Julien Lambert

1. Julien Lambert Nouvelle Equation du potentiel gravitationnel pour les disques minces autosimilaires axisymétriques

2. Plan Approximation du paramètre k Les disques Plats Mise en Equation Les disques minces Schéma de résolution, Résultats Les disques en Astrophysiques Mise en Equation Description et intérêt Potentiel dans un disque Axisymétrique Schéma de résolution, Résultats

3. Intérêt des disques en Astrophysique Les Disques Astrophysiques sont présents à de nombreuses échelles

4. Potentiel dans un disque Plat Mise en Equation du Potentiel sous forme intégrale Bord externe Il n’y a pas de solution analytique simple de cette équation pour une géométrie tel que les disques Bord interne Comme en Electromagnétisme, l’équation du potentiel Gravitationnel peut s’écrire sous la forme d’une équation locale dite de Poisson, au constantes de couplages prés a Point source R SOLUTION ACCESIBLE NUMERIQUEMENT La résolution numérique de cette équation impose un maillage de l’espace Point de champ TEMPS DE CALCUL IMPORTANT

5. Potentiel dans un disque Plat Mise en Equation du Potentiel sous forme intégrale Lors de cette étude, nous travaillerons avec un profil en loi de puissance de la forme: Ce profil de densité est justifié aussi bien par l’observation que par des considérations théoriques.

6. Potentiel dans un disque Plat Mise en Equation du Potentiel sous forme intégrale Sachant que le potentiel créé par une masse à la distance d vaut d’après la loi de Newton: On peut facilement montrer que le potentiel intégré sur tout le disque vaut à une distance R du centre : Où: et

7. Potentiel dans un disque Plat Mise en Equation du Potentiel sous forme intégrale La difficulté est que la fonction K(m) présente une divergence en m=1, le problème est donc d’arriver à intégrer une singularité pour

8. Potentiel dans un disque Plat Mise sous la forme d’une équation différentielle En dérivant : on peut montrer (Huré & Hersant, 2007) que le potentiel est solution d’une équation différentielle ordinaire de première ordre (ODE) de la forme: où

9. Résolution numérique Résolution numérique de l’ODE

10. Potentiel dans un disque mince Approximation du paramètre k Dans un disque mince, le potentiel est : Où: Jean-Marc Huré a montré (2007,en préparation) que si le disque est mince, c’est-à-dire que h/a<<1, ce potentiel peut s’écrire : Où:

11. Potentiel dans un disque mince Approximation du paramètre k Avec: Où  est solution de l’équation: Pour simplifier (éviter que  soit une fonction de R, on prendra :

12. Potentiel dans un disque mince Mise en équation Le potentiel est donc: On vois que la forme de l’équation est la même que celle d’un disque plat avec seulement On obtient donc la même équation différentielle:

13. Résolution numérique Algorithme de Thomas, et Mapping de l’espace Afin de trouver le potentiel jusqu’à l’infini, où l’on sait qu’il est nul, on va transformer l’espace pour ramener l’infini en un point donné (ces le mapping). Pour faire ça, on change la variable d’espace: On pose donc: L’équation différentielle deviens donc dans notre nouvel espace:

14. Résolution numérique Algorithme de Thomas, et Mapping de l’espace On pourrai calculer le potentiel par Euler ou Runge-Kutta, mais le potentiel ne peut pas être calculé jusqu’à l’infini avec ces méthodes. Cependant, on connait deux conditions aux limites pour résoudre notre équation : le potentiel central qui peut être calculer analytiquement, et le potentiel à l’infini qui est nul de plus, grâce au mapping de l’espace, l’infini est accessible. Nous prendrons comme schéma numérique:

15. Résolution numérique Algorithme de Thomas, et Mapping de l’espace peut se mettre sous la forme d’un système matriciel tridiagonale fermé à condition de disposer de deux conditions aux limites. Dans ce cas, le système peut être résolu simplement par l’algorithme de Thomas

16. Résolution numérique Résultats

17. Résolution numérique Résultats

18. Résolution numérique Résultats

19. Conclusion Cette nouvelle forme pour le potentiel nous donne accès au potentiel de manière rapide et avec une bonne précision. Pour améliorer le calcul du potentiel, il serait intéressant de pouvoir améliorer la précision du paramètre l Il serait aussi intéressant de chercher une solution à l’ODE sous forme de série entière à condition que cette dernière converge