Variáveis Aleatórias

1. Variáveis Aleatórias • Uma variável aleatória associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório. • Mais precisamente…

2. Variáveis Aleatórias • Uma variável aleatória é uma função X: W R que associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório.

3. Exemplos de variáveis aleatórias • Moeda honesta lançada 3vezes W = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições Quando se observa cck: X = 2 Y = 1

4. Exemplos de variáveis aleatórias • Moeda honesta lançada 3vezes W = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições

5. Exemplos de variáveis aleatórias • Moeda honesta lançada 3vezes W = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições função de massa de probabilidade (fmp) de X

6. Exemplos de variáveis aleatórias • Moeda honesta lançada 3vezes W = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições

7. Exemplos de variáveis aleatórias • Moeda honesta lançada 3vezes W = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições

8. Função de Distribuição Acumulada • A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X é a função FX: RR definida por FX(x) = P(X≤x)

9. Função de Distribuição Acumulada • Exemplo: 1 7/8 1/2 1/8 1 2 3 Se x < 0: P(X≤x) = 0 Se 0 ≤ x <1: P(X≤x) = P(X=0) = 1/8 Se 1 ≤ x <2: P(X≤x) = P(X=0 ou X=1) = 1/8 + 3/8 = 1/2

10. Função de Distribuição Acumulada • Roleta numerada continuamente de 0 a 10 X = prêmio ganho 0, se x < 0 P(X≤x) = x/10, se 0 ≤ x ≤ 10 1, se x > 10 1 10

11. Função de Distribuição Acumulada • Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta numerada continuamente de 0 a 10 X = prêmio ganho

12. Função de Distribuição Acumulada • Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta numerada continuamente de 0 a 10 X = prêmio ganho 0, se x < 0 P(X≤x) = ½ + ½ x/10, se 0 ≤ x ≤ 10 1, se x > 10 1 10

13. Tipos de Variáveis Aleatórias • Discretas FX(x) = xi  xP(X = xi) • (Absolutamente) Contínuas FX(x) = xi  xfX(x) dx (onde fX(x) é a densidade de probabilidade de X) • Mistas FX(x) = xi  xP(X = xi) + xi  xfX(x) dx (Há outras, mais patológicas …)

14. Exemplo 1 10 P(X = 0) = ½ 0, se x < 0 fX(x) = 1/20, se 0  x  10 0, se x > 10

15. Propriedades da F.D.A. • FX é não-decrescente • lim x– FX(x) = 0, lim x+ FX(x) = 1 • lim xa+ FX(x) = F(a) (continuidade à direita)

16. Função de Distribuição Acumulada • A f.d.a. caracteriza completamente a distribuição de qualquer v.a. (ou seja, conhecendo a f.d.a. podemos obter a probabilidade de qualquer evento envolvendo a v.a.) P(X = 2) = P(X = 3) = P(X < 3) = P(1 X  3) =

17. Principais Distribuições Discretas • Bernoulli • Binomial • Geométrica • Hipergeométrica • Poisson

18. Principais Distribuições Contínuas • Uniforme • Exponencial • Gama • Normal (e associadas: c2, t, F)

19. Bernoulli • Espaço amostral binário (sucesso-fracasso, sim-não, 1-0) 1, com probabilidade p • X = 0, com probabilidade 1–p Notação: X  be(p)

20. Binomial • Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso • X = número de sucessos

21. Binomial • Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso • X = número de sucessos Cada uma das seqüências com k sucessos e n–k fracassostem probabilidade pk(1–p)n-k .

22. Binomial • Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso • X = número de sucessos Cada uma das seqüências com k sucessos e n–k fracassostem probabilidade pk(1–p)n-k . Logo: Notação: X  B(n, p)

23. Geométrica • Sequência de experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso • X = lançamento em que ocorre o primeiro sucesso.

24. Geométrica • Sequência de experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso • X = lançamento em que ocorre o primeiro sucesso. X = k k–1 fracassos seguido de um sucesso Notação: X  G(p)

25. Hipergeométrica • Urna com N bolas, sendo B brancas, de onde são extraídas n bolas, sem reposição. • X = número de bolas brancas extraídas Notação: X HG(N, B, n)

26. Exemplo • Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais b são favoráveis a um candidato. • Qual é a distribuição do número de pessoas favoráveis ao candidato na amostra?

27. Exemplo • Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais b são favoráveis a um candidato. • Qual é a distribuição do número de pessoas favoráveis ao candidato na amostra? • Resposta: HG(N, B, n)

28. Exemplo • Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais b são favoráveis a um candidato. • Qual é a distribuição do número de pessoas favoráveis ao candidato na amostra? • Resposta: HG(N, B, n)Mas, se n << N, aproximadamente B(n, B/N)

29. Distribuição de Poisson • Em média, um site de internet tem l = 0,5 acessos por segundo. Qual é o modelo apropriado para a distribuição do número de acessos efetuados em um minuto?

30. Distribuição de Poisson • Discretizar 1 segundo em n intervalos de duração 1/n • Como o número de usuários é grande, é razoável considerar a existência de acessos neste intervalos como eventos independentes, cada um com probabilidade p. • Para que o número médio de acessos por minuto seja igual a l, deve-se ter np = l.

31. Distribuição de Poisson

32. Distribuição de Poisson • Caso limite da distribuição binomial, quando n e np se mantém constante • Acessos a sites • Chegadas de consumidores a um banco • Número de erros tipográficos em um texto • Número de partículas radioativas emitidas

33. Exemplo • No caso da página de internet, qual é a probabilidade de que haja pelo menos um acesso em um dado segundo?

34. Exemplo • No caso da página de internet, qual é a probabilidade de que haja pelo menos um acesso em um dado segundo? P(X>0) = 1- P(X=0) = 1-e-0.5 = 0,395

35. Exemplo • Qual é a distribuição do número de acessos em um minuto?

36. Exemplo • Qual é a distribuição do número de acessos em um minuto? Poisson (30) Em geral, o número de acessos em um intervalo de duração t tem distribuição Poisson (lt)