קורס אינטראקטיבי מבוסס על הקורס 88-376 המועבר ע”י ד”ר קרסנוב

1. שיטות נומריות 2 פרק 6. פירוק ……….(LU and Cholesky).............…... 2 פרק 7. חישוב ערכים עצמים............................................. 9 דוגמה ב MATLAB .................................................... 10 פרק 8. אלגוריתם של cubic spline .............…............. 11 פרק 9. Least square approximations ...................... 14 רגדסיה ליניארית ......................................................... 15 פרק 10. ריבוים מזעורים רציפים.................................... 16 פרק 11. פולינומים אורתוגוננליים .................................. 18 פרק 12. אינטגרציה נומרית.... .................................. 20 קורס אינטראקטיבי מבוסס על הקורס 88-376 המועבר ע”י ד”ר קרסנוב

2. פרק 6 - פירוק מטריצות Square matrix General cases Special cases

3. פירוק LU

4. שיטת Cholesky

5. פרוק LU תלת-אלכסונית לדוגמה:

6. מטריצה פרמוטציה P • החלפת שורות: [1] ו[3] ו[3] ל[4]

7. פירוק LU עם Pivoting MATLAB ב [L,U,P]=lu(A) או [P][A]=[L][U]

8. פירוק QR Q - מטריצה אורטוגונלי R - משולשת עליונה

9. פרק 7.חישוב ערכים עצמים • עם אז הוא הווקטור עצמי שמטים לערך עצמי • המשוואה אופיינית ליצור סידרת לפי אלגוריתם פירוק QR: forI = 1:N, ] Q,R]=qr(A); A=R*Q; end ואז האיטרציות A שאיפות למטריצה משולשת עליונה עם ערכים עצמים באלכסון:

10. דוגמה ב MATLAB A = 2.4142 1.8597 -1.3934 -0.0000 3.0000 1.8974 0.0000 -0.0000 -0.4142 » [V,D]=eig(A) V = 0.4472 0.4472 -0.5571 0.6325 -0.6325 -0.7428 0.6325 -0.6325 -0.3714 D = 2.4142 0 0 0 -0.4142 0 0 0 3.0000 » A=[1 2 -1; 2 2 -1; 2 -1 2] A = 1 2 -1 2 2 -1 2 -1 2 » [Q,R]=qr(A) QRפירוק Q = -0.3333 -0.5788 -0.7442 -0.6667 -0.4134 0.6202 -0.6667 0.7029 -0.2481 R = -3.0000 -1.3333 -0.3333 0.0000 -2.6874 2.3980 0.0000 0.0000 -0.3721 » N=7; for I = 1:N, [Q,R]=qr(A); A=R*Q; end A

11. פרק 8. InterpolationSplineCubic יתרון: בכל נקודות S(xi), S’(xi), S”(xi) הן רציפות עבור NATURAL SPLINESS”(x0)= S”(xn) =0

12. Natural Cubic Spline המערכת משוואות היא תלת אלכסוניות ומקיימת תנאי אלכסון השולט: עם הפרשים סופיים:

13. Natural Cubic Spline לדוגמה: פתרון:

14. פרק 9. Least square approximations • להתאים לנתונים פולינום:

15. רגרסיה ליניארית סטייה:

16. פרק 10. ריבוים מזעורים רציפים להתאים לפונקציה פולינום כך שערך של אינטגרל הריבויים מזעורים תהיה מינימלי: נקבל מערכת משוואות אלגבריות ליניאריות עבור מקדמים :

17. לדוגמה: נתונה פונקציה בקטע [0,1] יש למצוא פולינום ריבוית שנותן ערך מינימלי לאינטגרל ותשובה היא:

18. פרק 11. פולינומים אורתוגונליים בעזרת הפולינומים שלLegendre אפשר להציג כל הפונקציה: הפולינומים שלLegendre הם אורתוגונליים:

19. Legendre Polynomial How would you work with a least square fit of a function.

20. Legendre Polynomial How would you work with a least square fit of a function.

21. Legendre Polynomial The coefficient a0 is determined by the orthogonality of the Legendre polynomials:

22. Legendre Polynomial Example Given a simple polynomial: We want to throw a loop, let’s model it from 0 to 4 with f(x):

23. Legendre Polynomial Example The first step will be to scale the function: We know that at the ends are 0 and 4 for x and -1 to 1 for u so

24. Legendre Polynomial Example The coefficients are

25. Legendre Polynomial Example The Legendre functions must be adjusted to handle the scaling:

26. Tchebyshev Polynomial The Tchebyshev polynomials are another set of orthogonal functions, which can be used to represent a function as components of a function.

27. Tchebyshev Polynomial These function are orthogonal over a range [ -1, 1 ]. This range can be scaled to fit the function. The orthogonal functions are defined as:

28. Tchebyshev Polynomial The Tchebyschev functions are:

29. Tchebyshev Polynomial How would you work with a least square fit of a function.

30. Tchebyshev Polynomial How would you work with a least square fit of a function. Rearrange

31. פרק 12. אינטגרציה נומרית • נוסחת טרפז: נוסחת סימפסון: בעזרת צמתים ומשקלים אפשר להציג את האינטגרל מהפונקציה: דוגמות: דר' שיף HOMEPAGE