نتيجة:

1. نتيجة: إذا مدّ أحد أضلاع مثلث,فالزاوية الخارجية تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين المقابلتين لمجاورتها . البرهان: نفرض أن ABC مثلث مدّ ضلعه BCإلى نقطة D , والمطلوب إثباته أن ∡ACD=∡A+∡Bولإثبات ذلك لاحظ أن (∡A)+m(∡B )+m(∡ACB)=180°m حسب نظرية (2-2-36) , لكن m(∡ACD)+ m(∡ACB)=180° إذاً m(∡ACB)= m(∡ACD)180° - وعليه فإن A+∡B=∡ACD∡

2. وأخيراً إلى بعض مكافئآت مسلمة التوازي والمبرهنة الآتية : • نظرية 2-2-37 : • العبارات الآتية متكافئة . • مسلمة هلبرت للتوازي. • مسلمة اقليدس الخامسة. • إذا قطع مستقيم مستقيمين متوازيين فكل زاويتين متبادلتين متطابقتان . • المستقيمان المتوازيان يكونان على بعد ثابت من بعضهما . • يوجد مثلث مجموع قياسات زواياه 180° . • يوجد مثلث قائم الزاوية مجموع قياسات زواياه يساوي 180° . • يوجد مستطيل . • مجموع قياسات زوايا أي مثلث قائم الزاوية يساوي180° . • مجموع قياسات زوايا أي مثلث يساوي 180° .

3. البرهان : • (ب) مسلمة اقليدس الخامسة. • ⟸(ج) إذا قطع مستقيم مستقيمين متوازيين فكل زاويتين متبادلتين متطابقتان . نفرض أن المستقيم ℳقطع المستقيمين المتوازيين ℒ,K في A,B.والمطلوب إثباته أن CAB≅∡ABF∡ ولإثبات ذلك نفرض أن CAB≇∡ABF∡ إذاً إما CAB<∡ABF∡ أو CAB>∡ABF∡ حسب نظرية (2-2-18أ) فإذا كانتCAB<∡ABF∡ فإن CAB+∡ABE<∡ABF+∡ABE∡ . لكن m (∡ABE)+m(∡ABF)=180° إذاً 180°<( m(∡CAB)+m(∡ABE, وعليه فإن المستقيمين ℒ ,Κ يلتقيان حسب( ب) وهذا خلاف الفرض .وبنفس الطريقة يمكن ان نثبتCAB ∡ لا يمكن أن تكون أكبر من ABF∡ . إذاً CAB≅∡ABF∡

4. (ج)إذا قطع مستقيم مستقيمين متوازيين فكل زاويتين متبادلتين • متطابقتان . • ⟸ (د) المستقيمان المتوازيان يكونان على بعد ثابت من بعضهما . • نفرض أن Κ , ℒمستقيمان متوازيان، A,B نقطتان • مختلفتان على Κ نرسم الأعمدة AC ,BD على المستقيم , ℒإذاً BD//AC حسب نتيجة (3) من نظرية (2-2-20). نصل AD فنجد أن BAD∡≅ADC∡ وADB∡ ≅ CAD∡ حسب (ج), • AD ≅AD وعليه فإن المثلثين ACD , ABD متطابقان حسب (2-2-20) ومن التطابق ينتج أن BD ≅ AC وعليه • فإن │BD│=││AC .

5. (هـ) يوجد مثلث مجموع قياسات زواياه 180° . • ⟸(و) يوجد مثلث قائم الزاوية مجموع قياسات زواياه يساوي 180° . • نفرض أن ABC مثلث مجموع قياسات زواياه يساوي 180° . ننزل من A العمود AD على BC حسب نظرية (2-2-15) , إذاً المثلثان ADB ,ADC قائمي الزاوية في D . ولنفرض أن مجموع قياسات زوايا الأول يساوي α ومجموع قياسات زوايا الثاني يساوي β . إذاً α + β = 2 (90°) = 180°, لكن180° ≥ α حسب نظرية (2-32) , إذاً إذا كان180° > α فإن 180°< β و هذا يناقض نظرية (2-2-32) . إذاً 180° = α • وعليه يوجد مثلث قائم الزاوية مجموع قياسات • زواياه يساوي 180° . A B C D

6. (ح) مجموع قياسات زوايا أي مثلث قائم الزاوية يساوي180° . • ⇐(ط)مجموع قياسات زوايا أي مثلث يساوي 180° . • ليكنABC مثلثاً . ننزل من A العمود AD على BC، انظر الشكل ( 2-34أ) . إذاً كل من ADC,ADBمثلث قائم الزاوية في D، وعليه فإن مجموع قياسات زوايا كل منهما يساوي 180°، وبالتالي فإن m(∡BAD)+m(∡B)=90°، m(∡CAD)+m(∡C)=90° وعليه فإنm(∡BAD)+m(∡CAD)+m(∡B)+m(∡C)=180° • وبالتالي فإن m(∡A)+m(∡B)+m(∡C)=180°

7. بعض محاولات إثبات مسلمة اقليدس الخامسة للتوازي: م5:إذا قطع مستقيم مستقيمين وكان مجموع الزاويتين الداخليتين الواقعتين على جهة واحدة من القاطع أقل من قائمتين فإن المستقيمين يلتقيان إذا مدا في تلك الجهة من القاطع . 1- محاولة بطليموس:- بطليموس القلوذي (87م-165م) ولد في صعيد مصر و عاش في الإسكندرية,وكان عالماً في الرياضيات والفلك والجغرافيا والعلوم الطبيعية,اقترن اسمه بكتاب له اسمه المجسطي,أو التصنيف العظيم في الحساب,حاول إثبات المسلمة الخامسة بإثبات نظرية(29) في الأصول (إذا قطع مستقيم مستقيمين متوازيين ,فكل زاويتين متبادلتين متطابقتان) كاالآتي :

8. ليكن L,Kمستقيمين متوازيين قطعهما المستقيم m فيA , B و لنفرض أن m(∡1)+m(∡2)<180° إذاً بما أن التوازيفي الجهة اليمنى من القاطع هو نفس التوازي من الجهة اليسرى ,إذاً مجموع قياسات الزاويتين الداخلتين على يمين القاطع يساوي مجموع قياسات الزاويتين الداخليتين على يسار القاطع , وعليه فإن m(∡3)+m(∡4)<180° وبالتالي فإن m(∡1)+m(∡2)+m(∡3)+m(∡4)<360°, وهذا غير ممكن,لأن كلاً من ∡2+∡4 , ∡1+∡3زاوية مستقيمة . وبالمثل يمكن أن نثبت أن m(∡1)+m(∡2) لا يمكن أن يكون أكبر من 180° إذاً m(∡1)+m(∡2)=180° , لكن m(∡2)+(∡4)=180° إذاً m(∡1)=m(∡4)وعليه فإن ∡1≅ ∡4 A

9. ملاحظه لاحظ أن هذا البرهان يعتمد على مسلمة تنسب إلى بليفرتنص على”أنه يمكن رسم مواز واحد لمستقيم معلوم من نقطه خارجة عنه .وهذه تكافىء المسلمة الخامسة , ولاحظ أيضاً أن نظرية (29) في الأصول تكافئ المسلمة الخامسه أيضا حسب نظرية(2-2-37) 29 - إذا قطع مستقيم مستقيمين متوازيين ، فإن كل زاويتين متبادلتين متساويتان ، وإن كل زاويتين متناظرتين متساويتان ، وإن مجموع الزاويتين الداخلتين الواقعتين على جهة واحدة من القاطع يساوي قائمتين . ************************ 2-محاولة بروكلس بروكلس(410-485م)رياضي وفيلسوف ومؤرخ يوناني حاول إثبات المسلمة الخامسة بإثبات مسلمة مكافئة لها هي مسلمة بليفر وكان إثباته كالأتي:

10. لتكنA∉ ℒ , و ليكن Kمستقيماً ماراً بالنقطة Aموازياً للمستقيم ℒ, و ليكن AB⊥ ℒ, ولنفرض أنmمستقيماً آخراً يمر بالنقطة A وموازياً للمستقيمℒ,إذاًm يصنع زاوية حادة مع ABعلى أحد طرفي AB و ليكن الأيمن , إذاً يكون الجزء الأيمن من المستقيم mواقع كلياً في المنطقة المحددة بالمستقيمات K,ℒ,AB فإذا كانتCنقطة منKواقعة على يمينA,وكان CDعموداً على DويقطعmفيE,فإنCD>CE . وإذا تحركت النقطة Cعلى المستقيمKمبتعدة عنA,فإنCEيزداد بلا حدود . وحيث إنCEيكون على الأقل مساوياً لبعد العمود النازل من Cعلىm,فإنCDيزداد بلا حدود أيضاً,وهذا يناقض نظرية (2-2-37) التي تنص على أن البعد بين مستقيمين متوازيين ثابت لا يتغير. إذاً Kهو المستقيم الوحيد المار بالنقطة Aوالموازي للمستقيمℒ.

11. لاحظ أن البرهان أعلاه يفترض ثلاث فرضيات: (أ) إذا تقاطع مستقيمان فإن بعد إحداهما عن الآخر يزداد بلا حدود كلما ابتعدناعن نقطة التقاطع.(ب) أقصر مسافة بين مستقيم ونقطة خارجة عنه , هو العمود النازل من تلك النقطة إلى ذلك المستقيم.(ج) البعد بين مستقيمين متوازيين ثابت لا يتغير. يمكن إثبات أ,ب دون الاعتماد على مسلمة التوازي,لكن (ج) تكافئ مسلمة التوازي حسب نظرية (2-2-37) 3-محاولة ابن الهيثم:- وُلد الحسن بن الهيثم في البصرة سنة345ه -965م,وتوفي في مصر عام 430ه - 1039م, وهو عالم مسلم له مكانة مرموقة في الرياضيات والفلك والفيزياء,تعرض لنظرية المتوازيات في كتابين,الأول:(شرح مسلمات إقليدس في الأصول), والثاني:(حل شكوك كتاب أقليدس في الأصول وشرح معانية),ففي كتابه الأول وضع طريقة لرسم المتوازيات مؤداها (أن المستقيمات المتوازية ليست إلا خطوطاً يكون البعد بينها متساوياً دائماً) وهذا التعريف يكافئ المسلمة الخامسة حسب نظرية (2-2-37)

12. ولإثبات المسلمة الخامسة,بدأ ابن الهيثم بدراسة خط عمودي على امتداد مستقيم,وانطلاقاً من مفهوم الحركة البسيطة, أي حركة الانتقال المتجانس على طول خط مستقيم, لقاطع عمودي. برهن ابن الهيثم أن العمود الذي يبقى طرفه ا لآخر على نفس الخط ,يرسم خطأ مستقيماً, ثم يدرس مضلعاً رباعياً فيه ثلاث زوايا قوائم ويطرح ثلاثة احتمالات للزاوية الرابعة , وهي إما حادة أو منفرجة, أو قائمة , وبعد أن يدحض الاحتمالين الأولين معتمداً على مبرهنة القائلة أن النقطة القصوى للخط العمودي المتحرك ترسم خطاً مستقيماً , برهن على وجود مستطيل,ومنه يستنتج المسلمة الخامسة , لاحظ أن وجود مستطيل يكافئ المسلمة الخامسة , نظرية(2-2-37)

13. التشابه Similarity يضم هذا البند تعريف التشابه، ودراسة الخواص التي يجب توفرها في مثلثين ليكونا متشابهين، إضافة لنظرية طالس وبعض نتائجها، ودراسة العلاقة بين مساحتي مثلثين متشابهين، واستنتاج نظرية فيثاغورث منها، ثم إثبات معكوسها، ونبدأ بما يأتي: نظرية (2-4-1) )نظرية قاعدة التناسب(: كل مستقيم موازٍ لأحد أضلاع مثلث يقطع الضلعين الآخرين قطعاً متناسباً مع هذين الضلعين.

14. البرهان: ليكن ABC مثلثاً، D,E نقطتين على AB, ACبحيث أن ولكي نثبت أن نصل CD , BEإذاً إذا كانت BD قاعدة المثلث BDE وكانت AD قاعدة المثلث ADE، فإن لكل منهما نفس الارتفاع h، لأنه يمكن إقامة عمود وحيد على مستقيم معلوم من نقطةخارجة، وإذا رمزنا لمساحة المثلث بالرمز a فإن مساحة المثلث تساوي نصف القاعدة في الارتفاع، وعليه فإن : ....... (1) وبالمثل إذا كانت AE، CE قاعدتي المثلثين CDE , ADE، فإن لهذين المثلثين نفس الارتفاع، وعليه فإن: ....... (2) لكن للمثلثين CDE , BDEنفس القاعدة DE، ونفس الارتفاع؛ لأن والبعد بين مستقيمين متوازيين ثابت لا يتغير حسب نظرية (2-2-38). إذاً a (∆ BDE) = a (∆ CDE) ...(3). ومن (1)، (2) ، (3) نجد أن: ومنه نجد أن: ، وعليه فإن

15. نتيجة: 1 ( نظرية الإسقاطات المتعامدة ) إذا قطع المستقيمين T1, T2المستقيمات المتوازية k, ℒ, ℳفيA, B, C و D, E, F على الترتيب، فإن البرهان: نصل AF فيقطع ℒ في نقطة مثل G، إذاً وعليه فإن: وبالتالي فإن إذاً وعليه فإن

16. نتيجة 2 (نظرية طالس): إذا قطع مستقيم عدة مستقيمات متوازية، فإن أطوال أجزاء القاطع متناسبة مع أطوال الأجزاء المقابلة المحددة بهذه المتوازيات على أي قاطع آخر. البرهـــان: نفرض أن K, ℒ, M, N أربعة مستقيمات متوازية قطعها المستقيمان، T1, T2 في النقاط A, B, C, D, E, F, C, H، وكان والمطلوب إثباته أن ولإثبات ذلك لاحظ أن: حسب نتيجة (1)، لكن بالفرض. إذاً

17. وكحالة خاصة من نتيجة (2) نورد ما يلي: نتيجة (3) إذا قطع مستقيم عدة مستقيمات متوازية ، وكانت أجزاء القاطع المحصورة بين هذه المتوازيات متساوية، فإن الأجزاء المحصورة بينها لأي قاطع آخر متساوية أيضاً. نتيجة (4) المستقيم المرسوم من منتصف أحد أضلاع مثلث متوازياً لضلع ثان فيه ينصف الضلع الثالث. البرهان : ليكن ABC مثلثاً، نصف ضلعه AB في D، ورسم موازيا لفلاقى AC في E، ولكي نثبت أن E تنصف AC، نرسم من Aالمستقيم ℒ موازياً إلى فنجد أن ℒ , , ثلاث مستقيمات متوازية قطعها المستقيمين AEC , ADBوكان ، إذاً حسب نتيجة (3) وعليه فإن E منتصف AC . A ℒ E D B C

18. نتيجة (5) : المستقيم الواصل من رأس الزاوية القائمة في المثلث القائم الزاوية إلى منتصف الوتر يساوي نصف الوتر. البرهان: نفرض أن ABC مثلث قائم الزاوية في B ، وقد نصف وتره AC في D ووصل BD، ولكي نثبت أن نرسم من Dالمستقيم موازياً إلى فيلاقي في E. إذاً E تنصف AB حسب نتيجة (4) . وعليه فإن لكـن , بالفرض ، إذاً حسب نظرية (2-2-33) وعليه فإن المثلثين AED, BED متطابقان حسب مسلمة (ت6)، ومن التطابق ينتج أن لكن بالفرض ، إذاً

19. نظرية : 2-4-2: إذا كان ABC مثلثاً ، وكانت A*E*C , A*D*Bو ، فإن تعريف2-4-1 يُقال عن مثلثين أنهما متشابهان ، إذا تناسبت أضلاعهما المتناظرة ، وتطابقت زواياهما المتناظرة . إذاً المثلثان ABC,DEF متشابهان ونكتب إذا وجد تقابل بين الرؤوس بحيث إن و . يعبر عادة عن التقابل بين الرؤوس بالشكل .لاحظ أن علاقة التشابه بين المثلثات علاقة تكافؤ ، كما أنه إذا تشابه مثلثين، فكل مثلث متطابق مع أحدهما يكون متشابهاً مع الآخر.

20. والآن إلى بعض الشروط التي يجب توفرها ليتشابه مثلثين : نظرية 2 – 4 – 3: نظرية التشابه AAA يتشابه مثلثان إذا تطابقت زواياهما المتناظرة. • نتيجة 1: إذا وجد تقابل بين مثلثين وتطابقت زاويتين من احدهما مع زاويتين من الآخر ،فإن المثلثين متشابهين . • نتيجة 2: كل مستقيم مواز لأحد أضلاع المثلث ،يحدد مع الضلعين الآخرين مثلثا مشابها لذلك المثلث . • البرهان : نفرض أن ABCمثلث،فيه // .إذاً حسب نظرية (2-2-33أ).لكن إذاً المثلثان ABC , ADE متشابهان حسب نتيجة (1)

21. نظرية 2-4-4نظرية التشابه SAS يتشابه مثلثان إذا تطابقت زاوية من أحدهما مع زاوية من الآخر, وتناسب ضلعا إحدى هاتين الزاويتين مع ضلعي الزاوية الأخرى • البرهان : نفرض وجود تقابلABCDEF بحيث أن ، ولتكن G,  Hبحيث أن DFAH و ADAG.إذاً المثلثان DEF , AGH متطابقان حسب مسلمة (ت6) وعليه فإن . لكن // حسب نظرية (2-4-2) ، إذاًB AGHحسب نظرية (2-2-33أ) . ولكن A A،إذاً AGHABCحسب نتيجة (1) من نظرية (2-4-3) لكن AGH DEF إذاً DEFABC.

22. نظرية (2-4-5) : إذا وجد تقابل بين مثلثين وتناسبت أضلاعهما المتناظرة ، فإن المثلثين متشابهان . نظرية (2-4-6) : إذا تشابه مثلثين ,فإن مساحة الأول إلى مساحة الثاني كنسبة مربع أي ضلع في المثلث الأول إلى مربع الضلع المناظر له في المثلث الثاني . البرهان : نفرض أن ABC,DEFمثلثان متشابهان , ولكي نثبت أن ’ لاحظ أن مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب طول ضلعين معلومين في جيب الزاوية المحصورة بينهما إذاً 2a(DEF)=|DE||EF|Sin(E),2a(ABC)=|AB||BC|Sin(B) لكن B E لأن المثلثين متشابهين بالفرض , إذاً Sin(B)=Sin(E)وعليه فإن:

23. نتيجة ( نظرية فيثاغورث ) في المثلث القائم الزاوية يكون المربع المنشأ على الوتر يساوي مجموع المربعين المنشأين على الضلعين الآخرين . إذا تشابه مثلثين ,فإن مساحة الأول إلى مساحة الثاني كنسبة مربع أي ضلع في المثلث الأول إلى مربع الضلع المناظر له في المثلث الثاني . البرهان: نفرض أن ABCمثلث قائم الزاوية في Bوالمطلوب إثباته أن: ولإثبات ذلك ننزل عموداً من Bعلى ACفيلاقيه في D، إذا وعليه فإن لكنABCABDCBD إذاً حسب نظرية (2-4-6) وعليه فإن .

24. و أخيرا إلى معكوس نظرية فيثاغورث. نظرية 2-4-7 : إذا كان مربع طول أحد أضلاع مثلث يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين, فإن المثلث قائم الزاوية . البرهان : ليكنABCمثلثا فيه والمطلوب إثباته أن ABCمثلث قائم الزاوية في B, ولإثبات ذلك. لتكن E قائمة, ولتكن F,Dنقطتين على ضلعيها بحيث أن , نصل DF فنجد أن DEFمثلث قائم الزاوية في E، وعليه فإن ، وعليه فإن . إذاً حسب نظرية (2-2-21)، ومن التطابق ينتج أن E  B وعليه فإن B قائمة. نظرية 2-2-21: يتطابق مثلثان إذا طابقت الأضلاع الثلاثة من أحدهما نظائرها من الآخر.

25. تعريف: إذا كان المستقيم L والدائرةG واقعين في مستو واحد فيقال عن L أنه مماس للدائرة G، إذا كان يقطع G في نقطة واحدة فقط، يطلق على تلك النقطة نقطه التماس. 2-5 الدائرة :نتناول في هذا البند علاقة مستقيم بدائرة وعلاقة الأقواس بالزوايا وبعض نتائجها. نظرية 2-5-1: العمود على نصف قطر دائرة عند نقطة التقاء نصف القطر مع الدائرة يكون مماسا لتلك الدائرة. نظرية 2-5-2: المماس يكون عموديا على نصف القطر عند نقطة التماس يمكن رسم مماسين فقط لدائرة من نقطة خارجة عنها نظرية 2-5-3:

26. نظرية 2-5-4 إذا رسم مماسان لدائرة من نقطة خارجة عنها, فإن : (أ) القطعتين منهما، المحصورتين بين النقطة الخارجة ونقطتي التماس متطابقتان. (ب) القطعة الواصلة بين النقطة الخارجة ومركز الدائرة تنصف الزاوية بين المماسين. • البرهان : • لتكن B نقطة خارجة عن الدائرة Gالتي مركزهاC , وليكن مماسين منB للدائرة G. نصلCB, إذا لكن حسب نظرية (2-5-1), إذا حسب نظرية (2-2-22), ومن التطابق ينتج أن , ABC  CBD . نظرية (2-5-1): العمود على نصف قطر دائرة عند نقطة التقاء نصف القطر مع الدائرة يكون مماسا لتلك الدائرة.

27. إذا قطع مستقيم داخل دائرة ( مجموعة النقاط التي يكون بعدها عن مركز الدائرة اقل من نصف قطر الدائرة )، فإنه يقطع تلك الدائرة في نقطتين فقط. نظرية 2-5-5 والآن إلى دراسة العلاقة بين الأقواس والزاوية, والتعريف الآتي: • تعريف 2-5-2 : • لتكن G دائرة مركزها C , وAB ليس قطرا لها. • (أ) يقال عن انه قوس صغير ( Minor arc ) في الدائرة G’ إذا كان , حيث يمثل داخل الزاوية ACB. • (ب) يقال عن انه قوس كبير (Macro Arc ) في الدائرة G, إذا كان , حيث يمثل خارج الزاوية ACB .

28. ملاحظة إذا كانDنقطة على القوس AB تختلف عن كل من A,B عبر عن القوس بالشكل تعريف 2-5-3 قياس الدرجة Degree Measure لقوس من دائرة هو قياس الزاوية المركزية المقابلة لهذا القوس. وعليه إذا كان قوساً في دائرة مركزها Cفإن: (أ) إذا كان القوس صغيراً. (ب) إذا كان القوس نصف دائرة. (ج) إذا كان القوس كبيراً.

29. نظرية 2-5-6 إذا كان قوسين في دائرة مركزها C. يشتركان فقط في النقطة B, فإن وأخيراً إلى المبرهنة التي تربط العلاقة بطول قوس والزاوية المحيطية المقابلة له، وبعضها نتائجها. نظرية 2-5-7 الزاوية المركزية تساوي ضعف الزاوية المحيطية المقابلة لنفس القوس. أو بعبارة أخرى: قياس الزاوية المحيطية تساوي نصف قياس القوس المقابل لها. نتيجة 1: الزاوية المرسومة في نصف دائرة تكون قائمة.

30. نتيجة 2: • الزاويتان المتقابلتان في الشكل الرباعي الدائري( شكل رباعي كل رؤوسه الأربعة تنتمي إلى الدائرة نفسها ) متكاملتان. البرهان : نفرض أن ABCD شكل رباعي دائري، ولكي نثبت أن: نصل DE, BEفنجد أن: حسب نظرية (2-5-7). وعليه فإن ومنه ينتج أن ، وعليه فإن A, Cمتكاملتان، وبالمثل يمكن أن نثبت بأن B, D متكاملتان أيضاً.

31. الفصل الثالث: الهندسة الاقليدية المجسمة تهتم الهندسة المجسمة بدراسة الأشكال التي تقع في الفضاء ثلاثي الأبعاد، وتستنتج العلاقات بيت المستقيمات والمستويات،إضافة لقياس مساحات وحجوم الأشكال. ولاستحداث تعاريف ومفاهيم جديدة نضيف إلى مسلمات هلبرت الواردة في البند الثاني من الفصل الثاني ثلاث مسلمات خاصة بالمستوى، ثم نركز اهتمامنا على العلاقة بين مستقيم ومستو، وبين مستويين أو أكثر، فالإسقاط العمودي والزاوية بين مستقيم ومستو، والزاوية بين مستويين.

32. 3-1: المستوي ومسلماته: نورد في هذا البند أربعة مسلمات تساعدنا في تحديد طـرق تعيين مستو وتحدد علاقة التقاطع بين مستقيم ومستو،وهي: المسلمة الأولى (و3) : المستوى مجموعة من النقاط ويحوي على الأقل ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة . المسلمة الثانية: إذا كانت A,B نقطتين في المستوى E، فان المستقيم المار بهما يقع في المستوى E . المسلمة الثالثة: كل ثلاث نقاط ليست على استقامة واحـــــدة تعين مستويا واحدا. المسلمة الرابعة: إذا تقاطع مستويان، فان تقاطعهما مستقيم. المسلمة الخامسة: توجد على الأقل أربع نقاط لا تقع جميعهــا في مستو واحد. نستنتج من مسلمة (1) أن أي مستوي يـــــحوي على الأقل ثلاثة مستقيمات، وعليه فإن أي مستوى يحوي عدد لا نهائي من النقاط حسب نتيجة نظرية (2-2-8). نتيجة النظرية: كل مستقيم يحوي عدد لا نهائي من النقاط.

33. نظرية 3-1-1: أي مستقيمين متقاطعين يعينان مستوياً واحداً. البرهان: نفرض أن K,L مستقيمان متقاطعان في A.إذا توجد نقطتان B,C مختلفتان عن A بحيث أن حسب مسلمة (و3) وعلــيه فإن A,B,C ثلاث نقاط ليست علـــى استقامة واحدة، وبالتالي فإنـها تعين مستويا وحيدا حسب مسلمة (3)، ولكنK ,L يقعان في ذلك المستوى حسب مسلمة (2).إذاL,Kيعينان مستوياً وحيداً. نتيجة 2: كل مستقيمين متوازيين يعينان مستويا وحيدا. البرهان: نفرض أن K,L مستقيمان متوازيان. إذا توجد نقطة مثل A على K بينما، وعليه فإن K,L يعينان مستوياً وحيداً حسب نتيجة (1). نتيجة 1: كل مستقيم ونقطة خارجة عنه يعينان مستويا وحيدا. البرهان: ليكنL مستقيما، . إذاً من أي نقطة مثل B على Lنــصل AB فنحصل على المستقيم Kالذي يقطع L في B. وعليه K,L يعينان مستوياً وحيداً حسب نظرية (3-1-1). نظرية 3-1-2:إذا تقاطع مستقيم مع مستو لا يحتويه،فإنهما يتقاطعان في نقطة واحدة.

34. البرهان:نفرض أن المستقيم L يقطع المستوي E،ولنفرض أن . إذاً حسب مسلمة (و1) . لكن محتوى فيE حسب مسلمة (2). إذاً وهذا يناقض الفرض.إذاًL يقطعE في نقطة واحدة فقط . ليكن L مستقيما في المستويE،ولتكن . إذاً يوجد مستقيم واحد فقط في Eعموديا على Lحسب نظرية (2-2-15) . أما إذا كان فيوجد عدد لا نهائي من الأعمدة على Lعند A، لوجود عدد لا نهائي من المستويات التي تحويL وفي كل منها يوجد عمود على L عند A وعليه يمكن تعريف تعامد مستقيم ومستـوي كالآتي: إذاً إذا كانت ، وكان L عموديا على كــل مستقيم في E يمر بالنقطة A، فإن Lعمودي على E، وعندئذ نكتب . 3-2 تعامد مستقيم ومستو: النظرية(2-2-15): يمكن اقامة عمود على مستقيم معلوم من نقطة مفروضة.. تعريف 3-2-1:يقال عن مستقيم أنه عمودي على مستو، إذا كان عمودياً على جـميع المستقيمات المرسومة من أثره في ذلك المستوي.

35. البرهان:نفرض أن عندA،والمستقيمKعمودي علىLعندA.لكي نثبت أن . لــيكن D المستوي المعين بالمستقيمين K,L. إذاDيـقطعE في المستقيم Mالمار بنقطةAحسب مسلمة(4)، وعليه فإن لكن ،إذاً ، وعليه يوجد في D مستقيمين K,M عموديان على Lعنــد Aوهذا غير ممكن إلا إذا كان K=M. إذاً وعليه فإن E يحوي كل مستقيم عمودي علــى L عند A . والآن إلى دراسة بعض خواص التعامد. نظرية 3-2-1: إذا كان المستقيم Lعمودياً على المستويE عندA. فإنEيحوي كل مستقيم عمودي على LعندA. نظرية 3-2-2:إذا كان مستقيم عمودياً على مستقيمين متقاطعين عند نقطة تقاطعهما فإنه عمودي على المستوي الذي يعينانه.

36. نظرية 3-2-3:إذا كانت A نقطة واقعة على المستقيم L. فيوجد مستوياً واحداً فقط يحوي A ويكون عموديا على L. نتيجة:كل الأعمدة على مستقيم عند نقطة عليه تقع في مستو واحد عمودي على ذلك المستقيم. نظرية 3-2-4: إذا كانت A نقطة واقعة في المستوي E،فيوجد مستقيماً واحداً فقطA ويكون عمودياً على E. نتيجة 1:المستوى العمودي على أحد مستقيمين متوازيين يكون عمودياً على الآخر. البرهان:نفرض أن K,Lمستقيمان متوازيان، وأن عند A، والمستقيم L يقطع المستويE في B،إذاً إما L عمودي على E أو أن L ليس عمودياً علىE. فإذا كان Lليس عمودياً علىE، فليكن مستقيماً عموديــاً علىEعندB،إذاً . لكنوعليه يوجد مستقيمان موازيان للمستقيم Kمن نقطةوهذا يناقض مسلمة هلبرت للتوازي، إذاً ،وعليه فإن . نظرية 3-2-5: المستقيمان العمودان على مستو واحد متوازيان .