen

Vergleich von linearem Wachstum und exponentiellem Wachstum

Lineares Wachstum: f(x) = 0,5x + 2 Quelle: Schmid, A./ Weidig, I. (1996). Lambacher Schweizer 10. Stuttgart: Klett, S.60

Exponentielles Wachstum f(x) = 2x 2x

Lineares Wachstum: f(x) = 0,5x +2 Exponentielles Wachstum: f(x) = 2x

Exponentielles Wachstum - Exponentialfunktion Natur des Bakterienwachstums:In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um denselben Faktor. Unsere Frage war:Wie verändert sich die Anzahl der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit? Oder rein mathematisch:Wie verändert sich der Wert der Potenz, wenn man den Exponenten verändert? Die Funktion, die diese Veränderung beschreibt, wird deshalb Exponentialfunktion genannt. f(x)=bx b ist die Basis und x der veränderliche Exponent.

Wachstum – Funktionaler Zusammenhang Die Frage nach der Art des Wachsens führte zur Frage, welche Art von Funktion das Wachstum adäquat beschreiben kann. „Die Anzahl der Bakterien wächst exponentiell.“Oder:„Der funktionale Zusammenhang zwischen der Zeit und der Anzahl der Bakterien ist exponentiell.“ (Zur Erinnerung: Der funktionale Zusammenhang zwischen der Länge eines Holzstabes und seinem Gewicht ist linear.Der funktionale Zusammenhang zwischen der Länge der Seite eines Quadrates und der Fläche ist quadratisch.)

Exponentielles Wachstum - Exponentialfunktion f(x)=bx b ist die Basis und x der veränderliche Exponent. In unserem Beispiel gab es zum Zeitpunkt 0(x = 0) bereits 1000 Bakterien.Deshalb hatte unsere Funktion einen Faktor: f(x) = 1000 ∙ 2x Allgemein:f(x) = a ∙ bxa ist der „Startwert“ für x = 0 (im Beispiel 1000),b ist der Wachstumsfaktor (im Beispiel verdoppeln)a, b und x sind reell, b > 0, b ≠ 1

Zurück zu unseren Bakterien: Wie viele Bakterien gibt es nach einer halben Stunde? f(1) = 1000 ∙ 21 bezeichnet die Anzahl der Bakterien nach einer Stunde. Als Potenz sind auch Brüche zulässig! Also bezeichnet f( ½ ) = 1000 ∙ 2 ½ ≈ 1414 die Anzahl der Bakterien nach einer halben Stunde. Quelle: www.mathe-online.at/mathint/log/i.html (03.01.06)

Eine weitere Frage f(x) = 1000 ∙ 2x Jetzt sind wir in der Lage, einfache Aufgaben der folgenden Art zu lösen: Wie groß ist die Anzahl der Bakterien nach einer Stunde und 15 Minuten? Lösung: Eine Stunde und 15 Minuten ist 1,25 Stunden. Wir setzen t = 1,25 ein und erhalten 2378,41423..., also sind nach 1,25 Stunden etwa 2378 Bakterien vorhanden. Quelle: www.mathe-online.at/mathint/log/i.html (03.01.06)

Erweiterung der Exponentialfunktion f(x) = 1000 ∙ 2x Man kann zeigen, dass als Exponent nicht nur rationale Zahlen (also Brüche), sondern alle reellen Zahlen gewählt werden können. Der Definitionsbereich einer Exponentialfunktion f(x) = bx ist also die Menge der reellen Zahlen. Quelle: www.mathe-online.at/mathint/log/i.html (03.01.06)

Rückblick Potenz, Basis, Exponent ax Exponentialfunktion: f(x) = a ∙ bx, , wobei a, b, x reell, b > 0, b ≠ 1 Aufstellen einer Exponentialfunktion (Modellbildung auf Grundlage eines realen Problems) Schritte der Modellbildung: V – Ü – R – Z - A Beschreiben des Wachstums von Bakterienkulturen Erweiterung der Exponentialfunktion: Als Exponenten sind alle reellen Zahlen möglich.

Drei Fragen Was ist eine Potenz, was ist eine Exponentialfunktion? Worin bestehen Unterschiede zwischen linearem und exponentiellem Wachstum? Wie errechne ich Bestandszahlen mit Hilfe einer Exponentialfunktion (z. B. Anzahl von Bakterien)?

Internetlinks http://www.mathe-online.at/mathint/log/i.html#BakterienSelbstlernmaterial von Thomas Unkelbach unterhttp://www.thomas-unkelbach.de/

Hausaufgabe BASICsArbeitsblatt liegt am Ausgang aus. Göde Klöppner, Christian Westphal, Christoph Hagel 2006

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