El sistema M/M/1

1. Clase 2 El sistema M/M/1 Cuando se realiza la simulación de un sistema complicado es importante saber si dicho sistema se reduce a un caso simple bajo condiciones particulares. De ser así, el desempeño de la simulación puede probarse mediante comparación con los aspectos conocidos del caso especial sencillo. Por ejemplo, si se realiza la simulación de un sistema de varias líneas de espera entrelazadas, puede compararse con fórmulas conocidas para el caso especial en que existe una sola línea de espera. Un modelo muy importante de líneas de espera es el M/M/1, compuesto por una fila y un servidor, donde los tiempos de servicio y tiempos entre llegadas se distribuyen exponencialmente. Para este modelo existen fórmulas sencillas que lo caracterizan en el estado estable [1, 2]. Se ofrece un repaso del sistema M/M/1 a través del siguiente ejemplo, basado en una discusión ofrecida en [1]. Ejemplo: Hamburguesas X es un pequeño negocio de comida rápida que cuenta con un solo canal de servicio donde los clientes ponen su pedido, pagan la cuenta y reciben la comida. Los clientes son atendidos según el esquema “primero en llegar primero en salir” (FIFO por sus siglas en inglés).

2. La gerencia desea evaluar la conveniencia para su competitividad de hacer adecuaciones a su esquema de servicio. Los analisatas encargados de la evaluación toman como primer paso el determinar si la línea de espera de Hamburguesas X se ajusta a un modelo M/M/1: ¿Qué experimentos deben hacerse? ¿Qué comparaciones? ¿Cómo cuantificar el grado de ajuste entre el sistema real y el modelo? Los analistas llegan a la conclusión de que el modelo M/M/1 es adecuado, por lo tanto los tiempos entre llegadas de clientes al sistema se distribuyen según la densidad ( t no negativo): donde a es el tiempo promedio entre llegadas. ¿Cómo se distribuye el número de llegadas en un período de tiempo? Los tiempos de servicio siguen la densidad de probabilidad ( t no negativo): donde b es el tiempo promedio de servicio. El equipo de analistas encontró una tasa media de llegada de 45 clientes por hora y una tasa media de servicio de 60 pedidos por hora. Si usamos como unidad de tiempo el minuto, encuentre las tasas medias de llegada y servicio por unidad de tiempo (que denotaremos por l y m respectivamente) y demuestre que l=1/a y m=1/b.

3. A partir de un estado inicial en que no hay clientes en el sistema, la actividad se incrementa gradualmente durante un lapso conocido como período transitorio hasta que se alcanza una operación normal conocida como estado estable. Las cantidades que caracterizan el desempeño del sistema M/M/1 en el estado estable vienen dadas por las siguientes expresiones: • Probabilidad de que no haya clientes en el sistema. • Cantidad propedio de clientes en la línea de espera. • Cantidad promedio de clientes en el sistema • Tiempo promedio que pasa un cliente en la línea de espera. • Tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema • Probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio. • Probabilidad de n clientes en el sistema

4. Observaciones: • El estado estable existe cuando se logra un balance entre las llegadas y las salidas. Es por ello que las ecuaciones de estado estable no están definidas para l > m . • Combinando las ecuaciones 3, 4 y 5 se obtiene la famosa fórmula de Little • que tiene la siguiente interpretación: dado que en el tiempo que un cliente dado permanece en el sistema observará la llegada de l W nuevos clientes en promedio, entonces esta cantidad será el número promedio de clientes en el sistema. Encuentre la fórmula de Little para el número de clientes en la fila. • Combinando las ecuaciones 2 y 3 se obtiene • Las ecuaciones de estado estable se derivan del hecho de que las llegadas de los clientes satisfacen el proceso de Poisson. Resolviendo la ecuación de Chapman – Kolmogorov para dicho proceso en el límite t a infinito se obtiene la densidad de probabilidad de estado estable. Los detalles pueden consultarse, por ejemplo en [3].

5. Calcule las medidas de desempeño para Hamburguesas X en el estado estable. • Después de revisar las medidas de desempeño proporcionadas por el modelo de línea de espera, la gerencia de Hamburguesas X ha decidido que es deseable diseñar mejoras que reduzcan los tiempos de espera de sus clientes. Dichas mejoras se puden lograr realizando alguno o ambos de los siguientes cambios: • Aumentar la tasa media de servicio rediseñando creativamente el sistema o usando nueva tecnología. • Agregar canales de servicio de modo que más clientes puedan servirse simultáneamente. • Hamburguesas X ha optado por una estrategia como la 1). Se decide emplear un encargado de surtir pedidos que asistirá al tomador de pedidos que se encuentra en la caja registradora. El cliente comienza el proceso de servicio colocando el pedido con el tomador de pedidos. Conforme se coloca el pedido, el tomador de pedidos anuncia la orden a través de un sistema de intercomunicación y el encargado de surtir comienza a surtir el pedido, mientras el tomador de pedidos maneja el dinero. • Con este diseño, la gerencia estima que la tasa media de servicio puede aumentarse a 75 clientes por hora. • Calcule las medidas de desempeño para Hamburguesas X en el estado estable con el nuevo diseño y compare con el anterior. • El sistema M/M/1 y los modelos de línea de espera en general, tienen aplicaciones más allá de los sistemas administrativos. Un área importante de aplicación es en la tecnología de telecomunicaciones, como puede consultarse por ejemplo en [4]. Referencias: [1] A. M. LAW, W. D. KELTON. Simulation Modeling and Analysis. McGraw-Hill, New York, 1991. [2] D. R. ANDERSON, D. J. SWEENEY, T. A. WILLIAMS. Métodos Cuantitativos para los Negocios. Thomson, novena edición, 2004. [3] http://staff.um.edu.mt/jskl1/simweb/mm1.htm [4] http://networks.ecse.rpi.edu/~vastola/pslinks/perf/hing/mm1animate.html