240 likes | 616 Views
Matematinė analizė ir tiesinė algebra. 5-7 paskaitos. Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas. Funkcijos y = f(x) pirmykštė funkcija vadinama funkcija y = F (x) , su kuria galioja lygybė F’(x) = f(x) .
E N D
Matematinė analizė ir tiesinė algebra 5-7 paskaitos.
Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas • Funkcijos y=f(x)pirmykštė funkcija vadinama funkcija y=F(x), su kuria galioja lygybė F’(x)=f(x). • Jei funkcijos y=f(x)pirmykštė funkcija yra y=F(x), tai bet kuri kita funkcijos y=f(x)pirmykštė funkcija y=G(x) išreiškiama formule G(x)=F(x)+C, kur C – laisvoji konstanta. • Funkcijos y=f(x)neapibrėžtiniu integralu vadinama funkcijos y=f(x)pirmykščių funkcijų F(x)+C aibė: čia f(x) vadinama pointegraline funkcija, o sandauga f(x)dx – pointegralinių reiškiniu. • Iš integralo apibrėžimo aišku, kad
Neapibrėžtinio integralo savybės Pastovų daugiklį galima iškelti prieš integralo ženklą Funkcijų sumos integralas lygus šių funkcijų integralų sumai Tada bet kuriam dėmenų skaičiui n Skaičiuojant funkcijų sumos integralą, rašoma viena laisvoji konstanta
Integravimo metodai • Integravimas keičiant kintamąjį. Jeigu x=g(t) diferencijuojama funkcija, o t – naujasis integravimo kintamasis, tai Suintegravus, reikia grįžti prie seni kintamojo x • Integravimas dalimis. Jei u ir v diferencijuojamos funkcijos, tai
Neapibrėžtųjų koeficientų metodas • Šiuo metodu patogu integruoti racionaliąsias funkcijas: • Racionaliosios funkcijos integravimas. • Kai n≥k, daugianarį P(x) padaliję iš (x-c)k gauname kokį nors daugianarį Q(x) ir liekaną R(x), kurio laipsnis yra mažesnis už k: • Šią lygybę dalijame iš (x-c)k :
Neapibrėžtųjų koeficientų metodas • Integruodami gauname: • Teorema. Tarkime, R(x) yra m-jo yra laipsnio daugianaris ir m<k. Tuomet egzistuoja koeficientai A1, A2, ..., Ak su kuriais R(x) išreiškiamas formule • Šia tapatybę dalijame iš (x-c)k: • Koeficientai A1, A2, ..., Ak randami tapatybės dešiniojoje pusėje atlikus veiksmus ir sulyginus abiejų pusių koeficientus prie vienodų kintamojo x laipsnių.
Neapibrėžtųjų koeficientų metodas • Neapibrėžtųjų koeficientų metodas taikomas ir sudėtingesnėms racionaliosioms funkcijoms integruoti, • Teorema. Tarkime, P(x) ir Q(x) yra n-jo ir m-jo laipsnio daugianariai ir n<m. Tuomet jei Q(x) yra išreikštas kaip tai egzistuoja koeficientai A1, A2, ..., Ap , B1, B2, ..., Bq, ..., M1, M2, ..., Mr, N1, N2, ..., Ns, ... su kuriais
Racionaliųjų trupmenų integravimo algoritmas • Jeigu racionalioji trupmena netaisyklingoji, tai išskyrę sveikąją dalį (padaliję skaitiklį iš vardiklio), gauname taisyklingąją racionaliąją trupmeną. • Taisyklingosios racionaliosios trupmenos vardiklį išskaidome daugikliais. Jų gali būti 2 tipų: (x-α)pir (x2+ux+x)r, čia α – realioji vardiklio šaknis, o kvadratinių trinarių diskriminantai neigiami. • Priklausomai nuo vardiklyje gauto skaidinio, nagrinėjamą taisyklingąją racionaliąją trupmeną išreiškiame paprasčiausių racionaliųjų trupmenų suma. Jų gali būti 2 tipų: čia α, u, v, A, M, N – realieji skaičiai, k, l – natūralieji skaičiai, D=u2-4v<0 . • Randame neapibrėžtuosius koeficientus ir integruojame gautas paprasčiausias racionaliąsias trupmenas
Trigonometrinių reiškinių integravimas • Universalusis keitinys skaičiuojant trigonometrinės funkcijos R(x) integralą yra tg(x/2)=t, tada • Jeigu R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx)(t.y. pointegralinė funkcija nelyginė sinx atžvilgiu), tai rekomenduojamas keitinys cosx=t, tada • Jeigu R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx)(t.y. pointegralinė funkcija nelyginė cosx atžvilgiu), tai rekomenduojamas keitinys sinx=t, tada
Trigonometrinių reiškinių integravimas • Jeigu R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx), tai rekomenduojamas keitinys tgx=t, tada • Integralams ∫sin2nxdx ir ∫cos2nxdx skaičiuoti naudojamos formulės 6.
Iracionaliųjų funkcijų integravimas Integralas pakeičiamas trupmenos integralu, naudojant keitinį kur k lygus trupmenų m/n, ... , r/s bendrajam vardikliui. Atskiru atveju, vietoje gali būti ax+b arba x.
Iracionaliųjų funkcijų integravimas čia p = b/a, q = c/a. • Visais atvejais gautajame kvadratiniame trinaryje x2+px+q išskiriame pilną kvadratą ir tą dalį, kuri yra pakelta kvadratu, pažymime nauju kintamuoju t. • Tuomet gauname vieną iš trijų reiškinių:
Iracionaliųjų funkcijų integravimas Iracionalumui atsikratyti galime taikyti keitinius:
Apibrėžtinis integralas • Tegu funkcija y=f(x) yra tolydi intervale [a; b]. Taškais x1, x2, ...,xn-1šį intervalą padalykime į n intervalų. Pažymėkime a=x0, b=xn. Tuomet intervalas [a; b] yra n dalinių intervalų sąjunga. Šių dalinių intervalų ilgiai yra atitinkamai Δx1= x1 – x0 , Δx2= x2- x1, Δxn= xn - xn-1. Kiekviename daliniame intervale [xn-1;xn] laisvai pasirinkę po vieną tašką ck, sudarykime sumą kuri vadinama integraline suma. Tarkime, funkcija y=f(x) yra tolydi intervale [a; b], o - šios funkcijos integralinė suma, w=maxΔxk . Jei egzistuoja limw→0S , nepriklausanti nei nuo intervalo [a; b] skaidinio, nei nuo taškų ckpasirinkimo, tai ši riba vadinama funkcijos apibrėžtinių integralu intervale [a; b].
Apibrėžtinis integralas • Apibrėžtinis integralas žymimas simboliu čia a ir b vadinami integravimo rėžiais: a – apatiniu, b – viršutiniu; f(x) – pointegralinė funkcija; f(x)dx – pointegraliniu reiškiniu. • Jei intervale [a; b] egzistuoja funkcijos f(x) apibrėžtinis integralas, tai sakoma, kad funkcija f(x) yra integruojama intervale [a; b]. • Kiekviena tolydi uždarome intervale funkcija yra integruojama tame intervale. • Apibrėžtinis integralas yra kreivinės trapecijos, apribotos Ox ašimi ir funkcijos y=f(x) grafiku, kai a ≤ x ≤ b, plotas (jei intervale [a; b] funkcijos reikšmės yra neneigiamos f(x) ≥ 0). • Kai intervale [a; b] funkcijos f(x) reikšmės nėra teigiamos, t.y. f(x) ≤ 0, tai šios funkcijos apibrėžtinis integralas intervale [a; b] tenkina nelygybę
Apibrėžtinio integralo savybės • Niutono – Leibnico formulė. • Jei f(x) yra tolydi intervale [a; b], tai funkcija F(t), išreikšta apibrėžtiniu integralu su kintamuoju viršutiniu rėžiu, t.y. turi išvestinę F’(t)=f(t).
Apibrėžtinio integralo savybės Tarpinės reikšmės teorema. Jei funkcija y=f(x) yra tolydi intervale [a; b], tai yra toks skaičius c, a < c < b, kad galioja lygybė Skaičius f(c) vadinamas funkcijos y=f(x)tarpine reikšme intervale [a; b].
Netiesioginiai integralai • Tarkime, funkcija y=f(x) yra tolydi intervale [a; +∞). Funkcijos y=f(x)netiesioginiu integralu intervale [a; +∞) vadinama riba • Tolydžios intervale (-∞; a] funkcijos y=f(x) netiesioginiu integralu vadinama riba • Tolydžios intervale (-∞;∞) funkcijos y=f(x) netiesioginiu integralu vadinama riba • Jei netiesioginį integralą apibrėžianti riba egzistuoja, tai sakoma, kad šis integralas konverguoja, priešingu atveju – diverguoja.
Netiesioginių integralų savybės • Netiesioginiams integralams iš esmės galioja tokios pat savybės kaip ir apibrėžtiniam integralui, kurio rėžiai baigtiniai.
Netiesioginių integralų savybės • Niutono-Leibnico formulę apibrėžtiniam integralui skaičiuoti galima apibendrinti it taikyti skaičiuojant netiesioginius integralus. • Kaip ir apibrėžtinio integralo, netiesioginio integralo geometrinė prasmė yra tokia pati – tam tikros figūros plotas. Ši figūra, būdama begalinė, gali turėti ir baigtinį plotą (jei integralas konverguoja). Pavyzdžiui,