TÉMA: ČÍSELNÉ SOUSTAVY

1. TÉMA: ČÍSELNÉ SOUSTAVY Jitka Mertová, 4.I/1 1

2. Zdroje: - internetové stránky www.ciselne- soustavy.cz - počítačové časopisy - encyklopedie - Naučná kniha o číslech 2

3. Pojem číselné soustavy: • Základní požadavek na počítač je schopnost zobrazovat a pamatovat si čísla a provádět operace s těmito čísly. • Čísla mohou být zobrazena v různých číselných soustavách. 3

4. Od raného mládí drtivá většina lidí používá desítkovou soustavu. • Tato soustava reprezentuje čísla v mocninách deseti a byla pravděpodobně vyvinuta vzhledem k faktu, že člověk má deset prstů. • Základ této soustavy je 10, neboť je použito 10 základních číslic (0 - 9). • Poloha číslice v čísle určuje jeho váhu, čímž je možné vyjádřit čísla větší než 10. 4

5. Počítače a číselná soustava: • Výpočetní stroje mohou být zkonstruovány na základě libovolné číselné soustavy, nicméně všechny moderní počítače jsou založeny na binární soustavě. Příčina je celkem nasnadě, je totiž mnohem snadnější rozlišit mezi dvěma stavy než mezi např. deseti stavy. 5

6. Ve všech oborech lidské činnosti se setkáváme s případy, kdy předměty nebo vlastnosti nabývají jen dvou užitečných stavů. Tyto stavy jsou často vzájemně opačné: žárovka svítí nebo nesvítí, spínač je zapnut nebo vypnut, materiál je magnetován nebo odmagnetován, proud obvodem protéká nebo neprotéká, díry v pásce nebo štítku jsou nebo nejsou vyděrovány atd. 6

7. Je jednodušší a mnohem spolehlivější navrhnout obvody, které rozlišují pouze mezi dvěma stavy (binární 0 a binární 1) než mezi více, např. 10 stavy (číslice 0 - 9). • Základem binární číselné soustavy je číslo 2. Možné číslice jsou pouze 0 a 1. • Můžeme také převádět dvojková čísla na dekadická, jejichž velikost můžeme snadněji odhadnout. Např. číslo 11011 = 1.24 + 1.23 + 0.22 + 1.21 + 1.20 = 27. 7

8. Pro opačný převod z dekadické soustavy na binární bylo vypracováno několik algoritmů. • Pro příklad si uvedeme metodu postupného odečítání. Metoda postupného odečítání záleží v tom, že požadované desítkové číslo rozdělíme na celočíselnou část a zbytek a aplikujeme následující postup: 8

9. Od celočíselné části odečteme nejvyšší mocninu dvou, která je ještě menší než příslušné číslo a na příslušnou pozici binárního čísla napíšeme jedničku. Totéž opakujeme se zbytkem s tím rozdílem, že nelze-li o jedničku menší mocninu dvou odečíst od zbytku tak, aby rozdíl byl kladný, zapisujeme na příslušné místo dvojkového čísla 0 a postup opakujeme s mocninou dvou opět o jedničku menším. 9

10. Příklad: Máme převést dekadické číslo 27,125 na jeho dvojkový ekvivalent. • Číslo rozdělíme na celočíselnou a desetinou část 27 + 0,125 a aplikujeme právě popsaný postup: 10

11. Aritmetické operace s binárními čísly • Pro sčítání binárních čísel platí stejné zásady jako pro sčítání čísel dekadických s tím, že přenos 1 do vyššího řádu je generován nikoliv, když součet nabude hodnoty 10, ale nabude-li hodnoty 2 (1+1). Součet v 1. sloupci odprava generuje jedničku přenosu, ta se sčítá s dalším sloupcem, čímž je generován další přenos a podobně ve 3. sloupci). Sčítání v digitálních počítačích probíhá vjednotkách zvaných sčítačky. 11

12. Pro odčítání bychom mohli zvolit tentýž algoritmus jaký používáme pro odčítání decimálních čísel. Je konstrukčně možné navrhnout a konstruovat odečítačku právě tak, jako je možné konstruovat sčítačku. • V počítačích se však tento způsob nepoužívá, neboť je možné (pakliže najdeme vhodný způsob vyjádření záporných čísel) změnit znamení menšitele a provést operaci sčítání. 12

13. Abychom si objasnili, jakým způsobem se v počítači záporná čísla vyjadřují, uvedeme si nejprve příklad z oboru čísel dekadických. • Představme si mechanické počitadlo, např. počitadlo otáček u magnetofonu, řekněme 4-místné. Otáčí-li se cívka magnetofonu vpřed, počitadlo provádí operaci sčítání, otáčí-li se zpět, počitadlo příslušné otáčky odečítá. 13

14. Představme si, že bychom potřebovali otočit cívku o 7 otáček zpět ve chvíli, kdy počitadlo ukazuje číslo 0004. Po každé otáčce zpět bude počitadlo ukazovat postupně 0004, 0003, 0002, 0001, 0000, 9999, 9998, 9997. • Počitadlo tedy neukazuje -3, ale číslo 9997, které tomuto zápornému číslu v 4-místném vyjádření odpovídá. Abychom si ověřili, sečteme třeba číslo 5 a 9997. 14

15. 0005 + 9997 = (1)0002 • Pakliže dodržíme počet míst (tedy 4), nemůžeme započítat poslední přenos a skutečně nám vyšlo číslo 2, což je výsledek odečtení 3 od 5. • Číslo 9997 nazýváme doplňkem do desíti k číslu 3 ve čtyřmístném vyjádření. Pomocí doplňku do desíti můžeme v dekadické soustavě převést operaci sčítání na operaci odečítání. 15