Julien HILLAIRET

1. Applications du formalisme des faisceaux gaussiens à la modélisation de l'interaction d'une onde électromagnétique avec un objet 3D complexe Julien HILLAIRET Co-Directeurs de thèse Jérôme SOKOLOFF / Sylvain BOLIOLI

2. Contexte de l'étude Calcul de champs rayonnés Plusieurs approches : Champincident Champrayonné ? Les méthodes rigoureuses (MoM,...) ne sont pas adaptées à des problèmes de grandes tailles. ONERA : ELSEM3D Les méthodes asymptotiques (lancer de rayons,...) sont adaptées en haute fréquences. ONERA : FERMAT Solution complémentaire : les faisceaux gaussiens (FG)‏ Avantages : • Nombre de faisceaux < nombre de rayons • Pas de caustiques

3. Sommaire État de l'art : les faisceaux gaussiens (FG)‏ Propriétés principales Problématiques Interactions avec des parois de forte courbure Spectre d'un faisceau gaussien conforme. Diffraction d'un faisceau gaussien Diffraction 2D par un demi-plan infini ; Diffraction 3D par une surface rectangulaire finie. Applications des faisceaux gaussiens Contexte de la propagation EM. Conclusion et perspectives

4. État de l'art Décomposition des champs EM en FG Champ EM(connu)‏ Surface de décomposition Faisceaux gaussiens Champ initial défini sur une surface courbe Décomposition en FG Propagation des FG Interactions des FG avec la scène

5. Décomposition de champs en FG Décomposition de champs peu divergents Décomposition multi-modale : surfaces courbes(F.Minato, O.Pascal, J.Sokoloff)‏. Décomposition de champs divergents Décomposition de Gabor / frames de Gabor : surfaces planes ou cylindriques(L.Felsen,C.Letrou, D.Lugara) ; Décomposition sur une surface sphérique en champ lointain (P.Schott) ; Décomposition multi-faisceau gaussiens : surfaces courbes(A.Chabory)‏.

6. Faisceaux Gaussiens Un FG est un faisceau dont : L'amplitude transverse est gaussienne La propagation peut se formuler analytiquement Décomposition en spectre d'ondes planes du champ dans le plan initial (analytique) Méthodes asymptotiques Propagation du faisceau Formulations analytiques E(x,y,z=0)‏ E(x,y,z=0)‏ Plan transverse

7. Propagation d'un FG Plusieurs formulations analytiques Approche classique (multimodale) ; Approche spectrale : paraxiale ; Approche spectrale : champ lointain. Zone de validitéformulation paraxiale R Matrice de courburecomplexe du FG z Zone de validitéformulation champ lointain

8. Interaction d'un FG • Interaction d'un FG avec une surface courbe • 1 FG incident → 1 FG Réfléchi et 1 FG Transmis (lois ABCD/phase matching)‏ • 1 FG incident → Champs Réfléchi et Transmis (coefficients R&T analytiques puis décomposition en FG)‏ • Surface très courbe : Faisceaux Gaussiens “Conformes” e1 e2

9. Problématiques ? ? • Problèmes restés ouverts en début de thèse: • Interactions avec des parois de forte courbure (FGC) ; • Diffraction d'un FG.

10. Interactions avec des parois de forte courbure

11. Parois de forte courbure Contexte originel : interactions antennes/radômes radômes de forte courbure zoom  Champ Transmis Champ Réfléchi Lorsque l'angle entre : • la normale n à la surface en M • la direction du vecteur de Poynting P local d'un faisceau, est important : la décomposition en FG n'est plus valide ! Décomposition en FG Surface (virtuelle)de décomposition en FG

12. Parois de forte courbure Introduction aux Faisceaux Gaussiens Conformes Des faisceaux adaptés aux surfaces courbes Champ incident Surface de décomposition très courbe Evolution linéaire de la phasesur la surface Allure gaussiennesur la surface • Approche : • Calcul des courants équivalents J et M sur la surface • Décomposition de ces courants en courants « gaussiens » • Rayonnement de ces courants « gaussiens » : FGC • approximation quadratique de la surface‏ locale • hypothèse grande distance Expressionanalytique

13. Parois de forte courbure Interaction d'un FGC avec un diélectrique Exemple : radôme de pointe ? Spectre d'ondes planes d'un FGC • Généralement défini sur un plan • Un FGC est défini pour une surface courbe ! r • Le champ incident sur la paroi interne est décomposé en FGC • La propagation analytique des FGC est valide à grande distance • Pour procéder comme avec les FG : spectre d'ondes planes

14. Spectre d'ondes planes d'un FGC (1)‏ On part des intégrales de courants de Franz : On utilise le développement en ondes planes d'un point source (Weyl, 1919): avec : Ainsi,

15. Spectre d'ondes planes d'un FGC (2)‏ • Inversion de l'ordre d'intégration • Méthode du Point col • Opérateurs différentiels Expression spectrale d'un FGC

16. Spectre d'ondes planes d'un FGC (3)‏ • Spectre d'ondes planes d'un FGC : avec Métrique de la surface courbe Matrice de courbure complexe Forme (pseudo) quadratique

17. Évaluation asymptotique du spectre d'ondes planes Obtention d'une expression analytique du champ Évaluation par la méthode du col Expression analytiqueen zone proche • Problème : validité de l'évaluation asymptotique Valide en zone lointaine Limitations en zone proche dues à la position du point col : une évaluation numérique est possible, mais coûteuse en temps de calcul.

18. Diffraction d'un faisceau gaussien

19. Diffraction d'un FG Contexte Cas de figure d'un FG interceptant une arête Bibliographie Méthodes de champs (OG/TGD, TUD...)‏ Méthodes de courants (OP/TPD...)

20. Diffraction 2D d'un FG : approches utilisables Cas d'un plan semi-infini (problème 2D) : Deux solutions exactes : Utilisation du Spectre d'Ondes Planes (SOP) ; Théorie du Point Source Complexe (PSC). Une solution approchée : Hypothèse de l'Optique Physique (OP)‏ Plan conducteur semi-infini Es Effet de l'arête ?

21. Diffraction 2D d'un FG : approches utilisables Utilisation du spectre d'ondes planes Le FG incident est décomposé en ondes planes ; On connaît le champ diffracté par chacune des ondes planes (Sommerfeld, 1896) ; Le champ diffracté par le FG correspond à la somme des ondes planes diffractées. EdFG Formulation exacte et intégrale. Plan conducteur semi-infini

22. Diffraction 2D d'un FG Spectre d'ondes planes Spectre d'ondes planes (intégration numérique)‏ Plan conducteur semi-infini • Paramètres : • Incidence : 45° • Polarisation TE • Centre du faisceau sur l'arête • Calcul du champ proche

23. Diffraction 2D d'un FG : approches utilisables Théorie du point source complexe Le rayonnement d'un point source dont les coordonnées sont complexes correspond approximativement à un FG paraxial. L'expression du champ diffracté par un point source complexe correspond à celle d'un pointsource réel (Stratton, 1941).‏ ~ ~ ~ r Formulation exacte et analytique. Plan conducteur semi-infini

24. Diffraction 2D d'un FG Plan semi-infini : Point source complexe Point source complexe(expression analytique)‏ Plan conducteur semi-infini

25. Diffraction 2D d'un FG : approches utilisables Hypothèse de l'Optique Physique (OP)‏ On calcule le courant électrique OP sur le demi-plan : On calcule le champ rayonné par ce courant : Évaluation asymptotiqueExpression analytique. Er ^ n Formulation approchée et analytique. Hi(S)‏ Plan conducteur semi-infini

26. Diffraction 2D d'un FG Plan semi-infini : Optique Physique Optique Physique(expression analytique)‏ Plan conducteur semi-infini

27. Champ rayonné lointain Spectre d'ondes planes (intégration numérique)‏ Optique Physique(expression analytique)‏ Φ Différences : en zone proche et endehors des directions principales de rayonnement Diffraction 2D d'un FG • Plan semi-infini : comparaisons des approches

28. Diffraction d'un FG Plan semi-infini : bilan Compromis entre précision et temps de calcul PSC (FG parax.)‏ SOP OP Exact 1 intégrale Exact Analytique Approx. Analytique 2D Approx. Analytique Exact 2 intégrales Astigmatis. Polarisation 3D (vect.)‏

29. Diffraction 3D par un FG : surface finie et OP OP pour une surface finie (3D) : Évaluation asymptotique. Hypothèses : Point d'observation en zone lointaine ; Matrice de courbure du FG incident constante sur la surface éclairée ; “Découpage” du domaine d'intégration Hi Es Courant de l'OP sur la surface S avec Forme canoniquepropice à l'utilisationde la méthode du point col S

30. Diffraction 3D d'un FG : Optique Physique « Découpage » du domaine d'intégration (1)‏ Développement asymptotique connu 1er terme analytique

31. Diffraction 3D d'un FG : Optique Physique « Découpage » du domaine d'intégration (2)‏ A B C A B D D C Même approche :(4 intégrales doublesavec 2 bornes)‏ approximations uniformes 2 Développements asymptotiques uniformes en cascade 4 termes analytiques 4 termes an. Finalement : le développement asymptotique global correspond à la somme de 1+4+4=9 termes analytiques.

32. Diffraction 3D d'un FG Application numérique (1)‏ Légende : • Intégration numérique OP • Expr. Analytique OP • Différence dB Plaque : • taille : 20x20 FG incident : • centre en (x,y,z)=(10,0,10)‏ • angle zenith : 0° • angle azimuth : 0° Observation : • angles zenith : -90° à 90° • angle azimuth: 0° • distance obs : 1000  • composante E Très bonne correspondance entre intégration numérique et expression analytique.

33. Diffraction 3D d'un FG Application numérique (2)‏ Légende : • Intégration numérique OP • Expr. Analytique OP • Méthode des Moments (MoM)‏ • Différence entre MoM et OP analytique dB Plaque : • taille : 20x20 FG incident : • centre en (x,y,z)=(0,0,50)‏ • angle zenith : 0° • angle azimuth : 0° Observation : • angles zenith : -90° à 90° • angle azimuth: 0° • distance obs : 1000  • composante E E Très bonne correspondance entre OP numérique et OP analytique partout. Bonne correspondance entre OP et MoM pour les premiers lobes.

34. Diffraction 3D d'un FG Application numérique (3)‏ Légende : • Intégration numérique OP • Expr. Analytique OP • Méthode des Moments (MoM)‏ • Différence entre MoM et OP analytique Légende : • Intégration numérique OP • Expr. Analytique OP • Méthode des Moments (MoM)‏ • Différence entre MoM et OP analytique Plaque : • taille : 10x10 FG incident : • centre distant de 30 • angle zenith :45° • angle azimuth : 0° Observation : • angles zenith : -90° à 90° • angle azimuth: 0° • distance obs : 1000  • composante E dB E E i=45° E E Bonne correspondance entre OP numérique et OP analytique partout. Bonne correspondance entre OP et MoM pour les premiers lobes.

35. Diffraction 3D d'un FG Application numérique (4)‏ Plaque : • taille : 10x10 FG incident : • centre distant de 50 • angle zenith :45° • angle azimuth : 0° Observation : • angles zenith : -90° à 90° • angle azimuth: 37° • distance obs : 1000  • composantes E et E dB E E i=45° obs=37° Légende : • Intégration numérique OP • Expr. Analytique OP • Méthode des Moments (MoM)‏ • Différence entre MoM et OP analytique Bonnes correspondances entre OP numérique et OP analytique. Correspondances entre OP et MoM uniquement pour les premiers lobes.

36. Diffraction 3D d'un FG : synthèse Domaine de validité de la solution analytique Hypothèses : Haute-fréquence ; Optique Physique ; Observation en zone lointaine ; Matrice de courbure constante sur la surface Type de surface : conductrice et rectangulaire ; Taille minimum : 5λ x 5λ (OP) ; Pas de taille maximum ; Faisceaux gaussiens : Angle d'incidence maximum : environ 60° ; formulations pour FG paraxiaux ou champ lointain. • Exemple de temp de calcul : • MoM (référence) : 30 min • OP numérique : 2 min • OP analytique : 1 sec

37. Applications des FG

38. Applications des FG Utilisation du lancer de faisceaux gaussiens : Radômes diélectriques mono/multi-couches Propagation EM indoor Propagation EM outdoor (couverture telecom)‏ εr 3 εr 2 εr 1

39. Applications des FG : propagation Exemple : propagation EM sur de grandes distances Le champ incident sur le plan est décomposé en FG (paraxiaux); On compare avec la résolution de l'équation parabolique (code ONERA-LAME, EPEE3D)‏ ; Le sol conducteur est modélisé par le théorème des images ; Indice de réfraction de l'atmosphère = 1 (1 GHz)‏ plan conducteur

40. Plan parallèle à la direction de propagation Applications des FG : propagation Faisceaux Gaussiens (45 min)‏ Champ lointain Champ proche Champ réfléchi Équation parabolique (6h30)‏

41. Applications des FG : propagation Plan transverse à la direction de propagation (Composante principale (Ex), à 500m du plan)‏ coupe

42. Application des FG : propagation Exemple : Propagation dans une vallée dB • ouverture circulaire uniforme ; • décomposée en 472 FG(lointain) ; • =30° (>20°).

43. Conclusion et perspectives

44. Conclusion Parois diélectriques très courbes : formulation du spectre d'ondes planes d'un FGC ; calcul numérique des interactions ; calcul analytique pour des parois en zone lointaine. Diffraction d'un FG 2D : 2 formulations exactes : SOP/PSC 1 formulation approchée : OP 3D : 2 formulations approchées : OP non uniforme Uniforme (sans singularités ou discontinuités) Applications des FG radômes contexte de propagation EM

45. Perspectives Mathématiques : Développements asymptotiques possibles ? Modification de la forme des FGC ? Diffraction 3D : triangle Physiques : Utilisation des FGC pour des radômes très courbes Applications des FG à des problèmes complets

46. Lancer de faisceaux gaussiens Radôme diélectrique/multicouches : f.g. « classiques » et conformes. Surface de faible courbure diélectriques ou métalliques :faisceaux gaussiens « classiques ». Surface de forte courburediélectrique ou métallique: faisceaux gaussiens conformes. Arête diffractante métallique : diffraction d’un faisceau gaussien « classiques ».

47. Merci pour votre attention

48. Développement asymptotique d'intégrales Principe (phase stationnaire)‏ Point stationnaire : x s Re[exp(j k g(x))] pour g(x) = x^2 - 4x x

49. Configuration des mesures

50. Configuration des mesures Mesures de champs diffractés Dipôle