1 / 26

Dinamikus programozás

Dinamikus programozás. Problémamegoldási megközelítés – (rossz fordítás) Oszd meg és uralkodj: független részproblémák Dinamikus programozás esetén nem függetlenek. (Az Oszd meg és uralkodj feleslegesen többet dolgozna)

kuper
Download Presentation

Dinamikus programozás

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Dinamikus programozás • Problémamegoldási megközelítés – (rossz fordítás) • Oszd meg és uralkodj: független részproblémák • Dinamikus programozás esetén nem függetlenek. (Az Oszd meg és uralkodj feleslegesen többet dolgozna) • Jellemzése:1. Vázoljuk az optimális megoldás szerkezetét2. Adjunk rekurzív definíciót az értékére3. Alulról-felfelé (bottom-up) kiszámítjuk a részproblémák optimális megoldásait4. Ezeket kombinálva kiszámítjuk az egész probléma optimális megoldását

  2. Dinamikus programozási példa: Mátrixsorozat összeszorzása • M1 M2…Mn – a mátrixszorzás asszociatív, de nem kommutatív. Viszont nem egyformán hatékony a zárójelezéselétezik optimális zárójelezés • iMj1jMk2…lMmniMm – a szorzótényezők sor-oszlop kompatibilisek kell, hogy legyenek • iMj1jMk2 időigénye: i*j*k. Például… • (10x100 * 100x5) * 5x50  5000 + 2500 Viszont... • 10x100 * (100x5 * 5x50)  25000+50000

  3. Mátrixszorzás • Melyik az oszlop és melyik a sor? • Közös dimenziójú oszlop- ill. sorpárok elemeit összeszorozzuk és összeadjuk. Az eredmény: sorok száma az elsőből, oszlopok száma a másodikból • Mátrixszorzat(A,B)if oszlop(A)<>sor(B) then errorelse for i=1 to sor(A) do for j=1 to oszlop(B) do C[i,j]=0 for k=1 to oszlop(A) do C[i,j]=C[i,j]+A[i,k]*B[k,j]return C

  4. Szorzások számának becslése az összes lehetőség végigvizsgálásával? • Exponenciális algoritmus!! • Egyetlen újabb mátrixtényező hozzávétele a lehetőségek számát legalább megkétszerezi (bár nem lenne muszáj mindent újra kiszámítani) • iMj1jMk2…lMmnPn, akkor Pn+1>Pn*2 • P(1)=1;P(n)= k=0Σn-1 P(k) *P(n-k), ha n>=2 • Észrevétel: (M1M2…Mk )*(Mk+1…Mn) Ha a teljes szorzat optimális, akkor a részszorzatainak is optimálisnak kell lenni. Hányféle lehetőség van a szorzatszámbecslésre

  5. Rekurzív (naív) megoldás • Legyen m[i,j] az Mi..j szorzatszakasz optimális kiszámításának szorzatszáma. (1<i,j<n) • m[i,i] = 0m[i,j]=mini<=k<j(m[i,k]+m[k+1,j]+ +sor(i)*oszlop(k)*oszlop(j)) • k szerinti ciklusban, az m szerinti rekurzív hívással (FentrőlLefelé-TeljestőlRészekig-TopDown - FeketeLuk megközelítés) exponenciális idő, mert a részfeladatokat esetleg többször is megoldja átfedő részfeladatok

  6. Szorzások számának becslése • Hány részfeladat van összesen? Ahány m[i,j] részoptimum, vagyis ahány 1<=i<=j<=n (i,j) pár,összesen n*(n+1)/2=Θ(n2) • Megoldás: AlulrólFelfelé, a RészektőlEgészig, BottomUp, a részeredmények tárolásával • Algoritmuselemzés: Futásidő: 1 részfeladat kiszámítása egy n hosszú vektor (átló) optimumkeresése.  Θ(n3) • Helyigény: Θ(n2) • Filozófia: TopDown vagy BottomUp? – Lebontunk, vagy építkezünk? – Csőlátás vagy halszemoptika? – Holisztika vagy redukcionizmus? Ügyes szakbarbárok, vagy haszontalan próféták?

  7. M1(30x35)*M2(35x15)*M3(15x5)*M4(5x10)*M5(10x20)*M6(20x25) Példa i 1 i 1 6 10500 6 3500 0 3 3 3 5 5 5000 15125 5375 11875 0 3 3 3 4 7125 2500 1000 j 3 750 0 3 3 9375 4375 7875 0 2 j 2625 1 m[i,j]: az Mi..j optimális szorzásszám 15750 0 2 1 s[i,j]: i és j között hol kellett zárójelezni 1 0 Pl. az m[2,5] = min {m[2,2]+m[3,5]+35*15*20=13000--- m[2,3]+m[4,5]+35*5*20=7125--- m[2,4]+m[5,5]+35*10*20=11375} = 7125

  8. Mátrixok száma Főátló kinullázása Átlósan haladunk, l a kezdő j index • MSzorzásSorrend(n)for i=1 to n do m[i,i]=0for l=2 to n do for i=1 to n-l+1 do j=i+l-1 m(i,j)= ∞ for k=i to j-1 do Szorz=m[i,k]+m[k+1,j]+ sor(i)*oszlop(k)*oszlop(j) if Szorz<m[i,j] then m[i,j]=Szorz s[i,j]=kreturn m, s k töréspont (i<=k<j)

  9. Mátrixok vektora Az optimális megoldás A M…Sorrend algoritmus által elkészített „elvágási” mátrix • MátrixLáncSzorzat(M,i,j)if j>i then X=MátrixLáncSzorzat(M,i,s[i,j]) Y=MátrixLáncSzorzat(M,s[i,j]+1,j) return(Mátrixszorzat(X,Y))else return M[i] • A helyes zárójelezés: • (M1 * (M2 * M3)) * ((M4 * M5) * M6)

  10. Hol alkalmazható egyáltalán? • Optimalizálási probléma • Optimális részstruktúrák • Egymást átfedő részfeladatok (az Oszd Meg és Uralkodj nem vizsgálja a visszatérő részfeladatokat, hanem újra megoldja őket) 1-4 1-1 2-4 1-2 3-4 1-3 4-4 2-2 3-4 2-3 4-4 1-1 2-2 3-3 4-4 1-1 2-3 1-2 3-3 3-3 4-4 2-2 3-3 2-2 3-3 1-1 2-2 Egy alternatív megoldás!! Rekurzív, felülről lefelé (naív) megoldás a részeredmények mátrixba történő feljegyzésével

  11. Legrövidebb utak irányított gráfokban • G=(V,E) irányított gráf + w:ER súlyfüggvény. • Egy p=(v0, v1,…, vk) út súlya: w(p)= i=0Σk w(vi ,vi+1 ) • Az u-ból v-be vivő legrövidebb út definíciója: • δ(u,v)=Σmin{w(p),p:uv}, ha létezik p, egyébként ∞ • Figyelem!! δ(u,v) NEM egyértelmű!! • Legrövidebb utak feszítőfájaminimális súlyú feszítőfa • Problématípusok: • Alapprobléma: egy adott sÎV kezdőcsúcsból az összes v csúcsba vivő legrövidebb utak problémája. Következmények: • 1. Adott csúcsba mindenhonnan beérkező legrövidebb utak problémája. (megoldás az élek megfordításával) • 2. Adott csúcspár közötti legrövidebb utak problémája (nem ismert aszimptotikusan gyorsabb megoldás, mint az Alapprobléma) • 3. Összes csúcspár közötti legrövidebb utak problémája (Alapprobléma minden csúcsra – ennél gyorsabb megoldás is létezik)

  12. Negatív súlyú élek • Negatív súlyú élek, ill. negatív összsúlyú körök problematikusak. Ha ilyet tartalmaz egy u-ból v-be vivő út, akkor δ(u,v)=- ∞. Ha v nem elérhető, akkor δ(u,v)=∞ • Algoritmuseredmények: 1. Súly, 2. Út (utak) -4 a b 4 3 6 8 5 d g s c -3 Negatív kör 7 2 3 e f -6

  13. Algoritmusok általános jellemzése • Dijkstra algoritmusa: csak nemnegatív élekre! • Bellman-Ford algoritmus: negatív élekre is működik, megtalálja a negatív köröket is • Bellman-Ford algoritmus használata lineáris programozási feladatokra • Fokozatos közelítés: az egyes csúcsok elérési súlyainak közelítése a felső korlát fokozatos finomítása (csökkentése) útján • Alapelv: az optimális részstruktúrák elve. Egy optimális utakat tartalmazó feszítőfa részei szintén optimális utakat tartalmaznak. • Mohó algoritmusokdinamikus programozás

  14. Dijkstra algoritmusa Elsőbbségi sor, a távolság becslés alapján. Valójában azonban mindig csak a NemBejárt-Bejárt vágatból vesszük a következő csúcsot • Dijkstra(s)for "vÎV do Táv[v]=∞ Szülő[v]=NILTáv[s]=0Bejáratlan=Vwhile Bejáratlan<>{} do u=Bejáratlan.KiveszMin for "vÎSzomszéd(u) do if Táv[v]>Táv[u]+Súly[u,v] then Táv[v]=Táv[u]+Súly[u,v] Szülő[v]=u

  15. A Dijkstra-algoritmus működése 1 u:∞ v:∞ u:10 v:14 u:8 u:8 v:13 v:9 10 2 3 9 6 4 s:0 s:0 5 7 x:5 x:5 x:∞ y:∞ y:7 2 Megjegyzések: 1. Hasonlít a „SzéltébenBejár” és a „Prim” algoritmusra. Különbség elemzése HÁZI FELADAT… 2. Csak pozitív élsúlyokra működik 3. Mohó? Dinamikus? Bottom-up: Top-down?

  16. Optimális feszítőfaLegrövidebb utak b c d 8 7 9 4 2 4 11 14 i e a 7 6 • A fa TELJES súlya minimális, az egyes élekhez vezető utak nem feltétlenül • Minden lépésben a nyitott vágat legkönnyebb élét vesszük hozzá a halmazhoz. Ehhez nem feltétlenül vezet a legrövidebb út. 10 8 h g f 1 2 • Az egyes élekhez vezető utak KÜLÖN-KÜLÖN minimálisak, a fa teljes súlya nem feltétlenül, • Minden lépésben a nyitott vágat legrövidebb úthosszúságú élét vesszük hozzá a halmazhoz, ez nem feltétlenül a legkönnyebb is. b c d 8 7 9 4 2 4 11 14 i e a 7 6 10 8 h g f 1 2

  17. A Dijkstra algoritmus elemzése • 1. A „Bejáratlan” tömb lineáris vektor. KiveszMin O(V), és |V| ilyen művelet van KiveszMin össz. O(V2)A Szomszéd(u) a gráf minden élét 1szer vizsgálja meg. O(V2 +E) • 2. A „Bejáratlan” tömb bináris kupac, KiveszMin ideje O(lgV), és |V| ilyen művelet van. Kupacfelépítés: O(V) KulcsotCsökkent: O(lgV), és legfeljebb |E| ilyen művelet van.  össz.O((V+E)lgV) = O(ElgV) • 3. Fibonacci kupacokkal: O(VlogV+E)

  18. A Bellman-Ford algoritmus + elemzése • Negatív súlyú élek is lehetségesek • Negatív körökre HAMIS logikai értéket ad • Futási ideje: O(V*E) • Buborékrendezéshez hasonló működési elv • Negatív körökbe a legkönnyebb út választása miatt bepörög, és a pörgést csak a ciklus vége állítja le • Ha egy csúcs nem elérhető, akkor Táv[u]=∞

  19. A háló lehetséges leghosszabb útja Él kiválasztása valamilyen rendezés szerint (pl. lexikografikus sorrendben) Egy közelítés hatása legrosszabb esetben |V| lépés után teljesen biztosan eljut minden élhez • BellmanFord(s)for "vÎV do Táv[v]=∞ Szülő[v]=NILTáv[s]=0for i=1 to |V|-1 do for "u,vÎE if Táv[v]>Táv[u]+Súly[u,v] then Táv[v]=Táv[u]+Súly[u,v] Szülő[v]=ufor "u,vÎE do if Táv[v]>Táv[u]+Súly[u,v] then return HAMISreturn IGAZ Negatív kör keresése A fokozatos közelítés miatt ilyen feltétel csak akkor alakulhat ki, ha fenti ciklus leállt

  20. A Bellman-Ford algoritmus működése 5 u:6 u:∞ u:2 v:4 v:∞ -2 6 8 -4 -3 7 z:0 7 2 x:∞ x:7 y:∞ y:2 y:-2 9

  21. Legrövidebb utak Irányított Körmentes Gráfokban (KIG) • KIG: A legrövidebb utak jól definiáltak, mert nincs negatív kör • Algoritmus: az éleket a csúcsok topologikus rendezésének sorrendjében tekinti • Nincs ciklus, nincs visszamutató él • Futási idő: Topologikus rendezés: Θ(V+E) – Minden élt egyszer vizsgálunk – Közelítés konstans idő  Θ(V+E) • Sejtés: elég lenne csak a kiindulási csúcstól?

  22. KIGLegrövidebbUtak(s)A csúcsok topologikus rendezésefor "vÎV do Táv[v]=∞ Szülő[v]=NILTáv[s]=0for "uÎV - a topologikus rendezés sorrendjében do for "vÎUtód(u) if Táv[v]>Táv[u]+Súly[u,v] then Táv[v]=Táv[u]+Súly[u,v] Szülő[v]=u Közelítés 6 1 5 2 7 -1 -2 r:∞ s:0 s:0 t:∞ t:2 t:2 u:6 u:∞ u:6 v:5 v:5 v:∞ v:6 x:4 x:3 x:3 x:∞ 3 4 2

  23. PERT (Program Evaluation and Review Technique) diagram – kritikus út meghatározása • Munkafolyamat: tevékenységek, mérföldkövek (KIG-ek!) • Gráfélek: tevékenységek, súlyok: időtartamok • uv, vx élek: az uv tevékenységnek meg kell előznie a vx-et • Egy uv út egy tevékenységsorozat, amit csak az adott sorrendben lehet elvégezni • Kritikus út: a KIG-en keresztülvezető leghosszabb út. Ez a teljes munkafolyamat időszükségletére vonatkozó alsó határ.

  24. Ugyanaz az algoritmus, mint a LegrövidebbUtak... …csupán a közelítés az ellenkező feltételt vizsgálja • KIGLeghosszabbUtak(s)A csúcsok topologikus rendezésefor "vÎV do Táv[v]=-∞ Szülő[v]=NILTáv[s]=0for "uÎV a topologikus rendezés sorrendjében do for "vÎUtód(u) if Táv[v]<Táv[u]+Súly[u,v] then Táv[v]=Táv[u]+Súly[u,v] Szülő[v]=u 6 1 5 2 7 1 2 r:-∞ s:0 s:0 t:-∞ t:2 t:2 u:-∞ u:6 u:9 u:9 v:10 v:10 v:6 v:-∞ x:12 x:12 x:-∞ x:4 x:10 4 3 2

More Related