Trend wykładniczy

1. Trend wykładniczy dr Małgorzata Radziukiewicz

2. Funkcja wykładnicza • Funkcją wykładniczą jest funkcja postaci: • gdzie a>0 jest ustaloną liczbą

3. Funkcja ta znajduje najczęściej zastosowanie jako model ekonometryczny, w którym występuje tylko jedna zmienna objaśniająca X: Rys.1a. Funkcja wykładnicza parametr α0 interpretowany jest jako poziom zmiennej Y, gdy zmienna objaśniająca X przyjmie wartość zero α1 nazywane jest stopą wzrostu, tzn. wzrost wartości zmiennej objaśniającej X o jednostkę powoduje zmianę poziomu zmiennej objaśnianej Y o (α1 – 1) 100%. Funkcja wykładnicza Y α1>1 α1=1 α0 0<α1<1 X

4. Funkcja wykładnicza ● Większe od jedności wartości parametru α1 oznaczają wzrost wartości zmiennej objaśnianej Y np. gdy α1 =1,15, wzrost X o jednostkę spowoduje wzrost Y o (1,15 - 1) 100% = 15% ● Mniejsze od jedności (ale zawsze większe od zera) wartości parametru α1 świadczą o spadku wartości zmiennej objaśnianej Y np. dla α1 =0,94, wzrost X o jednostkę spowoduje wzrost Y o (0,94 - 1) 100% = -6%, zatem spadek

5. Model wykładniczy ● Model wykładniczy: ● Aby oszacować parametry modelu wykładniczego MNK model musi być sprowadzony do postaci liniowej; ● Model wykładniczy (nieliniowy ze względu na zmienną) sprowadza się do postaci liniowej poprzez logarytmowanie; ● Logarytmujemy obie strony równania (3), w wyniku czego otrzymujemy: gdzie: logarytm naturalny, którego podstawa e=2.71828…

6. Trend wykładniczy ●Funkcja wykładnicza znajduje najczęściej zastosowanie jako model tendencji rozwojowej (w którym występuje tylko jedna zmienna objaśniająca – zmienna czasowa t): ● parametr α0 interpretowany jest jako średni poziom zmiennej Y w roku poprzedzającym badanie (t=0) ●α1 nazywane jest średnioroczną stopą wzrostu (spadku) badanego zjawiska w przedziale czasu [1, n], tzn. co roku wartość Y wzrasta (spada) średnio o (α1 – 1) 100%.

7. ▪ model musi być sprowadzony do postaci liniowej poprzez logarytmowanie; ▪ otrzymujemy wówczas: ▪ przy sprowadzeniu do postaci liniowej została przekształcona jedynie zmienna Y, (nie została przekształcona zmienna t) a więc Trend wykładniczy

8. ▪ dane niezbędne do obliczeń: X – macierz wartości zmiennej czasowej; - wektor zaobserwowanych wartości zmiennej Y po przekształceniu Trend wykładniczy

9. ▪ wektor ocen parametrów modelu trendu wykładniczego (modelu sprowadzonego do postaci liniowej) obliczamy ze wzoru: Trend wykładniczy

10. Trend wykładniczy • Mamy wówczas: • Po wykonaniu obliczeń model ma postać liniową (6); • Dla modelu w postaci liniowej obliczamy parametry struktury stochastycznej; • Pozytywna weryfikacja modelu pozwala powrócić do postaci pierwotnej funkcji trendu, tzn. do funkcji wykładniczej przez odlogarytmowanie: czyli

11. Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego Sposób obliczenia prognozy punktowej: stąd

12. Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego Ocena ex ante średniego błędu prognozy logarytmu zmiennej Y: oznaczenia: jest wariancją resztową z modelu liniowego otrzymanego po transformacji prognozowanej zmiennej Średni błąd ex ante prognozy dla zmiennej Y (pierwotnej):

13. Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego • Przykład 3. Wartość produkcji (Yt w mld zł) w pewnym przedsiębiorstwie w latach 1993 – 2002 kształtowała się następująco: • a) oszacować parametry strukturalne i parametry struktury stochastycznej funkcji trendu; • b) wyznaczyć prognozę kształtowania się wartości produkcji w kolejnych latach 2003, 2004 i 2005; • c) ocenić dokładność dokonanej predykcji.

14. Postać modelu trendu wykładniczego ●na podstawie analizy graficznej (a także na podstawie analizy przyrostów) dla danych produkcji najbardziej odpowiednia będzie funkcja wykładnicza postaci: gdzie: t - zmienna czasowa (t=1,2,…10) ▪ Parametry tej funkcji można oszacować MNK po uprzednim sprowadzeniu jej do postaci liniowej poprzez logarytmowanie:

15. ▪ wektor ocen parametrów modelu trendu wykładniczego (modelu sprowadzonego do postaci liniowej) obliczamy ze wzoru: lub ze wzorów: Estymacja parametrów strukturalnych modelu trendu wykładniczego

16. Estymacja parametrów strukturalnych modelu trendu wykładniczego

17. Estymacja parametrów strukturalnych modelu trendu wykładniczego

18. Weryfikacja modelu trendu wykładniczego • Parametry struktury stochastycznej obliczamy dla modelu w postaci liniowej. • Całość wyników (obliczenia w Excel) można zapisać następująco: • Model jest dobrze dopasowany do danych empirycznych (parametry strukturalne są statystycznie istotne, współczynniki φ2 i V przyjmują wartości stosunkowo małe). • Stwierdzenie to pozwala powrócić do postaci pierwotnej funkcji trendu, tzn. do funkcji wykładniczej przez odlogarytmowanie.

19. Postać modelu trendu wykładniczego ●otrzymamy wówczas: ▪ czyli funkcję wykładniczą postaci: Interpretacja: Można zatem stwierdzić, iż średni poziom produkcji w badanym przedsiębiorstwie w 1992 roku (t=0) wynosił 2,47 mld zł, a w rozpatrywanym okresie średnioroczna stopa wzrostu wynosiła 1,266; czyli co roku wartość produkcji wzrastała średnio o 26,6%.

20. Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego Sposób obliczenia prognozy punktowej: Stąd Produkcja w latach 2003 -2005 będzie wynosiła kolejno 33,2, 42,1 oraz 53,3 mld zł .

21. Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego Ocena ex ante średniego błędu logarytmu zmiennej Y: oznaczenia: jest wariancją resztową z modelu liniowego otrzymanego po transformacji prognozowanej zmiennej. Średni błąd prognozy dla zmiennej Y:

22. Prognozy produkcji