Taux de variation liés

1. Taux de variation liés Jacques Paradis Professeur

2. Plan de la rencontre • Volet historique • Élément de compétence • Exemple • Méthode de résolution • Exemples et exercices

3. Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716) • En 1676, il découvre le calcul différentiel, en même temps que Newton. Il publie en 1684 son traité sur les différentielles. • Plusieurs des notations utilisées actuellement en calcul différentiel et intégral ont été suggérées pour la première fois par Leibniz: dx, dy, dy/dx, d2y/dx2, Dy, D2y, Dny, , . • Il précise le « concept de fonction » (le terme est de lui, 1692) et de « fonction dérivée ». • On lui doit le terme « différentielle » que Newton appelle «fluxion». On lui doit aussi le terme de « coordonnées ». • Il précise les différentielles de u+v, uv et u/v. • Il souhaite algébriser les processus qui font appel à l’infini, afin de les rendre plus automatiques.

4. Élément de compétence • Résoudre des problèmes d’optimisation et de taux de variation • Résoudre des problèmes de taux de variation instantanés • Résoudre des problèmes de taux de variation liés • Reconnaître des problèmes de taux de variation liés • Résoudre des problèmes de taux de variation liés avec la règle de dérivation en chaîne • Résoudre des problèmes d’optimisation

5. Exemple • Supposons que x désigne le taux hypothécaire à un moment t et y, le nombre de maisons vendues à ce moment : • x : taux hypothécaire, y : nombre de maisons et t : temps • Supposons de plus que le lien entre x et y soit exprimé au moyen d’une équation*: • F(x,y) = k • En dérivant implicitement ce lien** par rapport à t, nous obtiendrons une équation liant dx/dt et dy/dt (lien entre le taux de variation du taux hypothécaire et le taux de variation du nombre de maison vendues) : • dx/dt : taux de variation du taux hypothécaire • dy/dt : taux de variation du nombre de maisons vendues • Ainsi connaissant le taux de variation du taux hypothécaire, nous pourrons calculer le taux de variation du nombre de maisons vendues à un moment donné.

6. Méthode de résolution • Lire attentivement le problème (relire au besoin, le nombre de fois qu’il faut); • 1. Identifier toutes les variables et faire un croquis si possible; • 2. Identifier le(s) taux de variation connu(s) et le taux de variation cherché; • 3. Formuler une équation liant les variables (Si nécessaire, éliminer une de des variables par substitution); • 4. Dériver l’équation implicitement par rapport à t; • 5. Isoler le taux de variation cherché et évaluer ce taux en remplaçant les variables par les valeurs appropriées.

7. Exemple 1 • Une étude préparée pour la Société canadienne d’hypothèque et de logement estime que le nombre de mises en chantier N(t) (mesuré en millions) de nouvelles constructions au Québec au cours des cinq prochaines années est lié au taux hypothécaire r(t) (en pour cent par année) par l’équation 9N2 + r = 36. Quel est le taux de variation du nombre de mises en chantier par rapport au temps lorsque le taux hypothécaire est de 3,5 % par an et croît au taux de 1,5 % par an? • Remarque : Prenez garde de ne pas remplacer les variables de l’équation obtenue à l’étape 3 par leurs valeurs numériques avant de dériver l’équation implicitement,étape 4.

8. Exercice 1 • Un manufacturier de disques compacts consent à fabriquer x milliers de coffrets de disques compacts chaque semaine lorsque le prix de gros unitaire des coffrets est p $. La relation entre x et p est modélisée par l’équation x2 – 3xp + p2 = 5. Quel est le taux de variation de l’offre lorsque le prix de gros d’un coffret est 11 $, que l’offre hebdomadaire se situe à 4000 coffrets et que le prix de gros des coffrets augmente de 0,10 $ chaquesemaine?

9. z y 1 200 Exemple 2 • Posté à une distance de 1 200 m de la rampe de lancement, une spectatrice assiste au lancement d’une fusée. Si celle-ci s’élève verticalement et que sa vitesse est de 175 m/s lorsqu’elle atteint une altitude de 1 100 m, à quelle vitesse la distance entre la spectatrice et la fusée varie-t-elle à ce moment précis? Rappel : théorème de Pythagore

10. y 5 x Exercice 2 • Un ouvrier se trouve au haut d’une échelle de 5 m appuyée contre un mur. Or, l’échelle commence à glisser vers le bas de telle sorte que le pied de l’échelle s’éloigne du mur. À quelle vitesse s’abaisse le haut de l’échelle à l’instant où le pied de l’échelle se trouve à 4 m du mur dont il s’éloigne au taux de 2 m/s?

11. 4 1,8 ombre (x) y Exemple 3 • Une personne mesurant 1,8 m s’éloigne d’un réverbère de 4 m de haut à une vitesse de 2,1 m/s. À quelle vitesse augmente la longueur de l’ombre de cette personne?

12. 4 1,8 y x Exercice 3 • Une personne mesurant 1,8 m s’éloigne d’un réverbère de 4 m de haut à une vitesse de 2,1 m/s. À quelle vitesse l’extrémité de l’ombre s’éloigne-t-elle du réverbère?

13. Devoir • Exercices 5.2, page 197, au complet • Exercices récapitulatifs, page 200, nos 9, 10, 12, 13, 14,15a, 15b et 15c (pour x = 1200 m seulement). 10a) Oui car la vitesse est de 41,6 km/h, b) 26,8 km/h 13a) 2016 cm3/s, 13b) 1512 cm3/s 15a) 3000 m, 15b) 6000 m et 120 s, 15c) -40 m/s • Problèmes synthèse, page 204, #1a, 1b, 1c, 2, 3a, 4, 5, 6, 7, 8 et 10 2a) 10 cm/s, 2b) 82 cm2/s 4a) 20 km/h, b) 18,52 km/h, c) 28 km/h 7a) -0,2 cm/min, 4,906 cm3, 15 min, 8 cm3.

14. Triangles semblables • On appelle triangles semblables les triangles qui ont la même forme mais qui sont de taille différente. •  DEC semblable au  ABC • Deux triangles sont semblables si tous leurs angles sont égaux deux à deux. • C = C, E = B et D = A • Si deux triangles sont semblables, alors les côtés opposés aux angles égaux sont proportionnels.

15. « La partie du meilleur n’est pas nécessairement le meilleur qu’on pouvait faire de cette partie, puisque la partie d’une belle chose n’est pas toujours belle. » Leibniz • « Ce sont les désordres dans les parties qui relèvent merveilleusement la beauté du tout. » Leibniz