PARADOKSY I SOFIZMATY

1. PARADOKSYI SOFIZMATY Sebastian Dziadzio Kl. IIIc

2. PARADOKS-rozumowanie, w którym wychodząc od niepodważalnych lub sprawiających wrażenie niepodważalnych przesłanek, dowodzi się twierdzeń wzajemnie sprzecznych, absurdalnych, niezgodnych z intuicją czy zdrowym rozsądkiem. Rozumowanie takie może być prawdziwe lub nie, często jego prawdziwość budzi gorące spory. SOFIZMAT-dowód matematyczny zawierający błąd, często wprowadzony celowo i ukryty. Czym są paradoksy i sofizmaty ?

3. Zabawa z liczbami • Wybierz dowolną liczbę trzycyfrową o różnych cyfrach, nie zawierającą zera. • Zamień cyfrę jedności z cyfrą setek: otrzymasz w ten sposób drugą liczbę. • Od większej z tych dwóch liczb odejmij mniejszą i zanotuj różnicę. • W otrzymanej różnicy zamień cyfrę jedności z cyfrą setek- ponownie otrzymasz dwie liczby-dodaj je do siebie. • Jeżeli wykonałeś wszystkie działania poprawnie, Twój wynik to 1089 

4. a=b+c / · (a-b) a · (a-b) = (b+c) (a-b) a²- ab = ab+ac-b²-bc /-ac a²-ab-ac = ab-b²-bc a · (a-b-c) = b · (a-b-c) / : (a-b-c) a = b Przykładowo: 5=3+2; a=5, b=3, c=2 Zgodnie z przykładem: 5=3 ! Każda liczba jest równa liczbie mniejszej od siebie ! a-b-c zgodnie z przykładem jest równe : 5-3-2, czyli 0 ! Na czym polega więc błąd ?

5. Nie istnieją trójkąty różnoboczne • Dany jest dowolny trójkąt różnoboczny. • Rysujemy symetralną jednego z boków oraz dwusieczną jednego z kątów. • Punkt ich przecięcia oznaczamy przez S.

6. Porównajmy trójkąty: SBE i SAD Możemy łatwo zauważyć, że odcinki SD i SE są tej samej długości, ponieważ punkt S leży na dwusiecznej kąta DCE, a więc jest równo odległy od ramion kąta. Odcinki SA i SB również są identyczne, gdyż punkt S leży na symetralnej odcinka AB, więc jest równo odległy od jego końców. Ponieważ trójkąty SAD i SBE są prostokątne, możemy, powołując się na cechę BKB stwierdzić, że są one przystające. Wynika z tego, że odcinki DA i EB są identyczne.

7. Teraz porównajmy trójkątySDC i SEC Jak już wcześniej zauważyliśmy, odcinki SD i SE są takie same, natomiast odcinek CS jest wspólny. Trójkąty te są więc przystające. Wynika z tego, że odcinki DC i EC są takie same.

8. Wniosek ? DA = EB DC= EC + AC = BC Wynika z tego, że trójkąt ABC jest równoramienny, a przecież identyczne rozumowanie można przeprowadzić dla dowolnego trójkąta ! Czy oznacza to że trójkąty różnoboczne nie istnieją? Na szczęście w rozumowaniu jest jeden podstawowy błąd… No właśnie, jaki ?

9. Symetralna boku i dwusieczna kąta w trójkącie różnobocznym przecinają się poza trójkątem…

10. Za czasów Mieszka I żyło ponad bilion ludzi ! Każdy z nas ma dwoje biologicznych rodziców, czworo dziadków, ośmioro pradziadków, szesnastu prapradziadków itd. Zakładając, że od czasów Mieszka I przeminęło około 40 pokoleń (mniej więcej 26 lat na jedno pokolenie), możemy obliczyć, że żyło wtedy: 240 = 1 099 511 627 776 (1 bilion 99 miliardów 511 milionów 627 tysięcy 776) ludzi w samej tylko Polsce ! Nie wzięliśmy jeszcze pod uwagę ludzi, którzy nie byli naszymi przodkami !

11. Gdzie tkwi bład ? Błąd polega na tym, że te same osoby zliczamy wielokrotnie. Ten sam człowiek może być przecież naszym przodkiem zarówno po matce, jak i po ojcu, może wręcz pojawiać się wielokrotnie w różnych miejscach naszego drzewa genealogicznego - im dalej sięgamy w przeszłość tym jest to bardziej prawdopodobne!

12. Wszystkie okręgi mają taki sam obwód ! Mamy dwa współśrodkowe okręgi o różnych promieniach. Jeden z nich przetaczamy po linii prostej. Droga, jaką przebył jest równa obwodowi tego okręgu. Możemy jednak zauważyć, że okrąg o mniejszym promieniu przebył identyczną drogę, mimo że wykonał również tylko jeden obrót ! Oba okręgi mają więc identyczny obwód !

13. Gdzie tym razem jest błąd ? Mniejszy okrąg wykonuje co prawda jeden obrót ale równocześnie przesuwa się (jakby „ślizga”) w prawo.

14. Jak zapobiec zamachowi bombowemu na pokładzie samolotu ? Odpowiedzi na to pytanie pomoże nam udzielić statystyka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na pokładzie będzie bomba? Powiedzmy, że 1 do 100 000. Jakie natomiast jest prawdopodobieństwo że na pokładzie są dwie bomby ? Tylko 1 do 100 000 000 ! Rozwiązanie jest więc proste: należy wnieść swoją bombę. Zdrowy rozsądek podpowiada jednak że prawdopodobieństwo zamachu pozostanie takie same bez względu na to czy wniesiemy na pokład walizkę pełną c4 czy nie. Rzeczywiście: prawdopodobieństwo że na pokładzie jest bomba nie zmieni się. Dlaczego ? W udzieleniu odpowiedzi na to pytanie pomoże kolejny paradoks…

15. Paradoks hazardzisty Wykonujemy serię rzutów monetą. Mamy dwa możliwe wyniki: orzeł lub reszka. Prawdopodobieństwo wyrzucenia: 2 reszek pod rząd w dwóch rzutach = 1/4 3 reszek pod rząd w trzech rzutach = 1/8 4 reszek pod rząd w czterech rzutach = 1/16 5 reszek pod rząd w pięciu rzutach = 1/32 6 reszek pod rząd w sześciu rzutach = 1/64 itd. Czy oznacza to że prawdopodobieństwo wyrzucenia 6-tej reszki z rzędu wynosi 1/64 ?

16. Nie ! Prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki zawsze wynosi ½ , niezależnie od tego czy jest to trzecia, czwarta czy setna reszka z rzędu…

17. Jak wygrać w totka ? Od początku istnienia gier typu lotto, ludzie próbowali opracowywać różne metody zwiększania szans na wygraną. Przeróżne systemy liczbowe, skomplikowane algorytmy, metody wypełniania kuponów, obserwacje częstotliwości występowania poszczególnych liczb mają jedną wspólną cechę: nie mają żadnego wpływu na szanse wygranej. Jedną z takich metod, na pierwszy rzut oka logiczną jest eliminowanie tzw. układów niemożliwych.

18. Czym są układy niemożliwe ? Wypełniając kupon totolotka, nikt o zdrowych zmysłach nie obstawia szóstek typu : 1,2,3,4,5,6 ; 6,5,4,3,2,1 ; 2,4,6,8,10,12 ; 10, 20 , 30 , 40, 50, 60 Chyba zgodzicie się, że jest niemożliwe, żeby liczby ułożyły się właśnie w taki sposób… W rzeczywistości prawdopodobieństwo wystąpienia takiego układu jest takie same, jak każdego innego i wynosi około : 1: 13 983 816 Życzymy powodzenia 

19. Niemożliwość zaskakiwania, czyli paradoks niezapowiedzianej kartkówki  Nauczyciel powiedział uczniom, że w następnym tygodniu zrobi im kartkówkę, ale jej dokładny termin będzie dla nich całkowitym zaskoczeniem. Okazuje się że zrobienie takiej kartkówki jest zwyczajnie niemożliwe.

20. PONIEDZIAŁEK WTOREK ŚRODA CZWARTEK PIĄTEK • Kartkówka nie mogłaby odbyć się w piątek, gdyż we czwartek wieczorem wszyscy by się już jej spodziewali i nie byłaby dla nikogo zaskoczeniem. • Skoro piątek odpada, również w czwartek kartkówka nie mogłaby się odbyć, ponieważ już w środę wieczór wszyscy by się jej spodziewali. • Skoro kartkówka nie może odbyc się w czwartek, również środa odpada jako potencjalny termin klasówki. We wtorek wieczorem wszyscy by już bowiem znali jej termin. • Na tej samej zasadzie odrzucamy pozostałe dni tygodnia, wysnuwając w końcu wniosek, że zaskoczenie uczniów kartkówką jest dla nauczyciela niewykonalne.

21. Wydawałoby się, że uczniowie mogą w takim razie spędzić weekend na rozrywce… A kiedy nauczyciel każe im w poniedziałek wyciągnąć karteczki, strach i całkowite zaskoczenie odmaluje się na ich twarzach.

22. Achilles i żółw Jeden z najbardziej znanych paradoksów w historii świata. Był argumentem używanym przez filozofów, którzy negowali istnienie ruchu. Wyobraźmy sobie następującą sytuację: Achilles i żółw zaczynają się poruszać w tą samą stronę. Achilles biega dwa razy szybciej niż żółw, więc na początku ustawił się dziesięć metrów za zwierzątkiem. Achilles stara się dogonić żółwia, ale okazuje się, że jest to niemożliwe…

23. Żółw zaczyna się poruszać i przemieszcza się o niewielki dystans. • Achilles rozpoczyna pościg: kiedy dobiega do miejsca, w którym stał żółw, zwierzątko jest już dalej. • Achilles dalej goni żółwia: kiedy dobiega do miejsca, w którym stał przed chwilą zwierzak, jego już tam nie ma: przesunął się o niewielki dystans. Takie rozumowanie można ciągnąć w nieskończoność. Nasuwa się jedyny logiczny wniosek: Achilles nigdy nie dogoni żółwia, a ruch nie istnieje.

24. Paradoksy tego typu wyjaśnia się obecnie za pomocą metod różniczkowania i tzw. liczb nieskończenie małych. Najprościej można błąd w tym paradoksie ująć w sposób następujący: kiedy mamy do czynienia ze zjawiskiem ciągłym, jakim jest ruch, nie możemy rozpatrywać go „punktowo”, wybierając jedynie niektóre fragmenty ruchu.

25. Paradoks kłamcy Niniejsze zdanie jest fałszywe. Poniższe zdanie jest fałszywe. Powyższe zdanie jest prawdziwe. UWAGA : Opowiadają, że starożytny grecki poeta Filetas z Kos tak długo rozmyślał nad paradoksem kłamcy, że nieszczęsny wyzionął ducha.

26. Na koniec-zagadka Ile przekątnych ma narysowana bryła ? Za przekątną uznajemy odcinek łączący dwa wierzchołki i nie położony na żadnej ze ścian.

27. Dziękuję za uwagę KONIEC

28. Wykonał : Sebastian Dziadzio Klasa IIIc r.szk.2006/2007