Matematinė analizė ir tiesinė algebra

1. Matematinė analizė ir tiesinė algebra 8 paskaita.

2. Skaičių eilutės • Tarkime, y=f(n) yra natūraliojo argumento funkcija, apibrėžianti seką {f(n)},kurios narius žymėsime an=f(n),n=1, 2, … . Nagrinėsime sekos pirmųjų m narių sumą • Sumos Sm dėmenų skaičių neribotai didinant (m→+∞), gaunamas reiškinys – begalinė suma kuri vadinama skaičių eilute. Skaičiai a1 , a2 , ... vadinamieilutės nariais, an – bendruoju nariu, Sm – eilutės daline suma. • Jei dalinių sumų seka {Sm } turi ribą, sakykime S, kai m→+∞, tai eilutė vadinama konverguojančia, o S – eilutės suma. Jei dalinių sumų sekos riba neegzistuoja, eilutė vadinama diverguojančia.

3. Skaičių eilučių savybės 1 savybė. Jei eilutė konverguoja ir jos suma yra S, tai konverguoja ir eilutė o jos suma lygi kS. Jei eilutė diverguoja, tai diverguoja ir eilutė

4. Skaičių eilučių savybės 2 savybė. Jei tai eilutė, gauta panariui sudėjus tas eilutės , taip pat konverguoja ir 3 savybė. Jei tai eilutė, gauta panariui atėmus tas eilutės , taip pat konverguoja ir • Taigi, konverguojančias eilutes galima panariui sudėti ir atimti.

5. Skaičių eilučių savybės • Eilutės liekana vadinama eilutė 4 savybė. Eilutė konverguoja tada ir tik tada, kai konverguoja kuri nors jos liekana

6. Skaičių eilučių konvergavimo požymiai • 1 požymis (būtinoji konvergavimo sąlyga). Jei eilutė konverguoja, tai jos bendrojo nario an riba, kai n→+∞, lygi nuliui: Išvada. Jei eilutės bendrasis narys an neartėja prie nulio, kai n→+∞, tai eilutė diverguoja • Skaičių eilutės, kurių nariai teigiami, vadinamos teigiamosiomis skaičių eilutėmis. • 2 požymis (I palyginimo). Tarkime, teigiamų eilučių ir bendrieji nariai tenkina nelygybę an ≤ bn . Tuomet • Iš eilutės konvergavimo išplaukia eilutės konvergavimas. 2. Iš eilutės divergavimo išplaukia eilutės divergavimas.

7. Skaičių eilučių konvergavimo požymiai • 3 požymis (II palyginimo). Jeigu tai abidvi eilutės elgiasi vienodai. • 4 požymis (Dalambero). Tegu Jeigu λ < 1, tai eilutė Σan konverguoja. Jeigu λ > 1, tai eilutė Σan diverguoja. Jei λ= 1, reikia ieškoti kitokių būdų eilutės elgesiui nustatyti. • 5 požymis (Koši). Tegu Jeigu λ < 1, tai eilutė konverguoja. Jeigu λ > 1, tai eilutė diverguoja. Kai λ= 1, požymis nieko nepasako apie eilutės elgesį.

8. Skaičių eilučių konvergavimo požymiai • 6 požymis (Koši integralinis). Sakykime, funkcija y=f(x) intervale [1;+∞) yra neneigiama ir nedidėjanti. Tuomet skaičių eilutė ir netiesioginis integralas arba abu konverguoja, arba abu diverguoja. • 7 požymis (Raabe). Tegu Jeigu r > 1, tai eilutė konverguoja. Jeigu r < 1, tai eilutė diverguoja. Kai r = 1, požymis nieko nepasako apie eilutės elgesį.

9. Alternuojančios eilutės • Eilutės, turinčios be galo daug teigiamų ir neigiamų narių vadinamos kintamo ženklo eilutėmis. Paprasčiausia iš jų yra alternuojančioji eilutė: • Alternuojančių eilučių konvergavimo požymis: • 8 požymis (Leibnico). Alternuojanti eilutė konverguoja, jei jos nariai tenkina sąlygas: 1. 2. bn > bn+1 ;n=1, 2, … .

10. Alternuojančios eilutės • Kintamo ženklo eilutė vadinama konverguojančia absoliučiai, jei konverguoja iš jos narių modulių sudaryta eilutė • Kai kintamo ženklo eilutė konverguoja, o modulių eilutė diverguoja, tai sakoma, kad eilutė konverguoja reliatyviai. • Jei eilutė konverguoja, tuomet konverguoja ir eilutė

11. Funkcijų eilutės. Laipsninės eilutės. • Eilutė, kurioje visi dėmenys yra funkcijos vadinama funkcijų (arba funkcine) eilute • Funkcijų eilutės konvergavimo sritimi vadinama aibė tų x reikšmių, su kuriomis eilutė konverguoja. • Funkcijų eilutė kur x yra kintamasis, cn – realieji skaičiai, vadinama laipsnine eilute. • Jei laipsninė eilutė konverguoja taške x=a, tai ji konverguoja absoliučiai intervale (-|a|; |a|). • Jei yra toks teigiamas skaičius r, kad laipsninė eilutė konverguoja, kai |x|< r, ir diverguoja, kai |x|> r, tai r vadinamas konvergavimo spinduliu, o intervalas (-r; r) – konvergavimo intervalu. Laipsninė eilutė gali konverguoti ir visoje realiųjų skaičių tiesėje. Tuomet sakoma, jog eilutės konvergavimo spindulys yra begalinis: r= ∞.

12. Laipsninių eilučių savybės. • 1 savybė. Tarkime, Tada • 2 savybė. Tarkime, Tada • Taigi, laipsninę eilutę jos konvergavimo intervale galima panariui diferencijuoti ir integruoti (konstantos tikslumu).

13. Teiloro ir Makloreno eilutės. • Dėl laipsninių eilučių paprastumo jos naudojamos funkcijoms išreikšti. • Teiloro eilutė: • Makloreno eilutė • Teiloro eilutė taikoma tada, kai nagrinėjama funkcija nėra apibrėžta taške x=0 (pvz.,f(x)=lnx), arba jos išvestinės neapibrėžtos (pvz., f(x)=x0.5).

14. Kai kurių elementariųjų funkcijų skleidiniai Makloreno eilute .