Nükleer ve Parçacık Fiziği’nde Monte Carlo Uygulamaları Bahar Okulu

1. Nükleer ve Parçacık Fiziği’nde Monte Carlo Uygulamaları Bahar Okulu • Temel Monte Carlo İlkesi • Reddetme Yöntemi • Beta Parçacığı Enerjisinin Örneklenmesi • Nokta Kaynak • Yüzey Dağılımlı Kaynak • Hacim Dağılımlı Kaynak Kaynak Tanımlamaları Doç.Dr.Sezai YALÇIN

2. Monte Carlo Yöntemi • Monte Carlo yöntemi, rastgele ard arda gelen sayıları ve istatistiksel teknikleri kullanarak bir deneyi veya olayı sayısal olarak taklit etmektir. • Benzetişim olarak ta adlandırılan bu yöntemle bir deney veya olay bilgisayar ortamında idealize edilir ve istenilen değerler hesaplanır. • Fizikte kuramsal araştırmaların pek çoğu Monte Carlo yöntemi kullanılarak yapılmıştır. • Yapılan araştırmalar, klasik yaklaşım uygulandığında çok karmaşık olan problemlerin çözümü için Monte Carlo yönteminin çok güçlü bir teknik olduğunu göstermiştir.

3. Problem analitik olarak hesaplanamayacak kadar karmaşık sistemler içeriyorsa, sistemdeki rastgelelik ve olaya art arda birçok farklı fiziksel olgunun karışması söz konusu ise, bu durumda probleme kuramsal yaklaşım yalnızca Monte Carlo yöntemi ile mümkündür. • Bir problemin çözümünde, probleme katılan her fiziksel olguya ilişkin olasılık yasaları biliniyorsa, her olayın katkısı Monte Carlo örnekleme teknikleri kullanılarak hesaplanıp istenen sonuçlar elde edilir. • Tarihsel olarak Monte Carlo yöntemi kullanılarak yapılan ilk büyük ölçekli hesaplamalar nötron saçılma ve soğurma çalışmalarıdır. • Günümüzde modern bilgisayarların gelişimi ile Monte Carlo yöntemi fiziğin hemen hemen tüm dallarında geniş uygulamaalanı bulmuştur

4. Temel Monte Carlo İlkesi • Bir deney veya ölçme bir olay olarak tanımlanabilir. • Bir olayın belli olasılıklarla ortaya çıkan çeşitli sonuçları vardır. • Bu sonuçların her biri de bir olay olarak görülebilir. • Örneğin, elektronun bir ortamla etkileşmesi bir olay, bu olayın sonuçlarından olan elastik saçılma, inelastik saçılma, bremsstrahlung da birer olaydır. • Örnek olarak, elastik saçılmada elektronun belli bir  açısına saçılması elastik saçılma olayının bir sonucudur.

5. 1. Sonuç Bölgesi 2. Sonuç Bölgesi 3. Sonuç Bölgesi n. Sonuç Bölgesi ……………… p1+p2+p3 p1+p2+..+pn 0 p1 p1+p2 1 • Bir olayda n tane sonuç ortaya çıkmış olsun. • Sonuçların ortaya çıkma olasılıkları p1, p2, ......, pn olsun. • Gelişigüzel sayılar kullanarak bu olayı taklit etmek isteyelim. • 0 ile 1 arasında değer alan gelişigüzel sayı(q) ekseni Şekil 1 de görüldüğü gibi n tane bölgeye ayrılabilir. • Her bir bölgenin genişliği, o sonucun ortaya çıkma olasılığı kadar olsun. Şekil 1. Gelişigüzel sayı ekseninin n tane sonuç bölgesine ayrılması

6. Şekil 1 de sonuç bölgelerine ayrılmış gelişigüzel sayı ekseni üzerinde • p1 olasılıkla belirlenen miktarı 1. sonuç, • p2 olasılıkla belirlenen miktarı 2. sonuç, • pn ile belirlenen miktarı n. sonuç olarak ayrılmış olur. • Türetilen gelişigüzel bir sayı(q) hangi sonuç bölgesine düşmüşse o sonucun meydana geldiği kabul edilir. Bir başka deyişle, • 0 < q < p1 ise 1. sonuç, • p1 < q < p1+p2 ise 2. sonuç, • p1+p2+ ...+pn-1 < q < pn ise n. Sonuç meydana geldiği kabul edilir.

7. Belirli bir deneyde(olayda) x sonucunun a  x  b aralığında sürekli değerler aldığını ve ard arda ölçümlerde çeşitli x değerlerinin ölçülme sıklık fonksiyonunun F(x) olduğunu kabul edelim. • Monte Carlo yönteminin temel ilkesi 0-1 aralığında eşit olasılıklarla sürekli değerler alan q sayılarını kullanarak eşit olmayan olasılıklarla a-b arasında değerler alan x sayılarını türetmektir. • Olayda sonucun x ile x+dx arasında olma olasılığı, (1) olur. Burada p(x) fonksiyonuna “Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu” denir.

8. Olasılık yoğunluk fonksiyonu (2) • şeklinde tanımlanır. • Bu “toplam olasılık yoğunluk fonksiyonu” monoton artan bir fonksiyondur ve P(x) fonksiyonu 0-1 aralığında gelişigüzel değerler alır • P(a)=0 , P(b)=1 ’dir. özelliğine sahiptir ve olasılıkların toplamının bire eşit olması koşulunu sağlar. “Toplam olasılık yoğunluk fonksiyonu” veya “olasılık dağılım fonksiyonu”, (3)

9. q, 0-1 arasında düzgün dağılımlı gelişigüzel sayı olarak tanımlandığına göre P(x)’in değerleri q değişkenine eşitlenebilir. • P(x) = q (4) • ifadesinin tersine çözümü • x=P-1(q) (5) • ifadesini verir. • Böylece 0-1 arasında düzgün dağılımlı q değerleri kullanılarak a-b arasında F(x) dağılımlı x değerleri elde edilir.

10. Reddetme Yöntemi • Temel Monte Carlo İlkesi Eşitlik (3) ün integralinin analitik olarak alınabildiği ve bulunan ifadenin tersine çözümünün analitik olarak yapılabildiği durumlarda kullanılabilir. • Bu koşullar sağlanamadığı zaman “reddetme yöntemi” kullanılır. • Reddetme yöntemi, Temel Monte Carlo İlkesi uygulanabilen bir fonksiyon yardımıyla Temel Monte Carlo İlkesi uygulanamayan bir fonksiyonun dağılımının örneklenmesidir.

11. sıklık c M(x) = c M(x) N(x) N(x) 0 x 0 x a • 0  x  a aralığında N(x) sıklık fonksiyonu ile belirlenen bir olay reddetme yöntemi kullanılarak örneklenirse c bir sabit olmak üzere M(x)=c (6) dağılımından yararlanılır. Temsili N(x) ve M(x) = c dağılımları Şekil 2 görüldüğü gibi olsun. Şekil 2. Reddetme yöntemi ile örneklenecek N(x) dağılımı ve M(x) düzgün dağılımı.

12. M(x)=c dağılımına Temel Monte Carlo İlkesi uygulanırsa, olasılık yoğunluk fonksiyonu (6) Toplam olasılık yoğunluk fonksiyonu (7) q, 0 ile 1 arasında gelişigüzel sayı olmak üzere; (8) x = a q ifadesi bulunur. Böylece 0 ile a arasında x türetilmiş olur.

13. Örneklenen x değerinin sıklığı M(x)=c ‘dir. Bu sıklığın N(x) olma olasılığı N(x)/M(x) dir. Elde edilen x değerinin kabul edilmesi için ikinci bir q sayısı türetilerek (8) koşuluna bakılır. Koşul sağlanıyorsa x değeri kabul edilir, koşul sağlanmıyorsa yeni bir x değeri türetilerek işlem tekrarlanır. Böylece Şekil 2 de görüldüğü gibi M(x)=c dağılımının örneklenmesiyle elde edilen düzgün dağılımlı x değerlerinden, x ekseni ile N(x) arasında kalanları kabul edilip, diğerleri reddedilerek N(x) dağılımlı x değerleri elde edilmiş olur.

14. Örnek:Beta(-) parçacıklarının enerji dağılımlarının örneklenmesi • Beta parçalanmasında nükleer parçalanma enerjisi, beta parçacığı, geri tepen ürün çekirdek ve nötrino veya antinötrino arasında paylaşılır. • Bu durumda beta parçacıkları enerjileri E = 0 dan bir maksimum enerji değeri E = Em ye kadar sürekli bir enerji spektrumuna sahiptirler. • Bu nedenle bir radyoaktif kaynaktan beta parçacığı yayınlanırsa enerjisinin örneklenmesi gerekir.

15. Bu spektrumun kuantum mekaniksel teorisi Fermi tarafından geliştirilmiştir. (9) Burada W = (E/m0 c2) +1 (10) E enerjili beta parçacığının, elektronun durgun kütle enerjisi biriminde toplam enerjisi, W0 = (Em/m0 c2) +1 (11) elektronun durgun kütle enerjisi biriminde maksimum toplam enerjisi, P2 geçiş için matris elemanının karesi 0 zaman sabiti F(Z,W) - veya + ya bağlı ve nükleer yarıçap, nükleer yük,  enerjisini içeren karmaşık, boyutsuz bir fonksiyondur. N(W) dW ise W ile W+dW enerji aralığındaki beta parçacıklarının sayısıdır.

16. Fermi fonksiyonu F(Z,W) için yaklaşık bir ifade - için Konopinski (1966) tarafından verilmiştir: ( P2 / 0 ) F(Z,W) = f Z c / v (12) Burada f bir sabit, Z ürün çekirdeğin atom numarası, v, - nin hızıdır. Işık hızı biriminde elektronun hızı(=v/c) W ya bağlı olarak = (W2-1)1/2 / W (13) şeklinde yazılabilir. Eşitlik (9),(12),(13) birlikte değerlendirildiğinde, N(W) = f Z (W0-W)2 W2 (14) ifadesi elde edilir. Eşitlik (14) ile verilen ifade W=W0/2 de maksimum değer alır. Eşitlik (14) Dağılımın maksimum değeri Nm=N(W0/2) bölünerek 1’ e normalize edilmiş enerji dağılımı ifadesi, (15) elde edilir.

17. N(E) Nm =1 1 Nm N(E) N(E) 0 E 0 E Em Normalize edilmiş dağılımın maksimum değeri Nm=1 dir Beta parçacığının kinetik enerjisi. 0 ile Em arasında q, 0 ile 1 arasında gelişigüzel sayı olmak üzere E=q Em (16) eşitliğiyle örneklenir. Örneklenen E değeri Eşitlik (10) da yerine konularak W değeri hesaplanır ve Eşitlik (15) ten N(W) bulunur. Yeni bir q sayısı çekilerek q N(E) /Nm (17) koşuluna bakılır.Koşul sağlanırsa örneklenen E enerjisi kabul edilir koşul sağlanmazsa reddedilir ve işlem yinelenir. Şekil 3. Reddetme yöntemi ile beta parçacığının enerji dağılımının örneklenmesi

18. Şekil 4. Beta parçacıklarının Monte Carlo Yöntemi ile elde edilen enerji dağılımı.

19. Z Detektör Rd (x2+y2)1/2 (x,y,z) D  L0 Nokta kaynak Y  X Nokta kaynak İzotropik bir nokta kaynaktan yayınlanan bir radyasyon ışınlarının yayınlanma doğrultusu kutup açısı  ve azimut açısı  ile belirlenir. Bir X,Y,Z koordinat sisteminin başlangıç noktasında bulunan bir nokta kaynak için  ve  açısının örneklenmesi gerekir. Şekil 5. Nokta kaynak-detektör düzeneği

20. y  d x Nokta kaynaktan detektöre yada incelenecek ortama 2 katı açısı içine yönelen radyasyonun yayınlanma doğrultusu örneklenecekse simetri özelliği gözönüne alındığında  açısı 00 ile 900 arasında değişir. Böylece , 00 ile 900 arasında örneklenmelidir. ’nın 00 ile 900 arasında örneklenmesi • açısına Temel Monte Carlo ilkesi uygulanırsa; Olasılık yoğunluk fonksiyonu Olasılık dağılım fonksiyonu Aynı yöntemle 00 ile 1800 arasında =180.q 00 ile 3600 arasında =360.q olarak örneklenebilir.

21. Şekil 6. 0 ile 1 arasında gelişigüzel sayı(q) dağılımı

22. Şekil 7. 0 ile 900 arasında  açısı dağılımı

23. Azimut açısı ’nin 0 ile 2 arasında örneklenmesi İzotropik nokta kaynak için yayınlanan radyasyonun  açısına göre dağılımları düzgündür ve  açısı 00 ile 3600 arasında eşit olasılığa sahiptir. Bu nedenle  açısı  = q.360 eşitliği ile örneklenir.

24. Z Detektör (x2+y2)1/2 Rd (x,y,z) D  L0 Nokta kaynak Y  X Radyasyon ışınının ortama girme noktasının belirlenmesi Yukarıdaki örnekte ortamın yada detektörün bulunduğu kısma yönelen radyasyonun doğrultman kosinüsleri =sin cos =sin sin =cos  D kaynak-ortam arasındaki uzaklık olmak üzere kaynakla ortama girme noktası arasındaki uzaklık L0=D/  Radyasyonun ortama varış noktasının koordinatları x=L0 , y=L0  , z=L0  ile hesaplanır. Eğer ortam Rd yarıçaplı bir detektör ise (x2+y2)1/2<Rd koşuluna bakılır. Koşul sağlanmışsa radyasyonun ortama girdiği kabul edilir ve ortamda takip edilir, sağlanmamışsa yeni bir ışın doğrultusu örneklenir.

25. Yüzey Dağılımlı Kaynak Z Radyasyonun düz bir yüzey üzerinde homojen olarak dağılmış noktalardan yayınlandığı kabul edilen kaynak yüzey dağılımlı kaynak olarak tanımlanabilir. Uygulamada en yaygın olarak kullanılan yüzey dağılımlı kaynaklar disk şeklindeki kaynaklardır. Detektör Rd (x, y, z) D  Disk kaynak ra Rk Y   (Xa, Ya, Za) X Şekil 8. Disk kaynak-detektör düzeneği

26. Disk şeklinde yüzeysel kaynaktan radyasyon ışınlarının yayınlanma noktası ve yayınlanma doğrultusu iki farklı yaklaşımla belirlenebilir. 1. Yaklaşım Radyal olarak simetrik disk kaynakta kaynağın tüm alanını göz önüne almaya gerek yoktur. Çünkü simetri ekseninden yayınlanma noktasına çizilen herhangi bir doğru parçası, simetri ekseninden aynı uzaklıktaki tüm doğru parçaları ile aynı geometriye sahip olduğundan bir tanesini göz önüne almak yeterli olacaktır. Böylece iki boyutlu kaynak tek boyuta indirgenmiş olur. Bu doğru parçası üzerindeki aktivite düzgün olarak(eşit) dağılmıştır. Herhangi bir yayınlanma noktası simetri ekseninden ra uzaklığı ile tanımlanabilir. Rk ra Şekil 9. Disk kaynak

27. Rk kaynak yarıçapı, q, 0 ile 1 arasında gelişigüzel sayı olmak üzere ra nın değeri 0 ile Rk arasında Temel Monte Carlo ilkesi uygulandığında, dr 0 Rk Eşitliği ile örneklenir.

28. Z Detektör ra  r rp Rd D  ra Y Kaynak X Şekil 10. Disk kaynaktan radyasyonun yayınlanma doğrultusunun örneklenmesi

29. Kaynaktan yayınlanan ışınların detektörün bulunduğu yöne yönelenleri(yani 2 katı açısına yönelenler) örneklenecekse  açısı 00 ile 900 arasında olacaktır. Böylece  açısı Z ra  r rp eşitliği ile örneklenir. D  Verilen bir D değeri için (kaynak-detektör uzaklığı) yayınlanan ışınların tüm mümkün doğrultuları 2 tepe açılı koninin tabanının çevresiyle belirlenir. Işının doğrultusu koninin simetri ekseni çevresinde  açısıyla belirlenir.  açısı 00 ile 3600 arasında eşit olasılığa sahiptir. Böylece  açısı ra Y X eşitliği ile örneklenir. 2 tepe açılı koninin tabanının yarıçapı eşitliği ile hesaplanır.

30. Z Işının doğrultusunun detektörün ön yüzeyinden geçen düzlemle kesiştiği noktanın kaynak-detektör simetri ekseninden (Z ekseni) uzaklığı rp , ra  Rd r rp D  eşitliği ile hesaplanır. ra Y ise Eğer X Işın detektöre ön yüzeyinden girecektir ve ışın detektör içinde izlenecektir. Koşul sağlanmazsa yeni bir ışın belirlemek için işlem tekrar edilir.

31. y Rk dr x  ra 2. Yaklaşım Disk kaynak, radyal olarak simetrik, radyasyon ışınlarının homojen olarak dağılmış noktalardan yayınlanabildiği Rk yarıçaplı kalınlıksız düz yüzey olarak kabul edilir. Disk kaynaktan yayınlanan ışınların yayınlanma noktası, simetri noktasından olan ra uzaklığı ve  açısı ile tanımlanabilir. Bu yaklaşımda kaynak yüzey alanı göz önüne alınır. Şekil 11. Disk kaynak

32. y Rk dr x  ra Belli bir r değeri gelme olasılığı= Olasılık yoğunluk fonksiyonu= Toplam olasılık yoğunluk fonksiyonu= olur. Buradan ra yarıçapı eşitliği ile örneklenir. Disk kaynak yüzeyi üzerinde ışının yayınlanma noktasının koordinatlarının belirlenmesi için  açısının da örneklenmesi gerekir.  açısı 00 ile 3600 arasında eşit olasılığa sahiptir ve düzgün dağılımlıdır. Böylece , eşitliği ile örneklenir.

33. Disk kaynaktan yayınlanan ışının yayınlanma noktasının koordinatları, Xa= ra cos Ya= ra sin Za=0 olur. 1-Eğer 2 katı açısı içinde detektöre yönelen ışınlar göz önüne alınırsa (Xa, Ya, Za) noktasından yayınlanan Işınların doğrultusu nokta kaynakta olduğu gibi örneklenir. Z Detektör Rd (x, y, z) D  Disk kaynak ra Rk Y   Doğrultman kosinüsleri =sin cos =sin sin =cos  belirlenir. (Xa, Ya, Za) X

34. Detektörün ön yüzeyinden geçen düzlemle kaynak arasındaki uzaklık Z eşitliği ile belirlenir. Işının detektör ön yüzeyinden geçen düzlem üzerine varış noktasının koordinatları Detektör x=Xa+ L0 , y=Ya+ L0 , z=Za+ L0 eşitlikleriyle hesaplanır. Varış noktasının simetri eksenine(z ekseni) uzaklığı rp =(x2+y2)1/2 ile hesaplanır. Eğer rp < Rd ise ışın detektöre girecektir. Koşul sağlanmıyorsa yeni bir ışının doğrultusunu örneklemek için işlem tekrarlanacaktır. Rd (x, y, z) rp D  L0 Disk kaynak ra Rk Y   (Xa, Ya, Za) X

35. 2-Eğer tüm uzaya 4 katı açısı içine yönelen ışınlar göz önüne alınırsa  açısı 00 ile 1800 arasında  açısı 00 ile 3600 arasında örneklenmesi gerekir. Hesaplamalarda cos değeri kullanıldığından doğrudan cos değeri örneklenebilir. 00 ile 1800 arasında cos nın örneklenmesi d=sin d dbirim katı açı ifadesine Temel Monte Carlo İlkesi uygulanırsa  açısı 00 ile 900 arasında ise ışın detektörün bulunduğu 2 katı açısı içine yönelmiş demektir, aksi halde detektörün bulunmadığı 2 katı açısı içine yönelmiş olur.

36. İki yaklaşımın karşılaştırılması Şekil 12. Disk kaynakta örneklenen yarıçap dağılımı

37. Hacim Dağılımlı Kaynak Z Uygulamada kullanılan hacim dağılımlı kaynaklar genellikle silindir biçimli kaynaklardır. A-Silindirik Kaynak Silindirik kaynak h yüksekliğinde Rk yarıçaplı ve koordinat sisteminin başlangıç noktası şekildeki gibi seçilmiş olsun Rk h Y X

38. Silindirik kaynaktan radyasyonun yayınlanma noktasının koordinatları ve yayınlanma doğrultusunun örneklenmesi için sırasıyla aşağıdaki adımlar izlenmelidir. 1- Önce 0 ile h arasında yayınlanma noktasının za koordinatı belirlenir. 1. Bölgede gammanın yayınlanma noktası ve yayınlanma doğrultusu silindik kaynakta olduğu gibi aşağıdaki değişkenler örneklenerek belirlenir Z Rk  h za ra 2- 0 ile Rk arasında ra yarıçapı örneklenir   Y X 3- 00 ile 3600 arasında  açısı örneklenir. (x, y, z)

39. 4- Radyasyonun yayınlanma noktasının x,y koordinatları hesaplanır. Z Rk D 5- Yayınlanan radyasyonun 4 katı açısı içine tüm yönelişleri örneklenecekse (xa,ya,za) noktasından yayınlanan radyasyonun kutup açısı  h za ra   Y (xa,ya,za) X eşitliği ile örneklenir. 6- Azimut açısı  00 ile 3600 arasında örneklenir.

40. Yayınlanan radyasyonun doğrultman kosinüsleri; eşitlikleriyle hesaplanır.

41. B- Marinelli Beaker Z Genellikle gamma ışınlarının deteksiyonunda kullanılan bu tür hacimsel kaynakların simülasyonunda kaynağı iki bölge halinde düşünmek yararlı olur. Birinci bölge h2 ve h1 arasında kalan silindirik bölgedir. İkinci bölge iç yarıçapı r1 dış yarıçapı r2 olan h1 yüksekliğindeki bölgedir. He iki bölgede gamma ışınının yayınlanma noktasının koordinatları ve yayınlanma doğrultusu ayrı ayrı örneklenmelidir. r2 1 r1 h2 h1 2 Y X

42. 1. Bölgede gammanın yayınlanma noktası ve yayınlanma doğrultusu silindik kaynakta olduğu gibi aşağıdaki değişkenler örneklenerek belirlenir za koordinatı h1 ve h2 arasında örneklenir Yayınlanma noktasının koordinatları hesaplanır

43. 4 katı açı içine yayınlanma için gammanın kutup açısı örneklenir. Azimut açısı  00 ile 3600 arasında örneklenir. Yayınlanan gammanın doğrultman kosinüsleri; eşitlikleriyle hesaplanır.

44. 2. Bölgede gammanın yayınlanma noktası ve yayınlanma doğrultusu aşağıdaki adımlar izlenerek örneklenebilir. Z koordinatının örneklenmesi r1 ve r2 arasında ra yarıçapının örneklenmesi Belli bir r değeri gelme olasılığı=  r r1 r2 Olasılık yoğunluk fonksiyonu= dr Toplam olasılık yoğunluk fonksiyonu= olur. Buradan ra yarıçapı eşitliği ile örneklenir. eşitliği ile örneklenir.

45. 00 ile 3600 arasında  açısı örneklenir. Yayınlanma noktasının koordinatları hesaplanır.

46. 4 katı açı içine yayınlanma için gammanın kutup açısı örneklenir. Z r2 Yayınlanan gammanın doğrultman kosinüsleri; 1 r1 h2  h2 ra h1 2  Y (xa,ya,za) eşitlikleriyle hesaplanır. X

47. KAYNAKLAR S. YALCIN, O. GURLER, G. KAYNAK, O. GUNDOGDU Calculation of Total CountingEfficiency of a NaI(Tl) Detector byHybrid Monte Carlo Methodfor Point and Disk Sources. APPLIED RADIATION AND ISOTOPES, Vol.65, No.10, pp.1179-1186, 2007 S. YALCIN, O. GURLER, O. GUNDOGDU, G. KAYNAK Monte Carlo Simulation of Gamma-ray Total CountingEfficiency for a Phoswichdetector RADIATION MEASUREMENTS, Vol.44, No.1, pp.80-85, 2009 U. AKAR TARIM, E. N. OZMUTLU, O. GURLER, S. YALCIN TheEffect of theHousingMaterial on theNaI(Tl) DetectorResponseFunction JOURNAL OF RADIOANALYTICAL AND NUCLEAR CHEMISTRY, InPress, 2012

48. U. AKAR TARIM, O. GURLER, E. N. OZMUTLU, S. YALCIN, O. GUNDOGDU, D.A. BRADLEY, J.M. SHARAF TheEnergySpectrum of 662 keVPhotons in a WaterEquivalentPhantom RADIATION PHYSICS AND CHEMISTRY, InPress, 2012 Özmutlu, e.n. Monte Carlo Ders notlarI Özmutlu, C., Ortaovali, A.Z. 1976. Calculation of Total and Full Energy Peak Efficiencies of Ge(Li) and NaI(Tl) Detectors By Introducing The Mean Chord Length. Nuclear Instruments and Methods 133 149-155 SHIMIZU, R., DING ZE-JUN. 1992. Monte Carlo Modelling of Electron-Solid Interactions. Rep. Prog. Phys., Printed in the UK. 487- 531. Strachan C. 1969. The Theory of Beta Decay. Pergamon Press, London ZIKOVSKY, L., CHAH, B. 1988. A Computer Program for Calculating Ge(Li) Detector Counting Efficiencies With Large Volume Samples. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A263. p.483-486

49. AYDIN A., 1989. Hacimli Gamma Kaynağı İçin Detektör Duyarlılığı ve Cevap Fonksiyonunun İncelenmesi. Yüksek Lisans Tezi, Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü ,(Yayınlanmamış), BURSA. 71 s. CENGİZ, A.1991. Elektron ve - Parçacıklarının Menzil, Enerji ve Açısal Dağılımlarının Monte Carlo Yöntemiyle İncelenmesi. Doktora Tezi. Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü. BURSA. 76 s. GEMİCİ, Ö. 1991. Sonlu Ortamlarda Bir veya Daha Çok Saçılma Yapmış Gammaların Monte Carlo Yöntemiyle İzlenmesi, Doktora Tezi. Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü. (Yayınlanmamış), BURSA. 116 s. HAASE, G., TAIT, D. AND WIECHEN, A. 1993. Monte Carlo Simulation of Several Gamma-emitting Source and Detector Arrangements for Determining Corrections of Self-attenuation and Coincidence Summation in Gamma-spectrometry. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A329. p.483-492 KONOPİNSKİ E.J. 1966.The Theory of Beta Radioactivity, Oxford University Press,13.