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χ ²-Tests

χ ²-Tests. Fragestellung. Hängen zwei Merkmale signifikant zusammen?. Beispiel: Hängen Geschlecht und Rauchverhalten zusammen?. ˜ › › › › › › › › › › ›. χ = Chi [chi] 22. griechischer Buchstabe steht für Kreuzung (Chiasmus, Chiasma opticum, …). χ. a. b.  ( ad – bc). c. d.

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Presentation Transcript

  1. χ²-Tests

  2. Fragestellung Hängen zwei Merkmale signifikant zusammen? Beispiel: Hängen Geschlecht und Rauchverhalten zusammen? ˜ › › › › › › › › › › ›

  3. χ = Chi [chi] 22. griechischer Buchstabe steht für Kreuzung (Chiasmus, Chiasma opticum, …) χ a b  (ad – bc) c d ˜ ˜ › › › › › › › › › ›

  4. Analyse von Häufigkeitsunterschieden χ²-Tests • χ²-Vierfeldertest • Median-Test • χ²-Test für k·ℓ Felder • Zusammenhangsmaße für qualitative Merkmale • McNemar-Test ˜ ˜ ˜ › › › › › › › › ›

  5. Theorie Nullhypothese H0: A und B unabhängig  P(A|B) = P(A) ˜ ˜ ˜ ˜ › › › › › › › ›

  6. (beobachtete Häufigkeit – erwartete Häufigkeit)² Bildung einer Prüfgröße: erwartete Häufigkeit Berechnete Werte der H0-Hypothese (Merkmale sind unabhängig) werden mit tatsächlichen Werten verglichen. H0 H1 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ › › › › › › ›

  7. ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ › › › › › ›

  8. ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ › › › › ›

  9. Ergebnis: Liegt der Prüfwert χ² im Intervall [0, χ²1;1-α], wird die Nullhypothese H0 auf α–Niveau beibehalten. χ²1;0,95 = 3,841 Ist χ² also größer als 3,841, besteht ein signifikanter (p<0,05) Zusammenhang der Merkmale. ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ › › › ›

  10. Beispiel Voraussetzung: Die Häufigkeiten a, b, c und d müssen mindestens 5 betragen! p = 0,3473 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ › › ›

  11. χ²-Test für k·ℓ Felder Verallgemeinerung des Vierfelder-Unabhängigkeitstests. Die beiden zu vergleichenden Merkmale A und B können nicht nur zwei, sondern k, bzw. ℓ Ausprägungen haben. mit (k-1)(ℓ-1) Freiheitsgraden ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ › ›

  12. Zusammenfassung • die einzelnen Häufigkeiten müssen mindestens 5 betragen • der Zusammenhang ist für α=5% signifikant bei χ² ≤3,841 • ab χ²=3,841 ist p<0,05 (siehe Tabellen) • werden die Häufigkeiten verdoppelt, verdoppelt sich auch χ² (werden die Häufigkeiten verdreifacht, verdreifacht sich χ² usw.) ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ›

  13. Tabelle der Quantile der χ²-Verteilung ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

  14. Zusammenfassung • die einzelnen Häufigkeiten müssen mindestens 5 betragen • der Zusammenhang ist für α=5% signifikant bei χ² ≤ 3,841 • werden die Häufigkeiten verdoppelt, verdoppelt sich auch χ² ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

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