Hendrik W. Bode

1. Hendrik W. Bode Respuesta en frecuencia y Diagramas de Bode Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC Este tipo de gráficas es mejor hacerlas en forma logarítmica en lugar de lineales, para cubrir un mayor rango de representación. En tal caso, se denominan “diagramas de Bode”, en honor a quién les dio popularidad a través de sus trabajos. Los “diagramas de Bode” consideran trabajar con escalas logarítmicas en las frecuencias. Por otra parte, las magnitudes se grafican en “decibeles” mientras que las fases en forma lineal.

2. Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC Una ventaja adicional de las ganancias logarítmicas es que, cuando una ganancia resulta de la multiplicación de varias ganancias, la gráfica puede obtenerse a partir de la suma de las gráficas de cada una de las ganancias individuales. Para el caso de un circuito de primer orden, la ganancia viene dada por: Por lo tanto: A partir de esta última expresión, puede hacerse el siguiente análisis:

3. Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC • Para bajas frecuencias, es decir, para <<0, la ganancia logarítmica resultante será: • Para =0 se tiene: • Para >>0 resulta: En un diagrama de Bode de magnitud, la frecuencia para la cual la magnitud cae –3dB respecto de la que corresponde a =0, se conoce como“frecuencia de quiebre” o “frecuencia de corte” del circuito.

4. Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC El intervalo entre dos frecuencias cuya razón es 10 se llama “década”. Así, dadas 1 y 2, siendo y 2 =101, el intervalo entre ellas es una década.

5. Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC Se vio anteriormente que para >>0, se cumple que: Por lo tanto, la diferencia entre las ganancias de frecuencias separadas por una década, cuando se cumple la condición anterior será: Como conclusión, puede decirse que: • La pendiente de la recta asintótica para un circuito de primer orden, cuando >>0, es de–20dB/década. • La asíntota interseca la línea de 0dB en =0 (frecuencia de corte).

6. Análisis de circuitos en el dominio de la T.L. En Matlab, se usa el comando “tf” para crear funciones de transferencia. >> num=[1]; , den=[5 1]; >> G=tf(num,den) Transfer function: 1 ------- 5 s + 1 Ejemplo: Las raíces del denominador se conocen como “polos”de la función de transferencia, mientras que las del numerador como “ceros”. Se determinan como: >> pole(G) ans = -0.2000 >> zero(G) ans = Empty matrix: 0-by-1

7. Análisis de circuitos en el dominio de la T.L. Para obtener el diagrama de Bode, puede hacerse: >> bode(G) obteniendo:

8. Filtros pasivos Introducción • Los filtros pasivos son circuitos selectores de frecuencias construidos sólo con elementos pasivos (resistencias, condensadores e inductancias). • Este hecho hace que sean incapaces de amplificar señales, por lo que atenuan prácticamente las señales en todo su rango de operación (salvo excepciones en torno a la frecuencia de resonancia). • Por su parte, los filtros activos son dispositivos que no sólo son capaces de seleccionar frecuencias sino también de amplificarlas. Para que esto sea posible, hay que agregar elementos activos como los transistores o los amplificadores operacionales (que se estudiarán más adelante).

9. Circuitos Filtro • En la clase anterior se vio que los circuitos pasivos, con componentes de almacenamiento de energía, presentan características selectivas de frecuencia. • Un “filtro eléctrico” es un circuito diseñado para dejar pasar una gama de frecuencias predeterminada, con un cambio de ganancia (o magnitud) y fase característicos para cada circuito particular. • Definiendo el espectro de magnitud o respuesta en frecuencia, H(j), que es función de la frecuencia, se pueden determinar las características de las ondas sinusoidales que deja pasar para cada frecuencia en particular. • Conforme a lo expresado y al tipo de aplicación que se requiera, un filtro ideal debe presentar las siguientes características:

10. H(j) H(j) H(j) H(j) 1 1 c c     1 1 1 1 2 2 Circuitos Filtro Filtro pasabajas Filtro pasaaltas Filtro pasabandas Filtro rechazabandas

11. Circuitos Filtro Un “circuito filtro” incorpora una magnitud de frecuencia selectiva, para dejar pasar señales que contengan las frecuencias deseadas y eliminar o rechazar las indeseadas. Por lo visto hasta ahora, puede notarse lo siguiente: • El filtro pasabajos idealdejará pasar todas las frecuencias hasta c (frecuencia de corte), y rechazará perfectamente las que estén por encima de dicha frecuencia. • Los circuitos de primer orden RL y RC vistos tienen carac-terísticas pasabajoso pasaaltos (según su configuración), con frecuencia de corte c = 1/. • Un filtro resonante RLC tendrá características pasabandas o rechazabandas, según su configuración circuital.

12. C R1 L Vsal Vent R2 Circuitos Filtro Un circuito rechazabanda puede conformarse como se muestra a continuación: Puede notarse que la impedancia que presentará el circuito será mínima para la frecuencia de resonancia y la banda de frecuencias cercana a la misma.

13. Unidad 2:“CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA (CA)”

14. Conceptos preliminares En los circuitos eléctricos es necesario poder determinar tanto la potencia suministrada a (o la absorbida por) dicho circuito, así como por cada uno de los componentes que lo conforman. Potencia Instantánea Se define como: Sea un circuito que entrega un voltajev(t)y una corrientei(t), donde: la potencia instantánea entregada a dicho circuito será: Recordando que:

15. Potencia Instantánea (cont.) La expresión de la potencia instantánea puede reescribirse como: Puede notarse que la potencia instantánea tendrá dos términos, con las siguientes características principales: • Un término constante (independiente del tiempo); • Un término función del tiempo, el que variará sinusoidalmente con el doble de la frecuencia de la señal aplicada.

16. Vm v(t) 0 T 2T 3T La potencia promedio, , para un periodo T, se puede definir como: t Potencia Promedio Ejemplo: Como: la potencia instantánea será: Por lo tanto, la potencia promedio vendrá dada por:

17. También se cumple para el caso de aplicar un voltaje fasorial,, a una impedancia,, donde circulará una corriente fasorial, las que se relacionan como: Potencia Promedio Para un circuito de CAsinusoidal, considerandot0=0, será: Lapotencia instantánea sobre una impedanciavendrá dada por la mitad entre el producto del máximo valor del voltaje aplicado y de la corriente producida por el coseno del ángulo entre el voltaje y la corriente.

18. Potencia Promedio Si la impedancia es una resistencia,ZR=R0(=0), por lo que la potencia instantánea vendrá dada por: En una inductancia,ZL=L90(=90º): Conclusión: La potencia promedio entregada a un capacitor o a un inductor escero. En un condensador,ZC=1/C-90(=-90º):

19. Z X  R Im Re Potencia Promedio Del diagrama de impedancias, se tiene: Por otro lado,Vm=Z Im, por lo que: ComoRes la parte real de la impedanciaZ, la potencia entregada aRes la potencia entregada aZ, ya quePL = PC =0.

20. R i V1 V2 Principio de Superposición Sea el siguiente circuito: Aplicando el principio de super-posición, la potencia instantánea puede determinarse como: Por lo tanto, la potencia promedio será:

21. Principio de Superposición P1es la potencia promedio debida av1yP2la potencia promedio debida av2. Se analizará el último término, discutiendo las condiciones necesarias para que seacero. Se considerará primero el caso más general, en que ambas fuentes tienen frecuencias relacionadas como: donde “n” es no necesariamente un número entero. Así, si se tiene: el término en cuestión queda como:

22. Principio de Superposición La última integral esceropara todon1. Por lo tanto, la potencia promedio entregada por dos fuentes a una carga es la suma de las potencias promedio entregadas por cada carga individual, salvo en el caso en quen=1(es decir, cuando las frecuencias de ambas fuentes son idénticas). La superposición de la potencia promedio debida a múltiples fuentes sinusoidales se cumple mientraslas fuentes no tengan la misma frecuencia.

23. La superposición de la potencia promedio no es aplicable cuando las fuentes soncoherentes(fuentes que tienen la misma frecuencia), incluyendo el caso de las fuentes constantes ( = 0 rad/s). En este caso, se aplica el principio de superposición fasorial y, después de hallar la corriente fasorial resultante, , se determina la potencia promedio como: donde: . Principio de Superposición IMPORTANTE: recordar que los fasores que provienen de fuentes con frecuencias distintas no se pueden superponer.

24. i ZT ZL VT Teorema de la Máxima Potencia En la Unidad 1 se vio que en un circuito resitivo puro, la máxima transferencia de potencia se produce cuando la resistencia de carga es igual a la resistencia de Thévenin. Ahora se analizará el mismo problema, para cuando la carga esZL. Supóngase el siguiente circuito: Recordando que la potencia promedio entregada a la carga viene dada por:

25. Teorema de la Máxima Potencia La corriente fasorial será: Por lo tanto, la potencia promedio viene dada por: Por una parte, la potencia promedio transferida sea máxima cuando: Para el caso indicado se tendrá:

26. La máxima transferencia de potencia de un circuito equivalente de Thévenin se logra cuando , donde es el complejo conjugado deZT . Teorema de la Máxima Potencia Sólo resta por determinar el valor deRLpara los requerimien-tos buscados. Derivando la potencia promedio (dada por la expresión anterior) respecto deRLe igualando a cero, resulta que la máxima transferencia de potencia se tendrá cuando: por lo que resulta finalmente:

27. FIN Tarea: