STORIA DELL’ALGEBRA

1. STORIA DELL’ALGEBRA C. S. Roero 2006-07 • ALGEBRA RETORICA xviii a. C.-III • ALGEBRA SINCOPATA III-XVI Diofanto • ALGEBRA SIMBOLICA XVI- Viète

2. Al-kitab al-muhtasar fi hisab al-giabr wa’l-muqabala Operazione del “completamento”, trasferimento di termini da un membro all’altro Arte di trasformare un’equazione in un’altra ad essa equivalente INCOGNITA Say’ =cosa Res latinoarte cossica, arte dei cossisti Coss tedesco

3. algebra Fino alla metà del XIX sec. l’Algebra era lo studio delle equazioni Serret 1866 Traité d’algèbre superieure LAGRANGE 1770 Proprietà di simmetria delle radici RUFFINI 1799 ABEL 1823 eqz di 5° non risolubile GALOIS 1830 teoria dei gruppi – strutture algebriche

4. EGITTO EQUAZIONI LINEARI 1 incognita Una quantità cui viene aggiunto un suo settimo diventa 19. Assumi come falsa risposta 7. Aggiungi 1/7 di essa alla medesima quantità e hai come risultato 8. Poi tante volte 8 deve essere moltiplicato per dare 19, quante 7 per dare il numero corretto. Così dividi 19 per 8. Ottieni 2+1/4+1/8. Ora moltiplica questo per 7. La risposta è 16+1/2+178. Prendi 1/7 di questa quantità e aggiungilo alla medesima, il risultato è il richiesto 19.

5. EGITTO EQUAZIONI 1 grado • Metodo di falsa posizione

6. MESOPOTAMIA • Incognita lunghezza uš • Larghezza say Area a-šà volume sahar • Tavoletta BM 13091 • 1-7 risoluzioni di equazioni 2° ad 1 incognita • 8-14 sistemi di 2 equazioni in 2 incognite (nella prima compare la somma dei quadrati, nella 2a la somma o la differenza o il rapporto o il prodotto delle incognite) • 15-24 esercizi e applicazioni , con numero qualsiasi di incognite

7. MESOPOTAMIA Metodi utilizzati • Completamento del quadrato • Semisomma e semidifferenza delle incognite

8. Ho addizionato la superficie e il lato del quadrato 0;45 Tu porrai 1 l’unità Tu dividerai in due l’unità: 0;30 e la moltiplicherai per 0;30: 0;15. Tu aggiungerai 0;15 a 0;45: 1 E’ il quadrato di 1. Tu sottrarrai 0;30 che hai moltiplicato da 1: 0,30. È il lato del quadrato. Problema 1 tavoletta BM 13901 Completamento del quadrato

9. Completamento del quadrato Si basa sull’identità analogamente

10. Ho sommato la superficie di due quadrati: 21,40, l’uno supera l’altro di 10 Tu dividerai in due 21,40, scriverai 10,50 Dividerai in due 10: 5 Moltiplicherai 5 per 5: 25 Sottrarrai 25 da 10,50: 10,25 Questo è il quadrato di 25 Scriverai 25 due volte Aggiungerai il 5 che hai moltiplicato al primo 25: 30, è il primo quadrato Sottrarrai 5 dal secondo 25: 20, è il secondo quadrato Semisomma e semidifferenzaproblema 9 tavoletta BM 13901

11. Semisomma e semidifferenza delle incognite

12. EuclideElementi libri II VI • Algebra geometrica • Applicazione delle aree

13. Elementi II.4 ab Se si divide a caso una linea retta, il quadrato di tutta la retta è uguale alla somma dei quadrati delle parti e del doppio del rettangolo compreso dalle parti stesse. b2 a2 ab

14. Applicazione delle aree ed equazioni • Applicazione parabolica (applicazione) Costruire un rettangolo di area data S su una base data b • Applicazione ellittica (mancanza) Costruire un rettangolo di area data S su una parte di un segmento dato b, in modo che l’altezza sia la parte rimanente del segmento • Applicazione iperbolica (eccesso) Costruire un rettangolo di area data S su un segmento dato b più un segmento aggiuntivo, in modo che l’altezza sia uguale al segmento aggiunto.

15. Applicazione parabolica (applicazione) Costruire un rettangolo di area data S su una base data b • Applicazione iperbolica (eccesso) • Applicazione ellittica (mancanza) S x b S x b-x S x x b+x

16. Elementi II.5 Se si divide una retta in parti uguali e disuguali, il rettangolo compreso dalle parti disuguali della retta insieme col quadrato della differenza fra le due parti, è uguale al quadrato della metà della retta. b b2 a2 a-b a a+b

17. D A C a-x K L H E G Se si divide una retta in parti uguali e disuguali, il rettangolo compreso dalle parti disuguali della retta insieme col quadrato della differenza fra le due parti, è uguale al quadrato della metà della retta. Elementi II.5 B M F ADHK applicazione ellittica Forma geometrica della formula risolutiva dell’equazione di 2°

18. L D N E G F M A C K B Elementi VI.27 in forma più generale e separando i casi in cui è possibile risolvere il problema Tra tutti parallelogrammi costruiti su uno stesso segmento e mancanti di parallelogrammi simili a quello descritto sulla metà del segmento dato è massimo quello costruito sulla metà del segmento dato ed è simile al parallelogramma mancante ACDL>AKFG

19. L D N E G M F C K A B Elementi VI.27 Diorisma: l’area da applicare non deve superare il quadrato costruito su metà base

20. DIOFANTO III sec. d. C. ARITHMETICA 13 libri problemi determinati e indeterminati I.27 Trovare due numeri tali che la loro somma e il loro prodotto siano numeri dati Condizione necessaria: Il quadrato della semisomma supera di un quadrato perfetto il prodotto

21. Diofanto Arithmetica I.27 Condizione necessaria: Il quadrato della semisomma supera di un quadrato perfetto il prodotto

22. Diofanto Arithmetica III.4 Problema indeterminato Trovare tre numeri tali che se il quadrato della loro somma è sottratto da ciascuno di essi, il resto sia un quadrato. Poniamo che la somma sia un aritmo x

23. Diofanto Arithmetica Algebra sincopata abbreviazioni per incognite • x S • x2y • x3 Ky • x4y • Il resto è scritto a parole, ad esempio

24. Confini dell’impero abbaside al tempo di Harun al-Rashid

25. storia CALIFFI – biblioteche, arabi chiedono ai bizantini libri come indennità di guerra MANSUR754-775 chiede a Bisanzio trattati matematici Euclide HARUN AL-RASHID786-809 incoraggia scienziati e traduzioni in lingua araba e siriaca Mille e una notte MAMUN813-833 sogno - Baghdad lacasa della saggezza

26. Scienze religiose Geografia Scienze linguistiche Scienze storiche Scienze giuridiche: diritto – computo di eredità, … Astrologia Teologia e filosofia Retorica Le scienze arabe VIII-XVI traduzioni Scienze fisiche: medicina – botanica – veterinaria – agraria Filosofia: logica – metafisica – fondamenti Matematica: aritmetica – geometria Astronomia Musica

27. EuclideElementi Data scritti di ottica di meccanica, … Archimede tutte le opere ApollonioConiche De sectione rationis Pappo Diofanto Arithmetica Nicomaco di Gerasa Erone diAlessandria TRADUZIONI di opere matematiche IX sec.

28. Scienze matematichecontributi principali • Algebra • Teoria delle equazioni di 2° e 3° grado • Algebra dei polinomi • Geometria • V postulato di Euclide • Costruzioni con riga e compasso • Teoria delle coniche • Aritmetica- numerazione posizionale indiana • Trasmissione di opere classiche

29. 790 - 850 AL-KHWARIZMIpadre dell’algebra • Algoritmi de numero indorum • Al-kitab al-muhtasar fi hisab al-giabr wa’l-muqabala Breve opera sul calcolo di spostare e raccogliere • Problemi su contratti commerciali • Teoria equazioni di 1° e 2° grado • Geometria e algebra • Divisione di eredità

30. 1 Igin 2 Andras 3 Ormis 4 Arbas 5 Quinas 6 Calcus 7 Zenis 8 Temenias 9 Celentis 0 Zephir Algoritmi de numeroindorum B. BoncompagniAlgoritmi de numeroindorum (Roma 1857) K. VogelMohammed ibn MusaAlchwarizm’s Algorithmus (Aalen 1963) Algoritmus algoritmo Evoluzione delle cifre indo-arabiche

31. Al-kitab al-muhtasar fi hisab al-giabr wa’l-muqabala Breve opera sul calcolo di spostare e raccogliere opera che racchiude le più raffinate e le più nobili operazioni di calcolo di cui gli uomini hanno bisogno per la ripartizione delle loro eredità e delle loro donazioni, per le divisioni e i giudizi, per i loro commerci e per tutte le operazioni che essi hanno fra loro relative agli strumenti, alla ripartizione delle acque dei fiumi, all’architettura e ad altri aspetti della vita civile

32. dirham (moneta greca dracma) numero say’ cosa o gizr radice incognita res malbenequadrato dell’incognita census EQUAZIONI 6 tipi canonici l. I quadrati sono uguali alle radiciax2 = bx 2. I quadrati sono uguali a numeroax2 = c 3. Le radici sono uguali a numeroax = c 4. I quadrati e le radici sono uguali a numeroax2 + bx = c 5. I quadrati e i numeri sono uguali alle radiciax2 + c = bx 6. Le radici e i numeri sono uguali ai quadratibx + c = ax2

33. operazioni al-jabrcompletamento, riempimento restauratio al-muqabalamessa in opposizione, bilanciamentooppositio al-hattcoefficiente dell’incognita ridotto all’unità x2 + (10 – x)2 = 58 2x2 + 100 – 20x = 58 con l’al-jabr2x2 + 100 = 20x + 58 con l’al-muqabala 2x2 + 42 = 20x e infine l’al-hattdà x2 + 21 = 20x che riconduce l’equazione di partenza al tipo 5

34. Algebra retorica l. I quadrati sono uguali alle radiciax2 = bx 2. I quadrati sono uguali a un numeroax2 = c 3. Le radici sono uguali a un numeroax = c x2 = 5x “La radice del quadrato è 5 e 25 costituisce il suo quadrato” 1/2 x = 10 x = 20 x2 = 400

35. Formula per radicali Dimostrazione geometrica Quadrato x2 4 rettangoli 10/4x 4 quadratini che completano il quadrato x=3 x x 10/4 Tipo 4 x2 + 10x = 39 x2 + px = q

36. x x 10/4 Completamento del quadrato x2 + px = q

37. x2 + 2·5x 39+25=64 5+x=8 x=3 5 x 5 Tipo 4x2 + 10x = 39 x2 + px = q

38. Quadrati e numeri uguali a radicix2 + 21 = 10x Il seguente esempio è un’illustrazione di questo tipo: un quadrato e 21 unità uguali a 10 radici. La regola risolutiva è la seguente: dividi per 2 le radici, ottieni 5. Moltiplica 5 per se stesso, hai 25. Sottrai 21 che è sommato al quadrato, resta 4. Estrai la radice, che dà 2 e sottrai questo dalla metà della radice, cioè da 5, resta 3. Questa é la radice del quadrato che cerchi e il suo quadrato è 9. Se lo desideri, aggiungi quella alla metà della radice. Ottieni 7, che è la radice del quadrato che cerchi e il cui quadrato è 49. 10 : 2 = 5 5 · 5 = 25 25 – 21 = 4 5 – 2 = 3 x = 3 x2 = 9 2 + 5 = 7 x = 7 x2 = 49

39. x2 + q = p xdiscussione sulle radici • > 0 due radici distinte (p/2)2 < q • < 0 (p/2)2 = q • = 0 due radici coincidenti Se tu affronti un problema che si riconduce a questo tipo di equazione, verifica l’esattezza della soluzione con l’addizione, come si è detto. Se non è possibile risolverlo con l’addizione, otterrai certamente il risultato con la sottrazione. Questo è il solo tipo in cui ci si serve dell’addizione e della sottrazione, cosa che non trovi nei tipi precedenti. Devi inoltre sapere che se in questo caso tu dividi a metà la radice e la moltiplichi per se stessa e il prodotto risulta minore del numero che è aggiunto al quadrato, allora il problema è impossibile. Se invece risulta uguale al numero, ne segue che la radice del quadrato sarà uguale alla metà delle radici che sono col quadrato, senza che si tolga o si aggiunga qualcosa.

40. GCDE = px GCDE=ABCD+GBAE ABCD = x2 GBAE=(p–x)x = q GFKM= (p/2)2IHKL = (p/2 x)2 EILM = FBAH IHKL= GFKM – GBAE (p/2x)2 = (p/2)2 q IH = AH AD = HD–AH = Tipo 5x2 + 21 = 10x x2 + q = p x x < p/2 L M K A H D E I x p/2 G F C B

41. A E L K M x2 (p/2)2 H I p/2 x - p/2 G B C F x2 + 21 = 10xx2 + q = p x x > p/2 Tipo 5 D ABCD=x2 GF=FC=p/2 AL=BF=x-p/2 BFHI=(x-p/2)2 GFKM = (p/2)2 GBLM+IHKL=GBAE = q BC=BF+FC=

42. M x B C q K N R H (p/2)2 p G L T p/2 x D A Tipo 63x + 4 = x2px+q=x2 ABCD=x2 ARHD = px RBCH = x2 – px = q quadrato TKHG = (p/2)2 TL = CH= MN = x–p GL=CM=CG, GL=GT+LT=GH+HC LNKT=RBMN NMCH+BMNR=RBCH=q=gnomoneNMCHGTKN LMCG=TKHG+q=(p/2)2+q CG = CD = CG+GD =

43. Abu-Kamil (850-930) Libro sull’al-jabr e l’almuqabala elevato livello teorico - tendenza all’aritmetizzazione cubo x3quadrato-quadratox4 quadrato-quadrato-cosax5 espressioni con irrazionali regole per la determinazione immediata di x2 sotto forma di radicali Ogni regola è dimostrata geometricamente e si prescinde dall’omogeneità dimensionale

44. Abu-Kamil (850-930) Dividere 10 in due parti x e 10 –x tali che moltiplicata per diventa (10 –x)/x = y è trasformata in Elevando al quadrato giunge a un’equazione di 2° di soluzione

45. indirizzo aritmetico-algebrico X sec. traduzione araba dell’opera di Diofanto 961-976Abul-Wafa Libro sull’aritmetica necessaria agli scribi e ai mercanti XI sec al-KaragiAl-Fahri XI-XII secas-Samaw’al Libro luminoso sull’aritmetica indirizzo geometrico-algebrico 965-1093ibn al-Haytham Al-hazen 973-1048 Al-Biruni 1048-1123Omar al-Khayyam Sulle dimostrazioni dei problemi di algebra e almuqabala XII sec.Sharaf al-din al-Tusi Teoria delle equazioni X-XII sec.due correnti

46. al-Khwarizmi regola di approssimazione radice quadrata di N = a2 + r al-Uqlidisi (morto intorno al 952) Algebra e Aritmetica

47. al-Karagi al-hisabimaestro di aritmetica Manuale sulla scienza dell’aritmetica Al-Fakri scopo dell’algebra Potenze x5 = x2x3quadrato-cubo x6 = x3x3cubo-cubo 1:x=x:x2=x2:x3=x3:x4=... tabella dei coefficienti di (a + b)n fino an = 12 Algebra e Aritmetica

48. AL-KARAGI Al-Fakri l’algebra è l’aritmetica dell’incognita ax2n + bxn = c ax2n+ c = bxn bxn + c = ax2n ax2m+n = bxm+n + cxm Algebra e Aritmetica

49. D C n2 E F S A B R G Algebra e Aritmetica al-Karagi Manuale sulla scienza dell’aritmetica quadrato Gnomone (rettangoli uguali di lati n e 1+2+3+...+n) Area gnomone 2n(1+2+...+n) – n2 = n3 Essendo 1+2+3+...+n =n(n+1)/2 da cui 13+23+ …+n3 = (1+2+ …+n)2

50. XI-XII secas-Samaw’al Libro luminoso sull’aritmetica Regole da usare coi negativi 4 3 2 1 0 1 2 3 4 ______________________________________ x4 x3 x2 x 1 1/x 1/x2 ... Algoritmo per la divisione dei polinomi Algoritmo per l’estrazione di radici quadrate di polinomi