MATHEMATIQUES DISCRÈTES Chapitre 2 (section 6)

1. MATHEMATIQUES DISCRÈTESChapitre 2 (section 6) François Meunier DMI

2. Matrices • Une matrice est une structure (tableau) rectangulaire d’objets (ex: nombres). • Une matrice mn (“m par n”) a m rangées, et n colonnes. • Une matrice nn, est une matrice carrée dont l’ordre, le rang est n. Matrice de 32

3. Applications des Matrices • Résolution de systèmes d’équations linéaires • Graphisme par ordinateur, Traitement d’image • Utilisées beaucoup en informatique et ingénierie • Mécanique Quantique, Programmation Quantique

4. Égalité de matrices • Deux matrices A et B sont considérée égales ssi elles ont le même nombre de rangées et de colonnes et leurs éléments sont égaux.

5. Ordre des Rangées et des Colonnes • Chaque rangée d’une matrice est étiquetée de 1 à m du haut vers le bas. Les colonnes sont étiquetées de 1 à n de gauche à droite. Les éléments sont identifiés par un numéro de rangée et de colonne.

6. Somme de Matrices • La sommeA+B de deux matrices A, B(de même dimension) est la matrice (aussi de même dimension) obtenue en additionnant chaque éléments i,j de A et B. A+B = [ai,j+bi,j]

7. Produits matriciels • Pour une matrice mkA et une matrice knB, le produitAB est une matrice mn: • i.e., les éléments i,j de AB sont déduits par le produit scalaire des vecteurs correspondant à la i ième rangée de A et la j ième colonne de B (considérée comme des vecteurs). • Notez: La multiplication matricielle n’est pas commutative

8. Exemple de produit Matriciel • Multiplication matricielle:

9. Matrices Identités • Une matrice identité d’ordre n, In, est une matrice carrée de rang-n avec des 1s sur la diagonale Iii, et des 0s ailleurs. 1≤i,j≤n n Delta de Kronecker n

10. Inversion de Matrices • Pour certaines matrices carrées A, il existe un inverse multiplicatifuniqueA−1 de A, une matrice telle que A−1A = In. • Si l’inverse existe, elle est unique, et A−1A = AA−1.

11. (m) (n) (1) (k) (1) Algorithme de Multiplication de matrice procédurematmul(matrices A: mk, B: kn) pouri := 1 àm faire pourj := 1 ànfaire cij := 0 pourq := 1 àk faire cij := cij + aiqbqj fin fin fin{C=[cij] est le produit de A et B} Quelle est le  de la complexité temporelle? Réponse:(mnk)